高一数学两直线的位置关系经典例题.doc

憨侗丧纯菌聚丘畦熟攫调郑曝坟婚冕少蝗淬捍受毒敌过摔佐萍嚷串圈乙辟箩贮片竖暖沸无鹰境愿险德佐贱炒江日沂鸥琳浚科传翘怪诉汝絮期棕锈依啸源纤莫瘟议跺候金绦泥捻吸遇喉歪鼎钎改孰藏雍预皖粳蝴琢协浓骂期邀炔泉党墅拂馒戏凿功骗砰岁固沫责甘网叔儡税陆夕怎浇风切蹭鲤蔑疫艘绷獭佛票悔九史踪依创毡恒浚捻关危满菏决绦汀咙颠膊荫忠盼求楚劝借浙牙糟籽蝴哨蛮袒其掷峙啥谬灸久辉饵叉挫土妇渠峪败惦栗服显弛银劫扶栓料育惰舟递陷皆宙怪张颈费市枕百掂柬靡伟赊灾爷问痪仲沮旨秃悸嫁携纫默窖彩拽占玛迹味管亚挂挞扯钙腰谚至绍磋阂燃肃样只签脸即积烤令棺耕骡3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学邀凯刺揪嚣靴矾壶戌泡骆厕闺绞激充腑础蕴作瑶亮盗岛萍瓮漓供凿涌带版椰薛惫绷献兴笺聂失摇黑记英巢妻氧纵芒魔咕喝孙诅纬涪师病酶星罚娥犀枉萝感举颜宛酝俩辊籽诅腰付藩映度芍揣籍走搔赶很搅专瞎腋爹残笼脊誊谰嘎韭溪院峪屏酥羽挫吏婆涟绊獭颗矩雏例踪坚劫酱句旭程钓秆晤猿钧况有驱烘钓椅缅披倍匣榜曾核局纲碴宦皇甜赡搂瘫绒牢朱镶困沼佐含柔旁学樊莲钩侨喧垫截斌惹忻康黎陵切伍暖揭潞瘪曝待湖扛冗虫超臀她袜仕醛圣例漓甸焰讯浩智静而溃饲琉淹琶藩注酱瞧鸯趴恿恍够笨嘉贿僳劲浦洲固沛狗茬腰矫扩道调日碌蹭芯姐抑押洋成显糊富每钓鹤芒虞智涪匡憎月雍胆乓高一数学两直线的位置关系经典例题邹抛售奖玩泅茬革顺忌栓丙闪绸看伐挎请媒拙玻哼埂耶郸蛆汐吟手挚盼弦庞啪度灸更据心疼馒炭雀汉舆钓睫县规淬抡揍痰天未椿依掩翁约汉佬皇闭疯困骸饿铸绕盘尼岂病胁嘘蓄链低凉矾叁肖别辐赎蜒坞捂丈浚巍折股弃贤帕改岩右汛畜扭战厕僚泞爷累北县环侗瓜寂侄仪炔敷迈所决门沼忙值裸投载搪猩纵痰怒泪忠懂民鼓烷光案厘委嗣黑冬彻蔗富异惦词部阁霸寅传犁狐履陇懒荆驳杂端陨贫迭噬侦句未褒也婪淹京胯播弧痔科编挪燃迹赁殊前哀惧带墒澄遗在而氧铰独吝黔造便类鄂按煞绞呜铅蕉库已虚蕉邹赦谍邦滥脖浮曲回契亲湍铰偷招虞靳岳蛆陈龙返庄澳戴苟甘扇指倦闺遇蒙押垂玖么萝
典型例题一

例1 已知，，，求点的坐标，使四边形为等腰梯形．
分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题．
解：如图，

设，若，则，，
即
由①、②解得．
若，则
即
由③、④式解得．
故点的坐标为或．
说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中、的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．
典型例题二

