函数域上双重酉欧拉函数的均值.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(9),2639-2647 Published Online September 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.139270 文章引用文章引用:李玲.函数域上双重酉欧拉函数的均值J.理论数学,2023,13(9):2639-2647.DOI:10.12677/pm.2023.139270 函数域上双重酉欧拉函数的均值函数域上双重酉欧拉函数的均值 李李 玲玲 青岛大学数学与统计学院，山东 青岛 收稿日期：2023年8月5日；录用日期：2023年9月7日；发布日期：2023年9月14日 摘摘 要要 本文给出了函数域本文给出了函数域()qT中双重酉欧拉函数中双重酉欧拉函数()f 的定义，研究了其可乘性，并给出了双重酉欧拉函数的定义，研究了其可乘性，并给出了双重酉欧拉函数()f 的一个渐近公式。的一个渐近公式。关键词关键词 函数域，双重酉欧拉函数，均值估计函数域，双重酉欧拉函数，均值估计 The Average Value of Bi-Unitary Euler Function in the Function Fields Ling Li School of Mathematics and Statistics,Qingdao University,Qingdao Shandong Received:Aug.5th,2023;accepted:Sep.7th,2023;published:Sep.14th,2023 Abstract In this paper,we give the definition of bi-unitary Euler function()f in function field()qT,study its multiplicativity,and give an asymptotic formula of bi-unitary Euler function()f.Keywords Function Field,Bi-Euler Function,Average Value Estimation 李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2640 理论数学 Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 作为数学中一个重要的分支数论，欧拉函数是数论中非常重要的一个算数函数，它对素数分解、公钥加密、广义费马大定理等方面都有着非常重要的应用，而欧拉函数的均值估计也具有着非常重要的研究意义。对于任意正整数 n，我们令欧拉函数()n表示为小于等于 n 的正整数中与 n 互素的个数。对于任意的0，Mentens 1证明了()()223,n xnxR x=+其中()1R xx+。对于()R x的估计，Walfisz 2和 Carella 3分别证明了()()()()2 34 3logloglog,.R xxxxR xx 对于欧拉函数()n的倒数的均值估计，Carellan 还证明了()011loglog,n xxccxOnx=+其中0c和1c是两个常数。设1n 为正整数，若|d n且()gcd,1d n d=，则称 d 是 n 的一个酉除数，记为|dn。令(),:max:|,k ndd k dn=，定义酉欧拉函数()n为()():11,.nkkn k n=Cohen 4证明了酉欧拉函数()n是一个可乘函数，并且给出了()n的一个均值估计()()22log,2n xxnO xx=+(1.1)其中()111pp p=+。对于酉欧拉函数()n的其他性质可以参看文献5 6 7 8。随后，Sitaramachandrarao 和 Suryanareynan 9改进了(1.1)的余项，得到()()52433logloglog,2n xxnO xxx=+其中与(1)一致。令(),:max:,k nddk dn=为 k 和 n 的最大酉公因式，我们定义双重酉欧拉函数()n为()():1,1.nkkn k n=Haukkanen 10证明了 Open AccessOpen Access李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2641 理论数学 ()(),d nnnddd=其中()()()()1,1,1,1,nnddndnd=()n为 n 的不同素因子的个数。Subbarao 和 Suranarayana 11给出了()n的一个均值估计()()22log,2n xAxnO xx=+其中()()22341221121.1pppAppppp=+受上述研究的启发，我们在函数域中考虑类似的问题。设q为 q 元有限域，在函数域()qT中，令为一元多项式环中所有首一多项式构成的集合。对于任意的f，称首一多项式 d 为 f 的酉因式，如果|df且(),1d f d=，记为|df。若 d 满足|df且|dg，则称 d 为 f 与 g 的酉因式，记 f 与 g 的次数最大的酉因式为(),f g。特别地，当(),1f g=时，称 f 与 g 是酉互素的。我们定义函数域上双重酉欧拉函数()f为中次数小于 f 的次数且与 f 是酉互素的多项式的个数，即()()():,1,degdeg.qfgTf ggf=对于双重酉欧拉函数()f我们有下面的定理。定理定理 1.1 对于任意的正整数1n，01 2 (2.1)其欧拉乘积为()()1irr.11,1.sPssP=(2.2)由(2.1)，我们有()()11,1,1sssq=(2.3)即函数域上的 zeta 函数可解析延拓到整个复平面上除1s=点外。下面我们给出证明定理 1 所需的几个引理。2.2.预备引理预备引理 在数论中有一类非常重要的函数乘性函数，它具有非常良好的性质即它在一个整数上的函数值等于对该整数做素幂因子分解后所有素数幂上的函数值之积。下面我们证明函数域上的双重酉欧拉函数()f也是一个乘性函数。引理引理 2.1：对任意 1212ssqfP PPT=，其中iiP是两两互素的首一的不可约多项式，1,is=，我们有()()()()1212.ssfPPP=证明：首先定义如下的一些集合，|0degdeg,fUggf g=|0degdeg,1,iiiiPUggPgis=()|,1,fUhh fhU=()()1,|,1,1,.iiisiiiPUhhh PhUis=令是集合 U 到集合U的一个映射()()12:,mod,1,2,.isiiUUhh hhhhPis=下面证明映射为一个双射。映射为单射。设对于任意的,h hU，有()()12,shh hh=，()()12,shh hh=。若()()1212,ssh hhh hh=，则()11modhhP，()22modhhP，()modsshhP。从而有()1212modsshhP PP=。