高三数学基础突破复习检测21.doc

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第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
4.三角函数线
设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线．
【基础考点突破】
考点1．象限角及终边相同的角
【例1】(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．
(2) 已知α是第二象限角，求角所在的象限．

【归纳总结】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
变式训练1. （1）(2016·济宁模拟)与－2 015°终边相同的最小正角是　　　　.
（2）(2016·枣庄模拟)若角α与β的终边相同,则角α-β的终边　(　　)
A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上 C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上
（3）设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
考点2. 扇形弧长、面积公式的应用
【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
（1）若半径为10 cm，圆心角为，求弧长及扇形面积．

（2）若扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形圆心角的弧度数．

（3）若扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？

变式训练2.(2016·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是　(　　)
A.2 B.sin2　 C. D.2 sin1
变式训练3.已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为______cm和圆心角为_____弧度时，扇形面积最大．

考点3.三角函数的概念
命题点1　三角函数定义的应用
【例3】(1)角α的终边经过点P(2，3)，则有(　　)
A．sin α＝　 B．cos α＝ C．sin α＝ D．tan α＝
（2）已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝，求sin α，tan α的值．

变式训练4. (2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 =　(　　)

命题点2　三角函数值的符号
【例4】　(1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
(2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【归纳总结】根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
变式训练5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]
命题点3　三角函数线
【例5】(2016·烟台模拟)函数的定义域为　　　　.
【归纳总结】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
(2)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．
变式训练6.(1)求函数y＝的定义域；(2)求满足tan x＝－1的角x的集合．

【基础练习巩固】
1.sin(-270°)=　(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
2．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.(2016·广州模拟)若tanα<0,且sinα>cosα,则α在　(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(　　)
A. B. C. D．2
5．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于(　　)
A. B．± C．－ D．－
6．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0 C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
7．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是(　　)
A．①② B．② C．③ D．①③
8．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪ C.∪ D.∪
9．函数y＝＋ 的定义域是____________________．
10.(2016·德州模拟)已知角α的终边经过点P(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则a的取值范围是　　　　　.
11.(2016·青岛模拟)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=　　　　.
12．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
13．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．
14．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ.

15．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．

2017年高考数学基础突破——三角函数与解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（教师版）

【知识梳理】
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线．
【基础考点突破】
考点1．象限角及终边相同的角
【例1】(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．
(2) 已知α是第二象限角，求角所在的象限．

答案　(1) {α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；(2) 第一或第三象限角
解析　(1)因与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式．所以图中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
（2）∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z)，∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
【归纳总结】表示区间角的三个步骤：（1）先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；（3）起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
变式训练1. （1）(2016·济宁模拟)与－2 015°终边相同的最小正角是　　　　.
（2）(2016·枣庄模拟)若角α与β的终边相同,则角α-β的终边　(　　)
A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上 C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上
（3）设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
【答案】（1）145°；（2）A；（3）B
解析：（1）因为－2 015°=－6×360°+145°，所以145°与-2 015°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有145°与－2 015°终边相同，所以与－2 015°终边相同的最小正角是145°.
（2）由于角α与β的终边相同,所以α=k·360°+β(k∈Z),从而α-β=k·360°(k∈Z),此时角α-β的终边在x轴正半轴上. 选A.
（3）方法一：由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
方法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.

考点2. 扇形弧长、面积公式的应用
【例2】已知一扇形的，半径为R，弧长为l.
（1）若半径为10 cm，圆心角为，求弧长及扇形面积．

（2）若扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形圆心角的弧度数．

（3）若扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
[解]　(1)l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)，S＝|α|·r2＝×π×102＝π(cm2)．
（2）设扇形的半径为R，弧长为l，由已知得解得
∴扇形圆心角的弧度数是＝2.
（3）设扇形圆心角为θ，半径为r，则2r＋θ·r＝20，∴θ＝.
∴S扇形＝θr2＝··r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<20)．
∴当r＝5时，S扇形max＝25，此时θ＝2.
综上可知，当半径为5，圆心角为2时，能使扇形的面积最大，最大面积为25.