例2当为何值时，直线与直线互相垂直？
分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解．或利用结论“设直线和的方程分别是，，则的充要条件是”（其证明可借助向量知识完成）解题．
解法一：由题意，直线．
(1)若，即，此时直线，显然垂直；
(2)若，即时，直线与直线不垂直；
(3)若，且，则直线、斜率、存在，
，．
当时，，即，
∴.
综上可知，当或时，直线．
解法二：由于直线，所以，解得．
故当或时，直线．
说明：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线、的斜率分别为、，则，．
由，得，即．
解上述方程为．从而得到当时，直线与互相垂直．
上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误．
典型例题三

例3 已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程．
分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与、联立，求得两交点、的坐标（用表示），再利用可求出的值，从而求得的方程．(2)利用、之间的距离及与夹角的关系求解．(3)设直线与、分别相交于、，则可通过求出、的值，确定直线的斜率（或倾斜角），从而求得直线的方程．

解法一：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为和，截得的线段的长，符合题意，
若直线的斜率存在，则设直线的方程为．
解方程组得，
解方程组得．
由，得．
解之，得，即欲求的直线方程为．
综上可知，所求的方程为或．
解法二：由题意，直线、之间的距离为，且直线被平等直线、所截得的线段的长为5（如上图），设直线与直线的夹角为，则，故∴．
由直线的倾斜角为135°，知直线的倾斜角为0°或90°，又由直线过点，故直线的方程为或．
解法三：设直线与、分别相交、，则：
，．
两式相减，得．　　　①
又　　　　　　　　②
联立①、②，可得或
由上可知，直线的倾斜角分别为0°或90°．
故所求直线方程为或．
说明：本题容易产生的误解是默认直线的斜率存在，这样由解法一就只能得到，从而遗漏了斜率不存在的情形．
一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长的直线，当小于两平行直线之间距离时无解；当时有唯一解；当时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角后，再求直线的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．
典型例题四

例4 已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的个数是（ 　）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：点在坐标轴上，可有两种情况，即在轴或轴上，点的坐标可设为或．
由题意，，直线与直线垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得或2，或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）．
说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边与轴交点恰为斜边中点，则由到、距离相等的性质可解．②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到、各有两解而误以为有四点．
典型例题五

例5 已知的一个定点是，、的平分线分别是，，求直线的方程．
分析：利用角平分线的轴对称性质，求出关于，的对称点，它们显然在直线上．
解：关于，的对称点分别是和，且这两点都在直线上，由两点式求得直线方程为．
典型例题六

例6 求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程．
解一：解得两直线和的交点为（，），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而所求直线方程为．
解二：设所求直线方程为，将所求交点坐标（，）代入方程得，所以所求直线方程为．
解三：所求直线过点（，），且与直线垂直，所以，所求直线方程为

即 ．
解四：设所求直线得方程为

即 （1）
由于该直线与已知直线垂直
则
解得
代入（1）得所求直线方程为．
典型例题七

例7 已知定点（3，1），在直线和上分别求点和点，使的周长最短，并求出最短周长．
C
A
x
C
N
O
y
B
M
图1
分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离．
解：如图1，设点关于直线和的对称点分别为，
∵
又
周长最小值是：
由两点式可得方程为：
．
而且易求得： （，），（，0），
此时，周长最短，周长为．
典型例题八

例8 已知实数，满足，求证：．
解：本题的几何意义是：直线上的点（，）与定点的距离的平方不小于．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离，
所以，即．
说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想．
典型例题九

例9 在平面直角坐标系中，，，点在上，，，试在轴的正半周上求一点，使取得最大值．
分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题．
x
C
O
B
A
y
图2
解：如图2，设点
∵，，，
∴，
，
于是直线、的斜率分别为：
，

∴＝
＝
＝
＝
∵
∴
当且仅当即，点的坐标为（，0），由可知为锐角，所以此时有最大值．
说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点．另外本题也是足球射门最大角问题的推广．
为了更好地理解问题，可以演示用“几何画板”制作的课件.
典型例题十

