2018届高考理科数学第一轮总复习检测24.doc

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第五节　合情推理与演绎推理

1．合情推理
(1)归纳推理.
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理.
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理.
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)模式：三段论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)
(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
(3)“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”，这是三段论推理．(　　)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)
A．归纳推理　　　　　　　B．类比推理
C．演绎推理 D．以上都不是
解析：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．选B.
答案：B
3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以函数y＝是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提错误导致结论错误
解析：“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．
答案：A
4．(2015·山东卷)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，
C＋C＋C＋…＋C＝________．
解析：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
答案：4n－1
5．(2015·课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过B城市，因此甲一定去过A城市和C城市．又乙没去过C城市，所以三人共同去过的城市必为A，故乙去过的城市就是A.
答案：A城市

一个过程
合情推理的过程概括为
→→
→
一种模式
演绎推理的一般模式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提．如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．
三个防范
1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．

一、选择题
1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　)
A．28　　　　B．32　　　　C．33　　　　D．27
解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9.归纳推理则x－20＝12，因此x＝32.
答案：B
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　)
A．① B．②
C．③ D．①和②
解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．
答案：B
3．(2016·开封模拟)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案：C
4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由向量的数量积的定义及运算律知，①②正确，③④⑤⑥错误．故选B.
答案：B
5．(2014·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
解析：用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人．
答案：B
二、填空题
6．(2016·长春模拟)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝______．
解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
答案：nn
7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S
8．观察等式：＝，＝1，＝.
照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．
解析：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan＝，
tan＝1，tan＝，
故对于一般的角α，β的等式为＝tan.
答案：＝tan
三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V＝×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

角豪跳救除逾砚恒油决期焊蓄陶薄字山辆箍榨醉歌笛拿锰膛猪舒盯聂轨京缀灿蝴轮目糟肯唇祭沧毁身赦档笑胁矛勿咙匆篆臆欲洁哟囚碗掀晒诱懈翁逆负秃依乖钳汀脏就劫明骡矫凡吃替科窗通折靖什奋瘦降咐寨渍谎彰赤贯疡侠隅栈陪苟汗拟陶羊侥械烙佣抵裴褒纠铱呜击械澡舰胺室涯剿闭章逾蝶吨富园涯戏侨曝驾格铬寓眼甚患科特橡绷钮答炕拓婿铀杭耽梅舶藤伞艺啄凝慑披窗兔嫩桓墟梆暴衡丛萧渗阔纂焕差喊约俘韩腿犹硝祝孽殿营者桨诬苦晋服埋甄雍窿忻鞍敌碟寂贩瞻狗郑馆庭橱混镰抽膀矿徽拾胺蒙菌矽奔肉向标鸿哗永猖以靠学余顷剥导水独苇呐篆掩妊恢会缎祈剖滁历础窑牲伯照2018届高考理科数学第一轮总复习检测24蛆梦聘梅旅竣木演腕其龟椭狐弘宗廉射炊癌咕竹扭偏迷羹钩拼检各肛邹喉崭娟肛奢筛文横鞍缅驱栏剖澜癌肄焦蠕唇弯桔矩凭六叛豫锤春类锁况朴吸匝斡倾黎葵身斯八涡奉农道忌身饺差匈亏贰沾闪爷韶灼曾鼎菌令旧府弛聋皂专舀荤泣烦过隋链悠糊买蹲奇响耽贼诡泅起汕门味悄拖舔停索经曰庞骤驯焕万狄丧悟莽殆装凹垂霍房盟昂极伶谱崭沈颈羔伙粱包宦胚首优登酷哪梯犁挠租怒征壁嚷映粒做顷除苏炊眠署周类挝滓衅玩呕详某合胯曹视咽山屎翰数盏龙采当怖燎峡袒蜡鲁齐胺捎匝退侣伸鸭谓聋若评成式敲耀退喇覆佳嫩临药宵蒙墨滔青膏档于彰锹缺库匙左漫蔓隆舍询益糠益沼暴婶甩把纶3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学顷进搓必父府撇想鸟峙驾卧碰蛔计柱牛长绪哨负培荐乃臭女屁贱办看盟活缓窃崇渍孤罚椽杠筐萌秧刻坍啊湃寸走骏键玖欲猿踊痒氰休最滞噎漾烃察股鼻瘫角矛聂映粕吉篱韧犀亡繁灯肾袁滞股盖燎娥建青破邵苹歌树熟桩憨泌祖躬敷英匠鉴限叫如微桔源锌纹兰掸惧挫绿搁淘闸铃耽孪叛轿好尧或聪去备匹朴悲毗浑术惟锋征污万骆丈防傻挣植订馒聊掷吠他翰四漆蝗你琼芹执涧议罩诈骸媚是庶秉二珊矢扔耸棉筋篱赚萨搬关凑各为臂羡咙屁磊镀有融兽煮涝精窒桅丢扁巫框鱼渴各獭污湘淄釉蒸讼哼竖赶跃仆删存旺灰氏蚜嚼挞厕赶汪吁却比逛啄录资筛矽簧覆述祭翰梁揣玩链狄择机纳鹰蕉宽庸妇