【归纳总结】 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
变式训练2.(2016·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是　(　　)
A.2 B.sin2　 C. D.2 sin1
【解析】选C.如图:∠AOB=2弧度,过O点作OC⊥AB于C,并延长OC交弧AB于D.则∠AOD=∠BOD=1弧度,
且，在Rt△AOC中, 即,从而弧AB的长为．

变式训练3.已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大．
答案 1　2
解析　设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.

考点3.三角函数的概念
命题点1　三角函数定义的应用
【例3】(1)角α的终边经过点P(2，3)，则有(　　)
A．sin α＝　 B．cos α＝ C．sin α＝ D．tan α＝
（2）已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝，求sin α，tan α的值．
解析：（1）选C.由三角函数的定义可知，r＝＝.
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝.
（2）由点P(x，－)及x≠0知点P位于第三或第四象限．
又cos α＝>0，且cos α≠1，∴角α的终边在第一或第四象限．
∴点P在第四象限，故x>0.
又r＝|OP|＝，且cos α＝，∴＝，解得x2＝2，∴x＝.
∴r＝2，∴sin α＝－，tan α＝－1.
变式训练4. (2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 =　(　　)

解析：选D.因为角α的终边过点，所以，
所以．

命题点2　三角函数值的符号
【例4】　(1)若cos α＜0且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
(2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)∵cos α＜0，∴α的终边落在第二、三象限或x轴的负半轴上；
又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
(2)由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos ，∴cos ≤0，
综上知为第二象限角．
【归纳总结】根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
变式训练5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3]
答案　A
解析　∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2＜a≤3.

命题点3　三角函数线
【例5】(2016·烟台模拟)函数的定义域为　　　　.
答案:
解析：要使原函数有意义,必须有: ，即，如图,在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知,原函数的定义域为

【归纳总结】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
(2)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．
变式训练6.(1)求函数y＝的定义域；
(2)求满足tan x＝－1的角x的集合．
解：(1)如图，∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. ∴函数定义域为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．

(2)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT＝－1，连结OT，OT所在直线与单位圆交于P1、P2，则OP1或OP2是角x的终边，则x的取值集合是{x|x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z}，即为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．如图．

【基础练习巩固】
1.sin(-270°)=　(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
【答案】选D.
【解析】sin(-270°)=sin(-270°+360°)=sin 90°=1.
2．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　C
解析　－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
3.(2016·广州模拟)若tanα<0,且sinα>cosα,则α在　(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[
【答案】选B.
【解析】因为tanα<0,所以α在第二或第四象限,又sinα>cosα,所以α在第二象限.
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(　　)
A. B. C. D．2
答案　C
解析　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.
5．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于(　　)
A. B．± C．－ D．－
答案　D
解析　依题意得cos α＝＝x＜0，由此解得x＝－.
6．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0 C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
答案　B
解析　α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D，故选B.

7．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是(　　)
A．①② B．② C．③ D．①③
答案　C
解析　与－1 000°终边相同的角是80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则cos(－2 200)°>0；－<－10<－3π，
所以－10是第二象限角，则tan(－10)<0.
8．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪ C.∪ D.∪
答案　B
解析　由已知得α∈[0,2π]，
∴
故α∈∪.
9．函数y＝＋ 的定义域是____________________．
答案　(k∈Z)
解析　由题意知即∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
10.(2016·德州模拟)已知角α的终边经过点P(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则a的取值范围是　　　　　.
【解析】由得 所以-2<a≤3.
答案:(-2,3]
11.(2016·青岛模拟)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=　　　　.
【解析】根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限角.所以y<0,sinθ=-=,解得y=-8.
答案:—8
12．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
答案　
解析　设扇形半径为r，弧长为l，则解得
13．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．
答案　(1，)
解析　设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，
∴x＝2cos 60°＝1，y＝2sin 60°＝，
∴B点的坐标为(1，)．

14．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ.
解　∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－，又tan θ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，因此sin θ＋cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ的值为0或－.

15．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．

解　设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·|－|＝2π.
所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4＝的位置，则xC＝－cos·4＝－2，yC＝－sin·4＝－2.
所以C点的坐标为(－2，－2)．
P点走过的弧长为π·4＝π，Q点走过的弧长为π·4＝π.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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