2017年高考理科数学冲刺复习检测10.doc
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4、C、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)若棱长为2,则A(2,0,0)、E(0,1,0)、D1(0,0,2)、F(0,2,1)所以(2,1,0),(0,2,1),cos,.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.2在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.B解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以(0,1,1),设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z),则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量
5、为n2(0,0,1),所以cosn1,n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是_解析 依题意,设,其中0,1,()()2110,1,因此的取值范围是0,1答案 0,14.如图,矩形ABCD中,AB2,BC4,将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置,使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析 过O作OECD交BD于点E,由题意知,AOOC,AOOE,OEOC,故以O为原点,分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,),B(1,0,0),C(3,0,0),D
6、(3,2,0),所以(1,0,),(0,2,0),0,所以,故异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案 905如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,其棱长为2,E为棱DD1的中点,F为对角线DB的中点(1)求证:平面CFB1平面EFB1;(2)求异面直线EF与B1C所成角的余弦值;(3)求直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值解 (1)证明:因为F为DB的中点,则CFBD,又CFD1D,BDD1DD,所以CF平面BB1D1D,因为CF平面CFB1,所以平面CFB1平面EFB1.(2)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(0
7、,0,1),F(1,1,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),C1(0,2,2)所以(1,1,1),(2,0,2)所以异面直线EF与B1C所成角的余弦值为|cos,|0.(3)由(1)知CFEF,由(2)知EFB1C,又B1CCFC,B1C,CF平面B1CA,所以EF平面B1CA.所以是平面B1CA的法向量因为(1,1,2),所以cos,所以直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值为.6.(2016兰州市实战考试)如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAB底面ABCD,底面ABCD为矩形,PAPB,O为AB的中点,ODPC.(1)求证:OCPD;(2)若PD与平面PAB所成的角为30,求二面角
8、DPCB的余弦值解 (1)证明:连接OP,因为PAPB,O为AB的中点,所以OPAB.因为侧面PAB底面ABCD,所以OP平面ABCD,所以OPOD,OPOC.因为ODPC,所以OD平面OPC,所以ODOC,又OPOC,所以OC平面OPD,所以OCPD.(2)法一:在矩形ABCD中,由(1)得ODOC,所以AB2AD,不妨设AD1,则AB2.因为侧面PAB底面ABCD,底面ABCD为矩形,所以DA平面PAB,CB平面PAB,DPACPB,所以DPA为直线PD与平面PAB所成的角,所以DPA30,CPB30,PAPB,所以DPCP2,所以PDC为等边三角形设PC的中点为M,连接DM,则DMPC.
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