初三数学二次函数知识点归纳总结.pdf

-1-二次函数知识点归纳及相关典型题二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分第一部分 基础知识基础知识1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.二次函数的性质2axy（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2axy y（2）函数的图像与的符号关系.2axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；0a当时抛物线开口向下顶点为其最高点.0a（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y2axy）（0a3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.cbxaxy2y4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.cbxaxy2khxay2abackabh4422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；2axy kaxy22hxay；.khxay2cbxaxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.yhx y0 x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，a只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.abacabxacbxaxy442222），（abacab4422abx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直khxay2h k线.hx （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对-2-称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用cbxaxy2cba,（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即abx20by0ababy0ab、异号）时，对称轴在轴右侧.aby（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0 xcy cbxaxy2yc ，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.0c0cy0cy 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.y0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy（轴）0 xy（0,0）kaxy2（轴）0 xy(0,)k2hxayhx(,0)hkhxay2hx(,)h kcbxaxy2当时0a开口向上当时0a开口向下abx2()abacab4422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.x1x2x21xxxxay12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).ycbxaxy2c-3-（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).yhx cbxaxy2hcbhah2（3）抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的cbxaxy2x1x2x02cbxax两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：x 有两个交点抛物线与轴相交；0 x 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x0 x 没有交点抛物线与轴相离.0 x （4）平行于轴的直线与抛物线的交点x 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则k横坐标是的两个实数根.kcbxax2 （5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点，由方程组 0knkxyl02acbxaxyG的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点;方程组只有一组解时cbxaxynkxy2lG与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.lGlG （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、xcbxaxy2x0021，xBxA1x是方程的两个根，故2x02cbxaxacxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121第二部分第二部分 典型习题典型习题.抛物线 yx22x2 的顶点坐标是 （D ）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）cbxaxy2ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 CAEFBD第,题图 第 4 题图-4-.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）cbxaxy2Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为 BC 上一点，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（EF 不过ABCh 4EFBC/A、B），设 E 到 BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（）xDEFyxDO424O424O424O424AyxBC2482,484EFxEFxyxx.抛物线与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为 4 322xxy6.已知二次函数与 x 轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：当 x2 时，11)(2k2xkxy1x2x21xxy1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、2xx011)(22xkkx1x；，；，其中所有正确的结论是（只需填写序号）2x11x12x2211 4kxxk7.已知直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为.02bbxycxbxy102（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线上，试确定这条抛物线的解析式；bxy 2（2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线的解析式.bxy 2解：（1）或102 xy642xxy 将代入，得.顶点坐标为，由题意得0)b（，cb21016100(,)24bbb，解得.21016100224bbbb 1210,6bb （2）22 xy8.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为，且是 x 的二次函数，已知输入值为,0,时,相应的输出值yy21分别为 5,34-5-第 9 题（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.yx解：（1）设所求二次函数的解析式为,cbxaxy2则,即,解得43005)2()2(22cbacbacba1423babac321cba故所求的解析式为:.322xxy（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时，y输入值的取值范围是或x1x3x9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 39 22102421612xxxy10.已知抛物线与 x 轴交于 A、4)334(2xaaxy B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）设点 A、B 的坐标分别为（，0），（，0），1x2x-6-由，解得，04)334(2xaax31xax342 点 A、B 的坐标分别为（-3，0），（，0）a34，|334|aAB522OCAOAC22OCBOBC224|34|a，9891693432916|334|2222aaaaaAB，252AC1691622aBC当时，ACB90222BCACAB 由，222BCACAB 得)16916(259891622aaa 解得41a 当时，点 B 的坐标为（，0），41a31696252AB252AC94002BC 于是222BCACAB 当时，ABC 为直角三角形41a当时，ABC90222BCABAC由，得222BCABAC)16916()98916(2522aaa解得94a当时，点 B（-3，0）与点 A 重合，不合题意94a3943434a当时，BAC90222ABACBC由，得222ABACBC)98916(251691622aaa解得不合题意94a综合、，当时，ABC 为直角三角形41a11.已知抛物线 yx2mxm2.-7-（1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解:(1)（x1，0）,B(x2，0).