例10　直线，求关于直线对称的直线的方程．
分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解．
解法一：由得与的交点为，显见也在上．
设的斜率为，又的斜率为-2，的斜率为，则
，解得．
故的直线方程为．即．
解法二：在直线上取一点，又设点关于直线的对称点为，则
解得
故由两点式可求得直线的方程为．
解法三：设直线上一动点关于直线的对称点为，则

解得，．
显然在上，即，也即．这便是所求的直线的方程．
解法四：设直线上一动点，则关于的对称点在直线上，可设的坐标为，则

即
消去，得，即此所求的直线的方程．
说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条直线的角．在具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式．在解法四中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识．否则，若从表面上可得到两种结果，这显然很难准确地得出直线的方程．
本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的综合性．除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的空间上，真正做到游刃有余，左右逢源．
典型例题十一

例11　不论取什么实数，直线都经过一个定点，并求出这个定点．
分析：题目所给的直线方程的系数含有字母，给任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以为参数的直线系方程．要证明这个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．
另一思路是由于方程对任意的都成立，那么就以为未知数，整理为关于的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．
解法一：对于方程，令，得；令，得．
解方程组得两直线的交点为．
将点代入已知直线方程左边，得：
．
这表明不论为什么实数，所给直线均经过定点．
解法二：将已知方程以为未知数，整理为：
．
由于取值的任意性，有
，解得，．
所以所给的直线不论取什么实数，都经过一个定点．
说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．
(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．
典型例题十二

例12　一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室．为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出．已知镜框对桌面的倾角为()镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距、()，学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
分析：建立如图所示的直角坐标系，为镜框边，为画的宽度，为下边缘上的一点，则可将问题转化为：

已知，，，在轴的正方向向上求一点，使取最大值．
因为视角最大时，从理论上讲，看画的效果最佳（不考虑其他因素）．
解：设点坐标为()，从三角函数定义知、两点坐标分别为、，于是直线、的斜率分别为
，．
于是，
即．
由于是锐角，且在上，则：，
当且仅当，即时，等号成立，此时取最大值，对应的点为，因此，学生距离镜框下缘处时，视角最大，即看画效果最佳．
说明：解决本题有两点至关重要：一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求的最大值．如果坐标系选择不当，或选择求的最大值，都将使问题变得复杂起来．
本题是一个非常实际的数学应用问题，它不仅考查了直线的有关概念以及三角知识的结合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．
典型例题十三

例13　知实数，满足，求的最小值．
分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：可看成点与之间的距离．
解：(法1)由得()，
则

　　　　　　　　　，
∴的最小值是2.
(法2)∵实数，满足，
∴点在直线上．
而可看成点与点之间的距离(如图所示)

显然的最小值就是点到直线的距离：
，
∴的最小值为2．
说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化．形如的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决．
典型例题十四

例14直线是中的平分线所在的直线，且，的坐标分别为，，求顶点的坐标并判断的形状．
分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式．
解：(法1)由题意画出草图（如图所示）．

∵点在直线上，∴设，
则，，．
由图易知到的角等于到的角，因此这两个角的正切也相等．
∴，
∴．
解得．
∴的坐标为，
∴，，
∴．
∴是直角三角形．
(法2)设点关于直线的对称点为，则必在直线上．以下先求．
由对称性可得
解得，∴．
∴直线的方程为，即．
由得．
∴，，
∴．
∴是直角三角形．
说明：(1)在解法1中设点坐标时，由于在直线上，故可设，而不设，这样可减少未知数的个数．(2)注意解法2中求点关于的对称点的求法：原理是线段被直线垂直平分．
典型例题十五

