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矩矩 阵阵 论论教材：矩阵论简明教程（第二版）教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社科学出版社 第一章第一章 矩阵的基础知识矩阵的基础知识1.1 矩阵的运算矩阵的运算1.2 方阵的行列式方阵的行列式1.3 矩阵的秩矩阵的秩1.4 特殊矩阵类特殊矩阵类1.1 矩阵的运算矩阵的运算一、一、一、一、矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念1、数集R实数集，C复数集2、矩阵的记号NotationsNotations二、二、二、二、矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算1、加法，减法2、数乘3、乘法4、转置与共轭转置三、三、三、三、矩阵的块运算矩阵的块运算矩阵的块运算矩阵的块运算1、加法，减法2、数乘3、乘法4、转置与共轭转置1.2 方阵的行列式方阵的行列式一、一、一、一、行列式的定义与性质行列式的定义与性质行列式的定义与性质行列式的定义与性质二、块矩阵的二、块矩阵的二、块矩阵的二、块矩阵的行列式行列式行列式行列式即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。Example 1Example 1证：证：证：证：Example 2Example 2证：证：证：证：Example 3Example 3证：证：证：证：三、三、三、三、Vandermond Vandermond 行列式行列式行列式行列式一、一、一、一、矩阵秩的定义及基本性质矩阵秩的定义及基本性质矩阵秩的定义及基本性质矩阵秩的定义及基本性质1、秩的定义1.3 矩阵的秩矩阵的秩2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；二、二、二、二、矩阵秩等式矩阵秩等式矩阵秩等式矩阵秩等式三、三、三、三、矩阵秩不等式矩阵秩不等式矩阵秩不等式矩阵秩不等式定理定理定理定理1 1 1 1推论推论推论推论1 1 1 11.4 特殊矩阵特殊矩阵一、一、一、一、几类基本的特殊矩阵几类基本的特殊矩阵几类基本的特殊矩阵几类基本的特殊矩阵1、零矩阵，单位矩阵2、对角矩阵3、三角矩阵二、二、二、二、正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵定义定义定义定义1 1 1 1以下矩阵都是正规矩阵：定义定义定义定义2 2 2 2三、初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵1 1 1 1、定义、定义、定义、定义有以下三类初等矩阵：定义定义定义定义3 3 3 3Row iRow j2 2 2 2、三种初等矩阵的统一表示、三种初等矩阵的统一表示、三种初等矩阵的统一表示、三种初等矩阵的统一表示Remark四、其他特殊矩阵四、其他特殊矩阵四、其他特殊矩阵四、其他特殊矩阵第第1章章 矩阵的相似变换矩阵的相似变换2.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化2.3 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形2.4 Hamilton-Cayley 定理定理2.5 矩阵的酉相似矩阵的酉相似一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量1、定义、定义2.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义定义定义定义1 1 1 12、特征多项式、特征多项式定义定义定义定义2 2 2 2RemarksRemarks3、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法例例例例1 1 1 1解解解解二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质定义定义定义定义3 3 3 3定理定理定理定理1 1 1 1定理定理定理定理2 2 2 2定义定义定义定义4 4 4 4定理定理定理定理3 3 3 3定理定理定理定理4 4 4 4RemarksRemarks2.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化一、矩阵的相似一、矩阵的相似一、矩阵的相似一、矩阵的相似1、定义、定义定义定义定义定义1 1 1 12、性质、性质定理定理1 1定理定理定理定理2 2 2 2Proof ofProof of（2 2）二、相似对角化二、相似对角化二、相似对角化二、相似对角化1、定义、定义定义定义定义定义2 2 2 22、相似对角化的条件、相似对角化的条件定理定理定理定理3 3 3 3ProofProof推论推论推论推论1 1 1 1推论推论推论推论2 2 2 2Example 2Example 2Solution Solution Example 3Example 3SolutionSolution一、一、一、一、Jordan Jordan Jordan Jordan标准形标准形标准形标准形1、定义、定义定义定义定义定义1 1 1 12.3 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形RemarkRemark2、矩阵的、矩阵的Jordan分解定理分解定理定理定理定理定理1 1 1 1二、二、二、二、Jordan Jordan Jordan Jordan标准形的求法标准形的求法标准形的求法标准形的求法1、初等变换法、初等变换法定义定义定义定义2 2 2 2定理定理定理定理2 2 2 2ReamrkReamrk定义定义定义定义3 3 3 3由初等变换求矩阵由初等变换求矩阵由初等变换求矩阵由初等变换求矩阵 A A A A 