人教版初中数学第六章实数知识点.pdf

第六章第六章 实数实数6.1 平方根平方根1、平方根如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）.一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.正数 a 的平方根记做“”.a2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“”.a正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.；注意的双重非负性：200a aaaa aa00aa例：求下列各数的算术平方根（1）；（2）；（3）.642)3(49151例：若数的平方根是和，求的值.m32 a12am解：负数没有平方根，故必为非负数.m（1）当为正数时，其平方根互为相反数，故（）+（）=，解得，故=m32 a12a03a32 a，从而.9332912312a8192a（2）当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无解.m00032a0433a例：估计1 的值是（）10（A）在 2 和 3 之间（B）在 3 和 4 之间（C）在 4 和 5 之间（D）在 5 和 6 之间6.2 立方根立方根如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）.其中 3 是根指数.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.33aa例：已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根.Maa b 82a 8Nba b 324b 3MN分析：由算术平方根及立方根的意义可知a 80，解方程组，得：22243ababab13，代入已知条件得：，MN903，MN903033故 MN 的平方根是.36.3 实数实数1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数.正整数又叫自然数.正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数.2、无理数：无限不循环小数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有 的数，如+8 等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；（4）某些三角函数，如 sin60o等例：在所给的数据:，(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次增加 1 个)2235130.570.585885888588885其中无理数个数(B ).(A)2 个 (B)3 (C)4 个 (D)5 个3、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=-b，反之亦成立.4、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，.零的绝对值是它本身，若，则；0a aa0a 若，则.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.aa 0a 5、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是 1 和-1.零没有倒数.例：比较的大小.aaa、1当时，取，则，显然有01aa 001.110001aa、.1aaa当时，a 1aaa1当时，仿取特殊值可得a 1aaa1例：解方程.2136x 解：2136x x+1 看着是 36 的平方根.16x ，.15x 27x 例：已知一个数的平方根是 2a1 和 a11，求这个数解：由 2a1+a11=0，得 a=4，2a1=241=7这个数为 72=49例：已知 2a1 和 a11 是一个数的平方根，求这个数解：根据平方根的定义，可知 2a1 和 a11 相等或互为相反数当 2a1=a11 时，a=10，2a1=21，这时所求得数为(21)2=441;当 2a1+a11=0 时，a=4，2a1=7，这时所求得数为 72=49.综上可知所求的数为 49 或 441.实数大小进行比较的常用方法实数大小进行比较的常用方法方法一：差值比较法 差值比较法的基本思路是设 a，b 为任意两个实数，先求出 a 与 b 的差，再根据当 ab0 时，得到 ab.当 ab0 时，得到 ab.当 ab0，得到 a=b.例 1：（1）比较513 与51的大小.（2）比较 12与 13的大小.解 513 51523 0，513 51.解（12）（13）=23 0，1213.方法二：商值比较法 商值比较法的基本思路是设 a，b 为任意两个正实数，先求出 a 与 b 得商.当ba1 时，ab；当ba1 时，ab；当ba=1 时，a=b.来比较 a 与 b 的大小.例 2：比较513 与51的大小.解：513 51=13 1 513 51方法三：倒数法 倒数法的基本思路是设 a，b 为任意两个正实数，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当a1b1时，ab.来比较 a与 b 的大小.例 3：比较20042003与20052004的大小.解200320041=2004+2003，200420051=2005+2004又2004+20032005+20042004200320052004（超纲，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据 a0，b0 时，可由2a2b得到 ab 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小.例 5：比较62 与53 的大小解：1228)62(2，2)53(=8+215.又8+2128+215 62 53.方法五：估算法估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例 4：比较8313 与81的大小解：3134 1331 8313 81方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当 a0，b0，若要比较形如 adbc与的大小，可先把根号外的因数 a 与 c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.例 6：比较 27与 33的大小解：27=722=28，33=332=27.又2827，2733.方法七：取特值验证法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单.例 7：当10 x时，2x，x，x1的大小顺序是_.解：（特殊值法）取x=21，则：2x=41，x1=2.41212，2xxx1.例：设 a20，b(3)2，c39，d112，则 a、b、c、d 按由小到大的顺序排列正确的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分别求出 a、b、c、d 的具体值，从而可以比较大小.解：a201，b(3)29，c3939，d1122，而39129，cadb.故应选 A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题.能快速地取得令人满意的结果.