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排列组合题型总结排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一直接法直接法1特殊元素法例例 1 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择，其余 2 位有四个可供选择，由乘25A24A法原理：=24025A24A2特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有=60，1 不在千位时，千位有种选法，个位有种，35A14A14A余下的有，共有=192 所以总共有 192+60=25224A14A14A24A二间接法间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=2522435462AAA例例 2 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中 0 在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成333352AC2242C22A不同的三位数-=432（个）333352AC2242C22A三插空法插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例例 3 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有=100 中插入方法。11019AA 四捆绑法捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有44A种排法，又乘法原理满足条件的排法有：=57644A44A44A练习 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（）3324AC2 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（）（注意连续参观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为1928129AC一个整体来选有其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列）129C五阁板法阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种711C练习 1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有种（即 a.b.c.d 而指数只有 15 故。14C01414CC 当项中有 2 个字母时，有而指数和为 15，即将 15 分配给 2 个字母时，如何分，闸板24C法一分为 2，即114C24C114C当项中有 3 个字母时指数 15 分给 3 个字母分三组即可34C21434CC当项种 4 个字母都在时 四者都相加即可31444CC 练习 2有 20 个不加区别的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）216C3不定方程 X1+X2+X3+X50=100 中不同的整数解有（）4999C六平均分堆问题平均分堆问题 例 6 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？3,5 2,4 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6 种，而这 6 种分33A法只算一种分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有=15 种33222426ACCC练习：16 本书分三份，2 份 1 本，1 份 4 本，则有不同分法？2某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七 合并单元格解决染色问题合并单元格解决染色问题例 7 （全国卷（文、理）如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5 下面分情况讨论:()当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 4 个元素 的全排列数A44（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法A44（）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有种方法AC3334 由加法原理知：不同着色方法共有 2=48+24=72（种）ACA333444练习 1（天津卷（文）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共 种（以数字作答）（72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3），现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）123452,4图 3 图 43如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图 5 图 65将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）八递推法递推法例八 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这 10 级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上 n 级楼梯的走法为 an种，易知 a1=1,a2=2,当 n2 时，上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有 an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有 an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89种不同的方法。九.几何问题几何问题 1四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）35C2.四面体的棱中点和顶点共 10 个点（1）从中任取 3 个点确定一个平面，共能确定多少个平546132EDCBA4321DBCEA面？(-4+4-3+3-6C+6+26=29)310C36C34C34(2)以这 10 个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 644=96 36=18 共有 114十先选后排法先选后排法例 9 有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1 人承担，从10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260 种B.2025 种C.2520 种D.5054 种分析：先从 10 人中选出 2 人十一用转换法解排列组合问题十一用转换法解排列组合问题例 10某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20 种25A例 11个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的带法解 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题=126 种59C例 12 从 1，2，3，1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。10991C例 13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）37C例 14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6 个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题=924（种）612C例 15 求（a+b+c）10的展开式的项数解 展开使的项为 abc,且+=10，因此，把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题=66（种）212C例 16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为 a1,a2，,a5,欧洲队队员为 b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）610C十二转化命题法十二转化命题法例 17圆周上共有 15 个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的 15 个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）415C十三概率法十三概率法例 18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360 种212121十四除序法十四除序法 例 19 用 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数 2，4，6 次序一定，有多少个？（2）若偶数 2，4，6 次序一定，奇数 1，3，5，7 的次序也一定的有多少个？解（1）（2）3377AA443377AAA十五错位排列十五错位排列例 20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1）n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排，两个人)(1(21nnnaana有一种错排2）=n!(1-+-+na!11!21!31 n1!1n练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）排列与组合的区别排列与组合的区别排列与组合的共同点是从 n 个不同的元素中，任取 m m（mnmn）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志下面通过实例来体会排列与组合的区别【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数（1）高二年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二数学课外活动小组共 10 人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有 2、3、5、7、11、13、17、19 八个质数：从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有 8 盆花：从中选出 2 盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？【思考与分析】（1）由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其他类似分析 解：（1）是排列问题，共通了=110（封）；是组合问题，共需握手=55（次）（2）是排列问题，共有=109=90（种）不同的选法；是组合问题，共=45（种）不同的选法；（3）是排列问题，共有=87=56（个）不同的商；是组合问题，共有=28（个）不同的积；（4）是排列问题，共有=56（种）不同的选法；是组合问题，共有=28（种）不同的选法 （【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。）