的的的的JordanJordanJordanJordan标准形方法：标准形方法：标准形方法：标准形方法：例例例例1 1 1 1解解解解2、行列式因子法、行列式因子法定义定义定义定义3 3 3 3定理定理定理定理3 3 3 3由行列式因子求矩阵由行列式因子求矩阵由行列式因子求矩阵由行列式因子求矩阵 A A A A 的的的的JordanJordanJordanJordan标准形方法：标准形方法：标准形方法：标准形方法：例例例例2 2 2 2解解解解例例例例3 3 3 3解解解解三、三、三、三、相似变换矩阵的求法与相似变换矩阵的求法与相似变换矩阵的求法与相似变换矩阵的求法与JordanJordanJordanJordan标准形的幂标准形的幂标准形的幂标准形的幂1、相似变换矩阵的求法、相似变换矩阵的求法例例例例4 4 4 4解解解解RemarkRemark2、Jordan标准形的幂标准形的幂定理定理定理定理4 4 4 4RemarkRemark例例例例5 5 5 5解解解解一、一、一、一、Hamilton-CayleyHamilton-Cayley 定理定理定理定理1、定理、定理定理定理定理定理1 1 1 1（Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley 定理定理定理定理）2.4 Hamilton-Cayley 定理定理证明证明证明证明1、利用定理、利用定理1可以简化矩阵运算可以简化矩阵运算例例例例1 1 1 1解解解解二、二、二、二、Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley定理的应用定理的应用定理的应用定理的应用2、可逆矩阵逆的多项式表示、可逆矩阵逆的多项式表示三、三、三、三、零化多项式与最小多项式零化多项式与最小多项式零化多项式与最小多项式零化多项式与最小多项式1、零化多项式、零化多项式定义定义定义定义1 1 1 1NotationsNotations2、最小多项式、最小多项式定义定义定义定义2 2 2 2定理定理定理定理2 2 2 2证略证略证略证略3、零化多项式、零化多项式与与最小多项式的关系最小多项式的关系定理定理定理定理3 3 3 3证证证证定理定理定理定理4 4 4 4证略证略证略证略例例例例2 2 2 2解解解解2.5 矩阵的酉相似矩阵的酉相似1 1 1 1、向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积定义定义定义定义1 1 1 1定理定理定理定理1 1 1 12 2 2 2、向量的长度向量的长度向量的长度向量的长度定义定义定义定义2 2 2 2向量的长度具有如下性质：向量的长度具有如下性质：定理定理定理定理2 2 2 23 3 3 3、Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式不等式不等式不等式定理定理定理定理3 3 3 3（Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式）不等式）不等式）不等式）证证证证1 1 1 1、定义定义定义定义定义定义定义定义3 3 3 3定理定理定理定理4 4 4 4证证证证定义定义定义定义4 4 4 42 2 2 2、SchmidtSchmidt正交化正交化正交化正交化3 3 3 3、单位化单位化单位化单位化例例例例1 1 1 1解解解解三、三、三、三、酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵1 1 1 1、定义定义定义定义定义定义定义定义5 5 5 5NotationsNotations2 2 2 2、性质性质性质性质定理定理定理定理5 5 5 5定理定理定理定理6 6 6 6证证证证四、四、四、四、酉相似酉相似酉相似酉相似1 1 1 1、定义定义定义定义定义定义定义定义6 6 6 62 2 2 2、SchurSchur分解分解分解分解定理定理定理定理7 7 7 7（SchurSchur分解定理）分解定理）分解定理）分解定理）证证证证从而由归纳法可以证明。从而由归纳法可以证明。五、五、五、五、酉相似对角化酉相似对角化酉相似对角化酉相似对角化1 1 1 1、正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵定义定义定义定义7 7 7 7NotationsNotations以下矩阵都是正规矩阵：定理定理定理定理8 8 8 8证：必要性证：必要性证：必要性证：必要性充分性：充分性：充分性：充分性：2 2 2 2、HermiteHermite矩阵，反矩阵，反矩阵，反矩阵，反HermiteHermite矩阵及酉矩阵的特性矩阵及酉矩阵的特性矩阵及酉矩阵的特性矩阵及酉矩阵的特性定理定理定理定理9 9 9 9证证证证酉相似对角化方法：酉相似对角化方法：酉相似对角化方法：酉相似对角化方法：例例例例2 2 2 2解解解解六、六、六、六、Hermite Hermite 矩阵的正定性矩阵的正定性矩阵的正定性矩阵的正定性1 1 1 1、定义定义定义定义定义定义定义定义8 8 8 82 2 2 2、正定正定正定正定Hermite Hermite 矩阵的性质矩阵的性质矩阵的性质矩阵的性质定理定理定理定理10101010定理定理定理定理111111113 3 3 3、非负定非负定非负定非负定Hermite Hermite 矩阵的性质矩阵的性质矩阵的性质矩阵的性质定理定理定理定理12121212第第4章章 矩阵分析矩阵分析4.1 向量的范数向量的范数4.2 矩阵范数矩阵范数4.3 矩阵级数矩阵级数4.4 矩阵函数矩阵函数4.5 矩阵的微分与积分矩阵的微分与积分4.1 向量的范数向量的范数一、向量的范数一、向量的范数Recall：向量的长度的性质1 1.范数的定义范数的定义齐定义定义1 设 是 上一个泛函，满足齐则称 是 上一个范数.2.常用的向量范数常用的向量范数设定义定义定义定义2 2 2 2可以验证 均是 上向量范数，分别称为1-范数，2-范数，p-范数和-范数.例如，验证 满足三角不等式.