中考数学复习——二次函数知识点总结.pdf

1中考复习专题中考复习专题二次函数知识点总结二次函数知识点总结二次函数知识点：二次函数知识点：1 1二次函数的概念：一般地，形如二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而，而bc，可以为零二次函数的定义域是全可以为零二次函数的定义域是全体实数体实数2.2.二次函数二次函数2yaxbxc的结构特征：的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，的二次式，x的最高次数是的最高次数是 2 2 abc，是常数，是常数，a是二次项系数，是二次项系数，b是一次项系数，是一次项系数，c 是常数项是常数项二次函数的基本形式二次函数的基本形式1.1.二次函数基本形式：二次函数基本形式：2yax的性质：的性质：oo结论：结论：a a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：总结：2.2.2yaxc的性质：的性质：a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a 向上向上00，y 轴轴0 x 时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；0 x 时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；0 x 时，时，y 有最小有最小值值00a 向下向下00，y 轴轴0 x 时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；0 x 时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；0 x 时，时，y 有最大有最大值值02 结论：上加下减。结论：上加下减。总结：总结：3.3.2ya xh的性质：的性质：结论：左加右减。结论：左加右减。总结：总结：4.4.2ya xhk的性质：的性质：a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a 向上向上0c，y 轴轴0 x 时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；0 x 时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；0 x 时，时，y 有最小有最小值值c 0a 向下向下0c，y 轴轴0 x 时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；0 x 时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；0 x 时，时，y 有最大有最大值值c a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a 向上向上0h，X=hX=hxh时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；xh时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；xh时，时，y 有最小有最小值值00a 向下向下0h，X=hX=hxh时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；xh时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；xh时，时，y 有最大有最大值值03总结：总结：二次函数图象的平移二次函数图象的平移 1.1.平移步骤：平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：处，具体平移方法如下：【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.2.平移规律平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；值正右移，负左移；k值正上移，负下移值正上移，负下移”概括成八个字概括成八个字“左加右减，上加下减左加右减，上加下减”三、二次函数三、二次函数2ya xhk与与2yaxbxc的比较的比较请将2245yxx利用配方的形式配成顶点式。请将2yaxbxc配成2ya xhk。总结：总结：a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a 向上向上hk，X=hX=hxh时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；xh时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；xh时，时，y 有最小有最小值值k0a 向下向下hk，X=hX=hxh时，时，y 随随 x的增大而减小；的增大而减小；xh时，时，y 随随 x的增大而增大；的增大而增大；xh时，时，y 有最大有最大值值k4从解析式上看，从解析式上看，2ya xhk与与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即者，即22424bacbya xaa，其中，其中2424bacbhkaa，四、二次函数四、二次函数2yaxbxc图象的画法图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点轴的交点0c，、以及、以及0c，关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点2hc，、与、与 x轴的交点轴的交点10 x，20 x，（若与（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与轴的交点，与 y 轴的交点轴的交点.五、二次函数五、二次函数2yaxbxc的性质的性质 1.1.当当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为，顶点坐标为2424bacbaa，当当2bxa 时，时，y 随随 x的增大而减小；当的增大而减小；当2bxa 时，时，y 随随 x的增大而增大；当的增大而增大；当2bxa 时，时，y 有最有最小值小值244acba 2.2.当当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为，顶点坐标为2424bacbaa，当当2bxa 时，时，y 随随 x的增大而增大；当的增大而增大；当2bxa 时，时，y 随随 x的增大而减小；当的增大而减小；当2bxa 时，时，y 有最大值有最大值244acba六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.1.一般式：一般式：2yaxbxc（a，b，c 为常数为常数，0a）；2.2.顶点式：顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数为常数，0a）；3.3.两根式：两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与是抛物线与 x轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与只有抛物线与 x轴有交点，即轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化式的这三种形式可以互化.5七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.1.二次项系数二次项系数a二次函数二次函数2yaxbxc中，中，a作为二次项系数，显然作为二次项系数，显然0a 当当0a 时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；的值越小，开口越大；当当0a 时，抛物线开口向下，时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大的值越大，开口越大总结起来，总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大的大小决定开口的大小小2.2.一次项系数一次项系数b 在二次项系数在二次项系数a确定的前提下，确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴决定了抛物线的对称轴 在在0a 的前提下，的前提下，当当0b 时，时，02ba，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；轴左侧；当当0b 时，时，02ba，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是 y 轴；轴；当当0b 时，时，02ba，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧轴的右侧 在在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即当当0b 时，时，02ba，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；轴右侧；当当0b 时，时，02ba，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是 y 轴；轴；当当0b 时，时，02ba，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧轴的左侧总结起来，在总结起来，在a确定的前提下，确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置决定了抛物线对称轴的位置总结：总结：3.3.常数项常数项c 当当0c 时，抛物线与时，抛物线与 y 轴的交点在轴的交点在 x轴上方，即抛物线与轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；轴交点的纵坐标为正；当当0c 时，抛物线与时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为0；当当0c 时，抛物线与时，抛物线与 y 轴的交点在轴的交点在 x轴下方，即抛物线与轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负轴交点的纵坐标为负 总结起来，总结起来，c 决定了抛物线与决定了抛物线与 y 轴交点的位置轴交点的位置 总之，只要总之，只要abc，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.3.已知抛物线与已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.1.关于关于 x轴对称轴对称6 2yaxbxc关于关于 x轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于关于 x轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2.2.关于关于 y 轴对称轴对称 2yaxbxc关于关于 y 轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于关于 y 轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3.3.关于原点对称关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4.4.关于顶点对称关于顶点对称 2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5.5.关于点关于点mn，对称对称 2ya xhk关于点关于点mn，对称后，得到的解析式是对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程：1.1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程一元二次方程20axbxc是二次函数是二次函数2yaxbxc当函数值当函数值0y 时的特殊情况时的特殊情况.图象与图象与 x轴的交点个数：轴的交点个数：当当240bac 时时，图象与，图象与 x轴交于两点轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的，其中的12xx，是一元二次是一元二次方程方程200axbxca的两根这两点间的距离的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当当0 时，时，图象与图象与 x轴只有一个交点；轴只有一个交点；当当0 时，图象与时，图象与 x轴没有交点轴没有交点.1 当当0a 时，图象落在时，图象落在 x轴的上方，无论轴的上方，无论 x为任何实数，都有为任何实数，都有0y；2 当当0a 时，图象落在时，图象落在 x轴的下方，无论轴的下方，无论 x为任何实数，都有为任何实数，都有0y 2.2.抛物线抛物线2yaxbxc的图象与的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为轴一定相交，交点坐标为(0，)c；73.3.二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中中a，b，c 的符号，或由二次函数中的符号，或由二次函数中a，b，c 的符的符号判断图象的位置，要数形结合；号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x轴的轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母本身就是所含字母 x的二次函数；的二次函数；下面以下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：图像参考：y=x22y=2x2y=x2 y=-2x2y=-x2y=-x220 抛物线与抛物线与 x轴有轴有两个交点两个交点二次三项式的值可正、二次三项式的值可正、可零、可负可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与抛物线与 x轴只轴只有一个交点有一个交点二次三项式的值为非负二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与抛物线与 x轴无轴无交点交点二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根一元二次方程无实数根.8y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2