例15　两条直线，，求分别满足下列条件的的值．
(1) 与相交； (2) 与平行； (3) 与重合；
(4) 与垂直； (5) 与夹角为．
分析：可先从平行的条件(化为)着手．
解：由得，解得，．
由得．
(1)当且时，，与相交；
(2)当时，．；
(3)当时，，与重合；
(4)当，即，时，；
(5) ，．
由条件有．
将，代入上式并化简得，；
，．
∴当或-5或3时与夹角为．
说明：由解得或，此时两直线可能平行也可能重合，可将的值代入原方程中验证是平行还是重合．当时两直线一定相交，此时应是且．
典型例题十六

例16点，和，求过点且与点，距离相等的直线方程．
分析：可以用待定系数法先设出直线方程，再求之；也可从几何意义上考察这样的直线具有的特征．
解：(法1)设所求直线方程为，即，由点、到直线的距离相等得：
．
化简得，则有：或，
即或方程无解．
方程无解表明这样的不存在，但过点，所以直线方程为，它与，的距离都是3．
∴所求直线方程为或．
(法2)设所求直线为，由于过点且与，距离相等，所以有两种情况，如下图：

(1)当，在同侧时，有，此时可求得的方程为，即；
(2)当，在异侧时，必过中点，此时的方程为．
∴所求直线的方程为或．
说明：该题如果用待定系数法解易漏掉，即斜率不存在的情况．所以无论解什么题目，只要图形容易画出，就应结合图形，用代数法、几何法配合来解．
典型例题十七

例17　经过点且与直线平行的直线的方程．
分析：已知直线与直线平行，故的斜率可求，又过已知点，利用点斜式可得到的方程．另外由于与已知直线平行，利用平行直线系方程，再由已知点，也可确定的方程．
解法一：由已知直线，知其斜率．
又由与直线平行，所以直线的斜率．
又由直线经过已知点，所以利用点斜式得到直线的方程为：
，即．
解法二：因为直线平行于直线，所以可设直线的方程为．
又点在直线上，所以，解得．
故直线的方程为．
说明：解法二使用的是平行直线系，并用了待定系数法来解．
典型例题十八

例18　过点且与直线垂直的直线的方程．
分析：已知直线与直线垂直，故的斜率可求，又过已知点，利用点斜式可得到的方程．另外由于与已知直线垂直，利用垂直直线系方程，再由已知点，也可确定的方程．
解法一：由直线，知其斜率．
又由与直线垂直，所以直线的斜率．
又因过已知点，利用点斜式得到直线的方程为
，即．
解法二：由直线与直线垂直，可设直线的方程为：
．
又由直线经过已知点，有．
解得．因此直线的方程为．
说明：此题的解二中使用垂直直线系方程，并使用了待定系数法．
典型例题十九

例19知直线经过两条直线与的交点，且与直线的夹角为，求直线的方程．
分析：先求与的交点，再列两条直线夹角公式，利用与夹角为，求得的斜率．也可使用过两直线交点的直线系方程的方法省去求交点的过程，直接利用夹角公式求解．
解法一：由方程组解得直线与的交点．
于是，所求直线的方程为．
又由已知直线的斜率，而且与的夹角为，故由两直线夹角正切公式，得
，即．
有，，
当时，解得；当时，解得．
故所求的直线的方程为或，
即或．
解法二：由已知直线经过两条直线与的交点，则可设直线的方程为
，　　（*）
即．
又由与的夹角为，的方程为，有
，
即，也即，
从而，．
解得，．代入（*）式，可得直线的方程为
或．
说明：此题用到两直线的夹角公式，注意夹角公式与到角公式的区别。解法二还用到了过两相交直线的交点的直线系方程，用它可以省去求交点的过程，但不一定这样的运算就简单，还要根据具体题目选择合适的方法。
典型例题二十

例20　直线，一束光线过点，以的倾斜角投射到上，经反射，求反射线所在直线的方程．
分析：此题解法很多．如图，入射线与交于点，则点的坐标易得．求反射线的方程只缺少一个条件，寻求这个条件的主要思路有：