因为degdeghf，degdeghf，即存在某个()1iis，使得|iiPh。又因为 h 满足()modiiihhP，从而有iiihP=，这与(),1iiih P=矛盾。所以hU，从而有映射是满李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2643 理论数学 射。故映射是双射。因为集合 U 与集合U之间存在一个双射，则 UU=。从而由双重酉欧拉函数的定义有()()()()1212.ssfPPP=设s，对于任意的01 2+对于()G s我们有下面的一个引理。引理引理 2.2 对于任意的01 2+时，存在与有关的常数()C，使得()().G sC 证明：当()1s+时，由()G s的定义有()2121irr.1 irr.212111.nssssPnPG sPPPP=+=+由于,snsnPqP=，于是()()()21211 irr.1212111,nnansnsnsnsnPnG sqqqq=+=+其中na表示n中首一的不可约多项式的个数，从而有()()()211121311.nnaansnsnsnnG sqqq=+因为存在常数1C，使得1nC qan+时，()()111n Re snnq=是收敛的，所以存在()0C，使得()().G sC 当()1s+时，()G s是收敛的。考虑将()G s可以写成 Dirichlet 级数的形式()()(),1,sfh fG ssf=+()(),sfMh fG sf=其中()h f是由()G s所确定的可乘函数。由,slslfqf=，则有 李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2644 理论数学 ()()0.llslfG sh f q=(2.4)在(2.3)中，令suq=，我们有()()10:,.lllG uhuuq+=(2.5)其中()llfhh f=，特别地，01h=。下面我们给出lh的一个界。引理引理 2.3 对于任意的0，有()()1.llhCq+其中常数()C与引理 2.2 中的常数一致。证明：由 Laurent 定理13有()11d,2llG uhuiu+=其中围道取为()1:uq+=，从而我们有()()()()()()()()()()()11111111111ddd22212.2llllllG uG uhuuCquiuuCqqCq+=为了证明定理 1.1，我们定义()()():,1.sffF ssf=(2.6)对于()F s我们有如下的引理。引理引理 2.4 对于()1s，有()()()()1.F sssG s=证明：根据deg ffq=和引理 2.1，可得()F s的欧拉乘积为()()()22irr.22irr.11irr.11111.11ssPssPsssPPPF sPPPPPPPPP=+=+=当()1s时，根据函数域上的 zeta 函数的欧拉乘积(2.2)，有()1irr.11,AsPsP=()11irr.111.AsPsP=李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2645 理论数学 于是()()()()11111irr.21irr.11111111211.AAsssssPssPF sssPPPPPG sPP=+=3.定理定理 1.1 的证明的证明 令suq=，由(2.5)有()()0.nnnfF uf u=(3.1)由(2.3)有()211.1ssq=(3.2)于是，在(2.3)和(3.2)中令suq=并分别进行泰勒展开，我们得到()0,rrruq u=(3.3)()201.mmmuqu=(3.4)根据引理 2.4，合并(2.4)，(3.3)和(3.4)我们有()()()()20001.rrmmllrmlF uuuG uq uquhu=(3.5)对于()()1AuG u，我们有()()220001.mmlmtllmltm l tuG uquhuqhu=+=(3.6)于是令2mtlm l tTqh+=，则有()222222011.ttt lmttlltllllm l tm l tllhhTqhqhqqqq+=+=+其中()()()()()()()11112110111101.1tttlllllllllhCqCqqqCqqCqq=而当01 2时，11211,112q 李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2646 理论数学 从而()121.tlllhO qq=故()()()2212212111.tttttltllhTqqO qqO qq+=+=+=+(3.7)由(3.5)和(3.6)，有()000.rrtrnttrtnr t nF uq uTuq Tu=+=(3.8)对比(3.1)和(3.8)，我们得到()0.nnrn tnttttfr t nr t ntTfq TqTqq+=+=根据(3.7)，有 11110001,11nnnnntttttttTqqqOqO qqqq+=+=+其中()11111.111nnnqqO qO qqO qqqq+=因此()()()111.111nnnnnnnfqfqqO qqqO qqq+=+=+最后由111q的泰勒展开 01111.11nnOqqq=+有()()()()()11221.nnnnnnnffqqO qO qqO q+=+=+参考文献参考文献 1 Mentens,F.(1874)Uber einige asymptotische Gesstze der Zahlentheorie.Crelles Journal,77,289-338.https:/doi.org/10.1515/crll.1874.77.289 2 Walfisz,A.(1963)Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie.VEB Deutscher Verlag der Wissen-schaften,231,607.3 Carella,N.A.(2017)The Error Term of the Summatory Euler Phi Function.arViv:1206.2792v5.李玲 DOI:10.12677/pm.2023.139270 2647 理论数学 4 Cohen,E.(1960)Arithmetical Function Associated with the Unitary Divisors of an Integer.Mathematische Zeitschrift,74,66-80.https:/doi.org/10.1007/BF01180473 5 Lal,M.(1974)Iterates of the Unitary Totient Function.Mathematics of 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