则 x1，x2是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2 m,x1x2=m2 0 即 m2;又 ABx1 x2 ,121245x xx x2（+）m24m3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去),m 的值为 1.（2）M(a，b)，则 N(a，b).M、N 是抛物线上的两点,222,2.amambamamb 得：2a22m40.a2m2.当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N.2am 这时 M、N 到 y 轴的距离均为,2m又点 C 坐标为（0，2m）,而 SM N C=27,2（2m）=27 .122m解得 m=7.12.已知：抛物线与 x 轴的一个交点为taxaxy42A（1，0）（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），NMCxyO-8-由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0）（2）抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），taxaxy42 t3a 0)1(4)1(2taaaaxaxy342 D（0，3a）梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线 上，aaxaxy342 C（4，3a）AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9，9)(21ODCDAB93)42(21a a1 所求抛物线的解析式为或342xxy342axxy（3）设点 E 坐标为（，）.依题意，0 x0y00 x00y 且 2500 xy0025xy 设点 E 在抛物线上，342xxy340200 xxy解方程组 得34,25020000 xxyxy；，15600yx，452100yx 点 E 与点 A 在对称轴 x2 的同侧，点 E 坐标为（，）2145设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 P，使APE 的周长最小 AE 长为定值，要使APE 的周长最小，只须 PAPE 最小 点 A 关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0），由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为，nmxy 解得.03,4521nmnm.23,21nm 直线 BE 的解析式为 把 x2 代入上式，得2321xy21y-9-点 P 坐标为（2，）21设点 E 在抛物线上，342xxy340200 xxy 解方程组 消去，得.34,25020000 xxyxy0y03x23x020 0.此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（2，），使APE 的周长最小21解法二：（1）抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0），taxaxy42 t3a 0)1(4)1(2taaaaxaxy342令 y0，即解得 ，0342aaxax11x32x 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0）（2）由，得 D（0，3a）aaxaxy342 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线上，aaxaxy342 C（4，3a）AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9，解得 OD39)(21ODCDAB a133 a 所求抛物线的解析式为或342xxy342xxy（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交点为 F由 PFEQ，可得 EQPFBQBF45251PF21PF 点 P 坐标为（2，）21以下同解法一13.已知二次函数的图象如图所示-10-（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式，)2)(1(xxay )2(12a1a22xxy其顶点 M 的坐标是4921，（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为，点 N 的坐标为 N（t，h），bkxy 解得，.214920bkbk，23k3b 线段 BM 所在的直线的解析式为323xy ，其中 323th221 ttts)3322(212121121432tt s 与 t 间的函数关系式是，自变量 t 的取值范围是121432ttS221 t（3）存在符合条件的点 P，且坐标是，1P4725，45232，P设点 P 的坐标为 P，则)(nm，22mmn，222)1(nmPA5)2(2222ACnmPC，分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则222ACPAPC .5)1()2(222222nmnmmmn，解得：，（舍去）点251m12m47251，P-11-ii）若PCA90，则222ACPCPA .5)2()1(222222nmnmmmn，解得：（舍去）点02343mm，45232，Piii）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时，所以边 AC 的对角APC 不可能是直角ACPA（4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点 D（1，2），以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是 E，F5251，5854，图 a 图 b14.已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个22axy数解：根据题意，得 a21.a1 这个二次函数解析式是22xy因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；-12-（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到 1 米）4.12 解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092axy因为点 A（，0）（或 B（，0）在抛物线上，所以，得2525109)25(02a12518a因此所求函数解析式为)2525(109125182xxy（2）因为点 D、E 的纵坐标为，所以，得 209109125182092x245x所以点 D 的坐标为（，），点 E 的坐标为（，）245209245209所以225)245(245DE因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）385227501.01100022516.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 Ccbxaxy2（1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4，求 a、c 的值34AB解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0（2）证明：设点 A 的坐标为（，0），点 B 的坐标为（，0），则1x2x210 xx ，1xOA2xOB cOC 据题意，、是方程的两个根 1x2x)0(02acbxaxacxx21由题意，得，即 2OCOBOA22ccac所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时，a、c 互为倒数-13-（3）当时，由（2）知，a04b0421aabxx解法一：ABOBOA，21221124)(xxxxxx aaacacaAB32416)(4)4(22 ，得 c2.34AB3432a21a解法二：由求根公式，aaaacx322416424164 ，ax321ax322 aaaxxOAOBAB32323212 ，得 c234AB3432a21a17.如图，直线分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，E 经过原点 O 及 A、B 两点333xy（1）C 是E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D，若CODCBO，求点 A、B、C 的坐标；（2）求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长 BC 到 P，使 DP2，连结 AP，试判断直线 PA 与E 的位置关系，并说明理由 解：（1）连结 EC 交 x 轴于点 N（如图）A、B 是直线分别与 x 轴、y 轴的交点 A（3，0），B333xy)3,0(又CODCBO CBOABC C 是的中点 ECOA 232,2321OBENOAON连结 OE C 点的坐标为（）3 OEEC23ENECNC23,23（2）设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为3xaxy-14-C（）23,23)323(2323a392a 为所求xxy8329322（3），BAO30，ABO5033tanBAO由（1）知OBDABD 30602121ABOOBD ODOBtan301 DA2 ADCBDO60，PDAD2 ADP 是等边三角形 DAP60 BAPBAODAP306090即PAAB即直线 PA 是E 的切线