数学归纳法典型例题.pdf
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1、【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式,就显得特别重要。一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n 0时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k()时命题成立,证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理
2、逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即nk1 时为什么成立,nk1 时成立是利用假设nk时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk1 时成立,而不是直接代入,否
3、则nk1 时也成假设了,命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。2、运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别是寻找nk与nk1 的关系时,项数发生什么变化被弄错。(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。(3)关键步骤含糊不清,“假设nk时结论成立,利用此假设证明nk1 时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。【典型例题典型例题】例 1.用数学归纳法证明:时,。
4、解析:解析:当时,左边,右边,左边=右边,所以等式成立。假设时等式成立,即有,则当时,所以当时,等式也成立。由,可知,对一切等式都成立。例 2.。例 3.用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n,不等式成立。那么当时,时,不等式也成立。由,知,对一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立。例 4.若不等式对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并证明你的结论。解析:解析:取,。令,得,而,所以取,下面用数学归纳法证明,(1)时,已证结论正确(2)假设时,则当时,有,因为,所以,所以,即时,结论也成立,由(1)(2)可知,对一切,都有,故 a 的最大值为 25。例 5.用数学归纳法
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