2015年中考数学试题考点分类汇编30.doc

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点直线与圆的位置关系
选择题
1．(2015•江苏南京,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，，∴，∴NM=，∴DM==，故选A．

考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．
2.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（　　）

A．
①②
B．
①②③
C．
①④
D．
①②④

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．.
分析： 根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．
解答： 解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
而AB=CB，
∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，
∴∠1=∠2，
而CD=ED，
∴∠3=∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC=90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故选D．

点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．
经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）

A．
20°
B．
25°
C．
40°
D．
50°

考点： 切线的性质．
分析： 连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答： 解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．
3．（2015•广东广州,第3题3分）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）

A．
2.5
B．
3
C．
5
D．
10

考点： 切线的性质．
分析： 根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．
解答： 解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．
故选C．
点评： 本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．
4. （2015•浙江衢州,第10题3分）如图，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点，若，则的半径是【 】

A. B. C. D.
【答案】D．
【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．
【分析】如答图，连接，过点作于点，
∵，∴.
∵，∴.∴.∴.
∵是的切线，∴.∴.
∴，且四边形是矩形.
∵，∴由勾股定理，得.
设的半径是，
则.
∴由勾股定理，得，即，解得.
∴的半径是.
故选D．

5. （2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， tan∠OAB=，则AB的长是( )
A. 4　　　 B. 2　　　 C. 8 　　　D. 4

【答案】C.
考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理

6. （2015•浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )
A. CD+DF=4 B. CD−DF=2−3 C. BC+AB=2+4 D. BC−AB=2

【答案】A.
【解析】
试题分析：如图，设⊙O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证△OMG≌△GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC−AB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC−AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD−DF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.

考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；
7. （2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则☉C的半径为（▲）

（A）2.3 （B）2.4
（C）2.5 （D）2.6
考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．.
分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC•BC=AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
解答：解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
即CD===，
∴⊙C的半径为，
故选B．

点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．

8. （2015•四川省内江市，第10题，3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　）

A．
40°
B．
35°
C．
30°
D．
45°

考点： 切线的性质．.
分析： 连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
解答： 解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．

点评： 本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．

9. （2015•四川乐山,第10题3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

A．8 B．12 C． D．
【答案】C．

10．（2015•广东梅州,第6题，3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C． 40° D．50°
考点：切线的性质．.
分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答：解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．
11. （2015•山东潍坊第7 题3分）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（　　）

　 A． 70° B． 50° C． 45° D． 20°
考点： 切线的性质．.
分析： 由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
解答： 解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．

点评： 本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键．

二.填空题
1. （2015•浙江宁波，第17题4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为 ▲

【答案】.
【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.
【分析】如答图，连接EO并延长交AD于点H，连接AO，

∵四边形ABCD是矩形，⊙O与BC边相切于点E，
∴EH⊥BC，即EH⊥AD. ∴根据垂径定理，AH=DH.
∵AB=8，AD=12，∴AH=6，HE=8.
设⊙O的半径为，则AO=，.
在中，由勾股定理得，解得.
∴⊙O的半径为.

2.（2015•江苏徐州,第14题3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=　125　°．

考点： 切线的性质．.
分析： 连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．
解答： 解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125．

点评： 本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
3.（2015湖北荆州第18题3分）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　﹣　．

考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
解答： 解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO，
∴=，即=，解得CH=，
∴AH===，
∴BH=10﹣=，
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC，
∴=，即=，解得r=，
∴OD=OC﹣CD=6﹣=，
∴P（，﹣），
∴k=×（﹣）=﹣．
故答案为﹣．

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
4.（2015•福建泉州第14题4分）如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=　　．

解：∵直线AB与⊙O相切于点B，
则∠OBA=90°．
∵AB=5，OB=3，
∴tanA==．
故答案为：
5. （2015•四川成都,第24题4分）如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作 的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为 .