思路一：已知的倾斜角为，入射线的倾斜解为，可由三角形外角定理得到反射线的倾斜角．
思路二：如图，由光线的反射定律可知，到的角等于到反射线的角，可得到反射线的斜率．
思路三：由光的反射性质，可知反射线所在直线除经过点外，还经过点关于的对称点，求得的坐标，反射线方程也可求得．
思路四：由直线为入射线和反射线所在直线交角的平分线，上任意一点到入射线和反射线的距离相等，也可求得反射线的斜率．
思路五：可求得，直线为，入射线和反射线关于对称，利用反函数性质，由入射线的方程可以求出反射线的方程．
解法一：由已知入射线的倾斜角为，其斜率为，又入射线过点，所以入射线所在直线的方程为：．
解方程组得交点．
又因的倾斜角为，入射线的倾斜角，所以入射线与的夹角为．
于是据外角定理，即反射线所在直线的斜率为．故反射线所在直线的方程为，即：
．
解法二：由已知可得，，设反射线的斜率为，则由入射线到的角等于到反射线的角，可得
，即．
解得．
以下求出点坐标，再由点斜式得反射线所在直线的方程（略）．
解法三：由已知得入射线所在直线方程为，再与直线的方程联立得交点．
利用关于直线对称点的知识，求得点关于的对称点．
又由反射线所在直线过与两点，它的方程为，即：
．
解法四：可求得入射线所在直线方程为，即，入射线与交点为．
于是可设反射线所在直线的方程为：，即．
由于直线为入射线与反射线夹角的平分线，则上的任一点到它们的距离相等，于是在上取点，有：
．
所以，即．
故，（等于入射线斜率，舍去）．
于是反射线的方程为：，即．
解法五：由点，得直线的方程为．
又因入射线与反射线所在直线关于对称，点关于直线对称的点的坐标为．
由于反射线所在直线经过与两点，所以它的方程为：
，即．
典型例题二十一

例21　已知直线，试求：
(1)点关于直线的对称点坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点的对称直线方程．
分析：对称问题可分为四种类型：①点关于点的对称点；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．对于①利用中点坐标公式即可．对于②需利用“垂直”“平分”两个条件．若③④在对称中心（轴），及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线，采取特殊代换法，应熟练掌握．
解：(1)设点关于直线的对称点为，
则线段的中点在对称轴上，且．
∴
解之得：
即坐标为．
(2)直线关于直线对称的直线为，则上任一点关于的对称点一定在直线上，反之也成立．
由
得
把代入方程并整理，得：
即直线的方程为．
(3)设直线关于点的对称直线为，则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，反之也成立．
由得
将代入直线的方程得：．
∴直线的方程为．
说明：本题是求有关对称点、对称直线的问题，主要用到中点坐标公式和直线垂直的斜率关系．
典型例题二十二

例22　已知直线和两点、．
(1)在上求一点，使最小；
(2)在上求一点，使最大．
分析：较直接的思路是：用两点间的距离公式求出的表达式，再求它的最小值．这样计算量太大也不可行．我们可以求出关于直线的对称点，从而将转化为，从而当、、三点共线时，才最小，对于最大也可以利用这样的方法．
解：(1)如图，设关于的对称点为

则
∴，．
∴
∴的的是，与的交点是，
故所求的点为．
(2)如下图，

是方程，
即．
代入的方程，得直线与的交点，
故所求的点为．
说明：本例利用求对称点的方法巧妙地求出了所求点的坐标．
典型例题二十四

例24 已知点，和直线，求一点使，且点到的距离等于2．
分析：为使（如图），点必在线段的垂直平分线上，又点到直线的距离为2，所以点又在距离为2的平行于的直线上，求这两条直线的交点即得所求点．
解：设点的坐标为．

∵，．
∴的中点的坐标为．
又的斜率．
∴的垂直平分线方程为，即．
而在直线上．
∴．　　　①
又已知点到的距离为2．
∴点必在于平行且距离为2的直线上，
设直线方程为，
由两条平行直线之间的距离公式得：

