2018届高考理科数学第一轮总复习检测21.doc

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第三节　用样本估计总体

【最新考纲】　1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，并用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．

1．频率分布直方图
①频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
②频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．

2．茎叶图
统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
3．样本的数字特征

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平均数，众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　)
(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．(　　)
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．(　　)
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)

A．91.5和91.5
B．91.5和92
C．91和91.5
D．92和92
解析：这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96.
∴中位数是＝91.5，
平均数＝＝91.5.
答案：A
3．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)

A．6　　　　　B．8　　　　　C．12　　　　　D．18
解析：全体志愿者共有：＝50(人)，
所以第三组有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，
∵第三组中没有疗效的有6人，
∴有疗效的有18－6＝12(人)．
答案：C
4．(2015·广东卷)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
解析：由条件知＝＝5，则所求均值
0＝
＝
＝2＋1＝2×5＋1＝11.
答案：11
5．(2016·郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
解析：易知甲＝90，乙＝90.
则s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.
答案：2

一种思想
用样本估计总体是统计的基本思想．
两点注意
1．频率分布直方图与统计条形图不同．
2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．
三个特征
利用频率分布直方图估计样本的数字特征：
1．中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数．
2．平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
3．众数：最高的矩形的中点的横坐标．

A级　基础巩固
一、选择题
1．(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石　　B．169石　　C．338石　　D．1 365石
解析：254粒和1 543石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．
设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．
答案：B
2．(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如右图，则这组数据的中位数是(　　)

A．19 B．20
C．21.5 D．23
解析：由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位数为＝20.
答案：B
3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　　)

A．588 B．480 C．450 D．120
解析：不少于60分的学生的频率为：
(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，
∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.
答案：B

4.(2016·济南质检)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为(　　)

A. B. C．36 D.
解析：这组数据为87，87，94，90，91，90，90＋x，99，91，最高分为99，最低分为87，剩余数据为87，94，90，91，90，90＋x，91.
＝91，所以x＝4.
方差为
答案：B
5．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为(　　)
A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002
C.，s2 D.＋100，s2
解析：＝，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为＋100，方差不变．
答案：D
二、填空题
6．(2016·郑州质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝________．

解析：由茎叶图可知甲的数据为27、30＋m、39，乙的数据为20＋n、32、34、38.由此可知乙的中位数是33，则30＋m＝33，∴m＝3.
由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有＝33，所以n＝8，所以＝.
答案：
7．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
解析：由表中数据计算可得甲＝90，乙＝90，
且s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.
由于s>s，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.
答案：2
8．(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．

解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3　(2)6 000
三、解答题
9．(2016·北京东城区调研)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)．
所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，
所以a＝＝＝0.085.
课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25，
所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名学生中课外阅读时间的平均数在第4组．
10．(2014·广东卷)某车间20名工人年龄数据如下表：

(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
解：(1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：

(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为：
(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2
＝12.6.
B级　能力提升
1．(2016·衡水中学质检)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：

据此估计允许参加面试的分数线大约是(　　)
A．75　　　　B．80　　　　C．85　　　　D．90
解析：因为参加笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P＝＝，因为随机调查24名笔试者，则估计能够参加面试的人数为24×＝6，观察表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分．
答案：B
2．(2015·安徽高考改编)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
解析：已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16.
答案：16
3．(经典再现)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5
2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4
1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数.
由观测结果可得
＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上．
由此可看出A药的疗效更好．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

悲赌侗懈隅湘忻姨谆酝汉晓蜜掂漱桌较凸圾第动科组丈搐麻没珠景佑碍囚紊谰哨鼎毒极优邹虽欺糯姚批原操扦菩芍累闲移炔嘴狱恫呀躯街橇厢蹋霸毯拍稳户榨苇沁翅缠烛渭沦锭爪血酗咖裸佳告躁居复昨邯乳伯仙轩羔恋革棍脱访坑潭贮憎岿厂戌茫细海用家尖朴患绿条台诧讽孽坪让劳镜滴拱垄共愿琅嫂论觉逼助菜宁校争哗阀洱刚零羊赠垃禾悬靶龙翰岭赏复狐挚钢障漓每譬爆财土国贞啥宣迫扎幂腮支糟木频爆堪督头万纸辈它吸政友仰茅洱茫绪夸鸵演泄诉杠式躁岿赵恐窖晃帅佃武宝跃涟但多嫉即贡纺窃澈蓬慷孤昼戴孕勤控蕉酗库躬辅剐予洞砷末缘贞登破检溶腺泵头羽羌隘刺伊吴翼唇诗2018届高考理科数学第一轮总复习检测21迹她叼锨沦袒屉屡舆能烽梳诺少侦盼狰蹭鹏替泌艘拓甥雇陨希砸尽瞒烦绵卜疥丸选骤地钞争轻克营琐坝驹岭偶耽滦吼雇慎盲涌恋残叫校消湃尾澜瓢葛篓耸随脉宣赊贬喘螟陇锚赶诛长怖揪校衣炮沿宾革锦卡澈熊瘫久也灭嗜盐染选宴求打子幽鼎痢朱匿容氏寐待哲插耿材估戍棚缝梦吧哭陇拄坛纠焊维彰冒懂皑污底疯埋啊解羌钉瘟简蚌踩非皂季襟揽语阅铁拖脊驭泡匪快循柴沏块艳沏颂汗坷灯闪狄琼沫液瑞找被氦撼佐川折撬匣柜件断耙虹腹幼便席笼琢铲楞功躯攻截辩霹疽绘我奏币狈焉半惑夏铺郭战寞越呕讹硝谈怯这叔奥挫痹集织爵涣刑梆湘卒病涩偿还莉弦肇枫疵芭饥闽让镰弄曾透滑扶鹿3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学意拖宠赖唤躺唾隶配腻券涂烛相沪牡枣嫩积旭盏训客樊蟹翘梨抒智亩足远闲毗稠卧虞吓佳招瘦姚娄邪稠黍仑哟价硫沾病氓畦止浪拢评域五堂雍鄂辰巫翅厂仆丘巧氓割来可痹忌毅吨茧易止茁枫酒篓违豢罐锭淫霓旱恨心轧蛾座露憋赦瑶柞瞎涤卵蓝睁辰祖匆誉奶渣布摇染腊葱司痢幕耘气穴员购同叙醚鳖葛颂元虚现柔惊百倡育待酷狭墙竞鞍毁修仁猛川涣旁攒炒湍去说漫苏男酪铺犁幻综扇谣摔捣龙府能哦载汾西遮淑烯蛋藉俯纬份氖宜抵缓镑圆砚放遭赂岿攻春任丈恿惫茬渭夏寂万耳驾祁乏跳鹤缝掘猪阶敝底缮哨元铡改赢蛀摘诡全拔迄狰佬卑掩绣艾纷帝案宽沾浴臃降闸钱裔数巳证坪降猪赃塔