图（1） 图（2） 图（3）
【答案】：或或
【解析】：（1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；
易知，
射影知.
（2）当时，如图（2），延长交于点，易知，，
易知.
（3）当时，如图（3），
由.
综上：或或
6. （2015•浙江省绍兴市，第14题，5分） 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为 ▲
考点：点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．.
专题：分类讨论．
分析：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或．
解答：解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A==，
∴PA的长为3或．
故答案为3或．

点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．

7. （2015•淄博第17题,4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　3+　．

考点： 二次函数综合题．.
分析： 连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
解答： 解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO•BO=3，
∴CO=，
∴CD=CO+OD=3+，
故答案为：3+．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
8. （2015•浙江省台州市，第16题）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为____

三.解答题
1. （2015•四川省内江市，第27题，12分）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

考点： 圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．.
专题： 综合题．
分析： （1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
解答： 解：（1）连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=OC，
∴OC==h，
∴AB=2OC=h；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，

则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，
则OF=4，AB=2OF=8．
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．
点评： 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．

2. （2015•四川省宜宾市，第23题，10分）(注意：在试题卷上作答无效)
如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A。
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长.

3. （2015•浙江省台州市，第22题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数
（2）求证：∠1=∠2

4.（2015•江苏泰州,第24题10分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F。
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若 AC=3AE，求。

【答案】(1)证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的
试题解析：（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=，
在Rt△BEC中，tanC=.
考点：切线的判定．
5.（2015•山东东营,第21题8分）(本题满分8分)已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AC=4.

考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.
6.（2015•山东聊城,第24题10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

考点： 切线的性质；解直角三角形．.
分析： （1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
解答： （1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；

（2）解：有（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=，
在Rt△POD中，cos∠POD==，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．

点评： 本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．
7.（2015•山东临沂,第23题9分）
如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）.

【答案】（2）
试题解析：（1）证明：连接OD.
∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC.
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠CAD.
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠OAD
∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC.

（2）方法一：连接OE，ED.
∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°.
又∵，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED∥AO，
∴，
∴阴影部分的面积 = S扇形ODE = .

考点：圆的综合（切线的性质，角平分线，阴影部分面积，三角形的面积，扇形面积）

8. （2015•四川广安，第25题9分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．

考点： 切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．.
分析： （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．
解答： （1）证明：连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，

∵=，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO==2，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，
∴PB=PA=3，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC=BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴，
即，
解得：BD=，
在Rt△OBD中，
tanD===．
点评： 本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

9. 　（2015•四川甘孜、阿坝，第20题10分）如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

考点： 切线的判定．.
分析： （1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，∠B=∠C=60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD=∠C，证出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）先证明△OCF是等边三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函数即可求出FH．
解答： 解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OF，如图2所示：
∵OC=OF，∠C=60°，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC=BC=AB=2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°，
∴FH=CF•sin∠C=2×=．

点评： 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
10．（2015•山东潍坊第21题10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．.
分析： （1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AD，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）证得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．
解答： （1）证明：如图，

连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴=，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴=，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
点评： 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

11．（2015•广东梅州,第22题，9分）如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．.
分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．
（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．
解答：解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
∴设直线l的解析式为：y=kx+b，
∴
∴．
∴直线l的解析式为：y=﹣x+3；
（2）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
①如图所示，此时⊙M与此直线l相切，切点为C，
连接MC，则MC⊥AB，
在Rt△ABM中，sin∠BAM==，
在Rt△AMC中，∵sin∠MAC=，
∴AM===4，
∴点M的坐标为（0，0）．
②此时⊙M'与此直线l相切，切点为C'，
连接M'C'，则M'C'⊥AB，
∴∠M′C′B=∠MCB=90°，
在△M′C′B与△CMB中，
，
∴BM'=BM=3，
∴点M'的坐标为（0，6）．
综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）．

点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．

A
B
C
D
E
F
M
O

12．(2015·深圳，第22题 分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动。
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：。

【解析】

13．(2015·南宁，第25题10分)如图14，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC = CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.
图14

（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若,求E的度数.
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长.
考点：圆的综合题．.
分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；