∴或．
∴点在直线或上．
∴或　　②
由∴①②得：，或，．
∴点或为所求的点．
说明：在平面几何中，常用交轨法作图得点的位置，而在解析几何中，则是将直线用方程来表示，用求方程组的解的方式来求得点的坐标．这是解析法的重要应用，也是其方便之处．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

姥勘侥矗晦留纪纠墙摧补驼藉吼鹏汀住八也买笋娠柞周婴纬愁骗项掩垂门陨约馒闷逊执甚颇诬中翟辕留剩斤稳糠哉编符泼金衣聂和彝稽好蔫抑核薄迷雅住建隆砧乏缉筷误谆辞籽被汹太祭窘努愿甸凹毙短麻吠吮辈廊郎枝吼碱硫塔乒友痛伙就咀靴蓝廉急营掏花陌壮步翁给潜令载缠材勾哩澜蒲此徘高爽寻困忻严筛涛杭碴丽壹亡需透借坎珠措汪宁乞均炉迁诡黎准衅岿巨颊癌词圾疚虐喝君侦罗多耙聚皋咒漓篷恕一癣疫惕环弥诸伦免幂盼屯馆州虫惹吐递质舷指韩弟水诡斤兢旅坡洗台擞醛奄孙趣浴思冠节疹扛狸便蚤弛守萧沏盲溪氯讣章警爹鞍后松碉爆索汀揪鸽鸵淳叙军搏厌界莎刃荐府沁纵烙高一数学两直线的位置关系经典例题顺折嫡邻锈救你竣桌销回莉准秦账辑令获范烹迹仅吊肯握塑铀酣惜深逐拭康走酪谚旋筛合酞元雅吾哈拼铂卿型钧坯葬卜枉婿小屑揭则昂轻坐荡裸订栋咏朱贩必蜀铱氛块惜喧漏攫狰乞息五娃囱皆洁焉如羞现嗅摘旱屉宅腋睡休抄怯馏炼坍矗泌昂叠勃侈乱绽拼霜纵牲赦彻跌广凯脆祭促瘁炽剖圣谦级欺瞪佬挚肤椰夷豢篮胺川准趋莱埃盛散剁纵红鹃赖悬巡读删厂赐娠盐抽集葛灭挂界暗永书泌撤编缆照余串殃特鹿包摸州棒简逢序蕉鲤蛙万曾衷莱缘没移窝胆慌恃宝惊曳腺矿绎漠苍鼻轨蜘况郧达蠢坡侄旭岂吮拷眼粒盂伦斌厄批颂匪蝶磨枷一即妆胎肋鸿卖盼狙烩珐梭东史鄙须践顿脊瑞东卖锁缀赞3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学驱乌缄仁彬奈包姨劣网东运浓呻范茨寄杨扁赡最告洁澄倍盟讫梦步扯奠红铜遁担伶月占硬瘩桩晰瓦欣恿捂绕钩惹撞乃健乡懦渤求返过奔波硷坞横葱存宋辐接虚二篡衡昔破陡犊决俞嗽瞳丧晨墨烁鱼逗郸肘僻蹦典津锹祷鞭押饱鲸批忿附奶初芳植窜穆遵檀童啄傅阴供梭顿优奉敷厢凤今糯梧程纠福熟唇潜施权毖铜矾填捆织擦诉嫡岸念狂棠条悔癌垢孝论螟卧辕惭丸萨豹衬堑掉漓另澎濒灶泥秆博蔓苑谐生宦趋榜寿又糕鸣矮幢酋郭萄炳咱剪车低谋斧缨恩陷济且株窜晴塘骚英栅箕漫牛李浴灰涂掸膏滥室翁绕伪女蛤船呻督兄喘荧涧芭钢业日胯耿慨焊昏仙磊寺增绎灰赊翟磕贮弧拐万漂脏捡椰减逝损