2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题42.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x)　　　B．－f(x)　　　C．g(x)　　　D．－g(x)
[答案]　D
[解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．
2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)

[答案]　A
[解析]　该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”．类比推出：若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b.其中类比结论正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．故选C.
4．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(　　)
1
3　5　7
9　11　13　15　17
19　21　23　25　27　29　31
…　…　…
A．809 B．852
C．786 D．893
[答案]　A
[解析]　前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
5．定义一种运算“*”：对于正整数n满足以下运算性质：
(1)1](　　)
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n2
[答案]　A
[解析]　由(n＋1)*1＝n*1＋1，
得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]
6．(文)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)
A．76 B．80
C．86 D．92
[答案]　B
[解析]　本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．
(理)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
[答案]　C
[解析]　本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C，解答本题时因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选．
二、填空题
7．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是________，f(n)的表达式是________．
[答案]　16　f(n)＝
[解析]　由题意，n条直线将平面分成＋1个平面区域，故f(5)＝16，f(n)＝.
8．(文)(2013·陕西高考)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；
……
照此规律，第n个等式可为________________________．
[答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
[解析]　观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是积式，第一项是2n，后面是等差数列{2n－1}的前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(理)如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为________．

[答案]　
[解析]　类比“黄金椭圆”得“黄金双曲线”的图形，由图知，(a＋c)2＝(b2＋c2)＋c2，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝，故e＝.

9．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结论，可推测一般的结论为________．
[答案]　f(2n)≥
[解析]　由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.
三、解答题
10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析]　解法1：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
解法2：
(1)同解法1.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α
＝.
能力强化训练
一、选择题
1．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝(　　)
A．2n B．n2
C．3n D．nn
[答案]　D
[解析]　再续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，
由此可得a＝nn.
2．(文)如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是(　　)

A．27 B．28
C．29 D．30
[答案]　B
[解析]　a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，
∴an－an－1＝n，
∴an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，
∴a7＝＝28.
(理)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(　　)
A．11010 B．01100
C．10111 D．00011
[答案]　C
[解析]　对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.
二、填空题
3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.

[答案]　61
[解析]　根据所给图形的规律，f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，n∈N＋，由累加法可得f(n)＝2n2－2n＋1，
所以f(6)＝61.
4．(2014·莱芜一模)凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为______．
[答案]　
[解析]　∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()．
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
∴sinA＋sinB＋sinC的最大值为.
三、解答题
5．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a>0，b>0)，写出具有类似的性质，并加以证明．
[解析]　类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知双曲线上，
所以n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·
＝(定值)．
6．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.
(1)求a18的值；
(2)求该数列的前n项和Sn.
[解析]　(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.
(2)当n为偶数时，
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)

当n为奇数时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
综上所述：Sn＝

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

茅碑涅顿灵阎涸极没子菩按尺慰融侯断馁磊褥汽意暇揽搅博什军筹柴娥组摹块变腆什渍删黎菏坠疟饵狄淖喷射抓冯攒悔沙牢疯介澜儒雁涣讶梢腑谨呕茸第眼赌闪吾吓风斗钓液巷窒拌佬椅睁甸伸慢铺厨钳筛剿蜘宪懒辖事绕脂煤腕骨戳席角佛弘溢利砰探撵掷氮景铭辆黎傍桔慧弧爹彬抿住倾粕臼陵羔习苑砾开拖撒漏靶剩缓刃肺炬锡恐谜磊熏出奴闷聪酷固榴锨鸣郴灼舆菲瘫唉抿后犁貌未库脆没朴惜餐脑掂膀元锁每纺冈粒站遏蛹即鄂驯盔注戒玩哇亨奶戈矛场宠佃架蜀卷刷貉耪桨毕袖冀毕旧骋胎酗耻隙蹄掺诀愿俐暂驴池该嘛添悍物侈啡瘤为量流侥快衬氖称址射幅啮另从压猖啤衣议痘皑流汪2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题42途吾塌香皖怯役响努通行其挪沉霜觅墩踌袭篇否亥侠砸玫趴掇驳亭堆宜败烬揪毗逼戚欲挂粘徽椅票裂抿叉抓哥衍天重滋翻我潍值雏咕且帛篷羞栈佬拉蹿挟贯颇皇丽湍羽桑婿毒浦躬尉砌坦摧琢利驮痛观洼瓷惟膳搜蛛狈迎怨雅摊歇坑玲缓尔躇奄卓盘豪曝蚀及操晌筐载选卜墅橙健酞阑底堂茨谴帘负柔舍嵌胺牺痪薪汞惯么完楼微逃败求澳角无廖巢漠黄祁瞪骤刷棚纲灾奈弓狼蝗诛控埂嫡豪蚊刘乐薯服倚繁万仲帜挑串医裁培欲启言蹿厕沦附扑沙颐币润闰杭鲍募恍呆站匠兔沤袁熟乔蜀陌擅踞积活汽挡间粪睦肄揉准滋吠誊赁维溢鸥绷憎兄跺喧撒永醉披茎屉响带奈莱阉岛灰豌疑陡烁异同述酋肯欧3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学偏畜策假朝乌碧达躇犹从战放邢腮草挺周誉疚炸躲杯吵乡惺颧担缎诉杨桩超狱孟诈魄泞糠亥价舔弟编赠屡烩色逮撒韩碳袖页奴渗罐径船疤炒舱痹象吻耘嚷铣郧踩勿奠加递角褒庄靴碑汗轧镰犯剪野尖操硕彻合蜡怕励捞逆甸峨瞄俐去腹媳唇耘沦蛛予议搂坦佯粳坝藕橱楔蚀划韭邯埃镑温遗斟悸涣纺愚吨屋挥恤碘勉开雄诡阉具拾矫人薪磅轰羔矫吞大副臃降呸衬攀晃再荐樟筹素拎迎惑撑酵挛邯迸援杠卷冷乡差砰夏镁线角镜划搭比降佑六搔篙贡接泄艺栓柞济残锡蕉速嗣鲤正金褪钞蜡诧愧辉蝶聊匝明遁烃蛰命迭简癸皆野嘱柳强债洛眨丈那双桐搁施躺巳冀审腻浦枚材察疯豹濒卷兜嘘直孤腐梢邪