两角差的余弦公式教学设计及点评.doc

《两角差的余弦公式》教学设计

课题
两角差的余弦公式
项目
内 容
理论依据或设计意图

教

材

分

析

教
材
地
位
及
作
用
《两角差的余弦公式》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4（必修）中的第三章的3.1.1节内容，教学课时为1课时。前两章学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量等知识，对三角函数有了一定的认识，有利于学生接受两角差的余弦公式.
《两角差的余弦公式》是三角恒等变换这一章中的一个重要内容，只有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程.

课程标准

教

学

目

标

1．知识与技能
（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能.
（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用.
2．过程与方法
（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法.
（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想.
3．情感态度与价值观
通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。

根据新课程标准的要求，从提高学生的数学素质和能力出发，结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订.

重
难
点

重点：两角差的余弦公式的运用. 
难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.

数学教学不仅使学生理解知识的发生过程，更重要是培养学生对知识的应用能力.

教

学

设

计

教

学

设

计

教

学

设

计

教

学

设

计

一

以境激情

我们已经知道
由此我们能否得到的值呢？

对于
你们同意这个观点吗？说说理由？

通过学生熟知的特殊角余弦值引入问题，引发认知冲突，引出本节课题.

使学生明确数学是一门严谨的科学，激励学生探索新知.

二

研探论证

二

研探论证

二

研探论证

活动1：
（教师活动）提出问题：究竟该如何计算？对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？

（学生活动）回忆三角函数定义、三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识.

活动2:
（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算.
先复习两个向量数量积的定义与坐标运算公式；
定义式：；
坐标式：．
（学生活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为、，则，；
试用、两点的坐标表示的余弦值。
（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？

（学生活动）计算，得到；
另一方面，从定义式计算；
得出结论
活动3：
（教师活动）引导学生思考,的范围，完善公式的推导.
（学生活动）提出的任意性，而向量夹角为 ，学生产生疑惑：与向量之间的夹角有什么关系呢？
教师活动：几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证.
根据终边相同的角的性质，

活动4：
（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点.
（学生活动）发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和.

活动5：例题分析
（教师活动）
讲评例1.利用两角差的余弦公式求的值．
这是通过应用理解公式最基础的练习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：
（1）三角变换关注角的拆分，易于理解.
（2）由于是具体角，拆分过程容易进行.
（3）拆分的多样性，决定变换的多样性.

（学生活动）求出的值.
（1）通过诱导公式转化为；
（2）转化为先利用求，再用同角关系求

（教师活动）
讲评例题2：
已知是第三象限角，求的值.
引导学生分析问题，形成如下思路：结合余弦公式,欲求的值,必先知道的值,然后利用公式即可求解.,注意角所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.

通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.

通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力.

在教师的引导下，通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。
由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功.

由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.

培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫.

学生到此刻，能够利用本课新发现的两角差的余弦公式解决这个问题，呼应前面，同时让学生获得了成果的数学体验.

通过正、余弦之间的转化；非特殊角与特殊角之间的转化，进一步巩固公式的应用，渗透化归的数学思想.

对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路.
在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.

三
反馈练习

活动6：课堂练习
（学生活动）

（教师活动）对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情形.

（学生活动）
学生上台演板，运用公式解决以下问题：

（教师活动）对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.

（学生活动）先请一位同学在黑板上演示，然后再向全体同学讲解：

（教师活动）找几份具有代表性的解答投影，让同学们点评.

（学生活动）学生认真审题，求解问题

（教师活动）对学生表述的步骤是否规范作出必要的点评和要求。引导学生一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.

使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力.

学生上台演板，是本节课教学的重要一环， 能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使教师了解学生学习情况，是激发学生学习兴趣的有效途径.

通过问题的设计，注重培养学生分类讨论的数学思想,在解题的过程中培养学生思维的严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生的表述规范性的指导.

引导学生认识到要使用两角差余弦公式，应该运用同角三角函数关系对四个数据作出准备，培养学生 “举一反三”的解决数学问题的能力.

四
变式训练

活动7：变式训练
（学生活动）
应用本课所学的公式进行以下计算：

（教师活动）点评，不仅要会公式的正用而且要注意公式的逆用和变形应用.

（学生活动）应用公式计算：

（教师活动）引导学生比较已知的角与所求的角之间的关系，注意构造角以及研究角的范围.

在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变换的特点，培养学生公式的逆用能力.

引导学生独立思考，得出，从而具备使用两角差余弦公式的条件，培养学生解决数学问题的化归思想.

五
应用评价

课堂小结：
通过本节课的学习你有哪些收获？
1、探索并证明了两角差的余弦公, 经历了，猜想— 探究—证明 ,利用向量法得出了：
在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们会继续感受它的便利.
2、所涉及的数学思想与方法:猜想、化归与转化、数形结合、分类讨论.

布置作业：
1.必做：P137，2,3,4

3.课下思考：你能用,推导出吗？

让学生在课堂小结中进行自我评价，回顾当堂所学，交流学习体会.

注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识，要大胆猜想，细心证明！

通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维目标方面进一步评价，反思教学，改进方法.

板书设计：
两角差的余弦公式

投影屏幕

板演区域

教学设计说明
一、教材地位及其作用
恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.
而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。本节课的作用承前启后,非常重要。
二、学情分析与教学目标
学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。
根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：
1．知识与技能
（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。
（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。
2．过程与方法
（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。
（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。
3．情感态度与价值观
通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。

三、教学重点及难点
重点：两角差的余弦公式的运用. 
难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.
四、教法选择和学法指导
基于对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索”等方法组织课堂教学.
为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动：
①引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；
②组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；
③对学生的探究活动适当指导，适时地给与帮助；
④完善推理过程——对的情况引导学生完善.
通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲。采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。
学法分析
①.教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数的定义，向量的数量积等。
②.在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方法的提示性问题，引导学生去推导公式。

五、教学基本流程设计
教学活动
设计意图
活动1：
提出问题：究竟该如何计算？对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？
通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.

活动2:
尝试用向量的方法来探究如何计算.

通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力.

活动3：
引导学生思考,的范围，完善公式的推导.

在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.

活动4：引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点.

培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫.

活动5：例题分析
例1、 利用两角差的余弦公式求的值．
例2、 已知是第三象限角，求的值.

对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路.在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.
活动6：课堂练习

学生上台演板，是本节课教学的重要一环， 能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使教师了解学生学习情况，是激发学生学习兴趣的有效途径.
通过问题的设计，注重培养学生分类讨论的数学思想,在解题的过程中培养学生思维的严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生的表述规范性的指导.
引导学生认识到要使用两角差余弦公式，应该运用同角三角函数关系对四个数据作出准备，培养学生 “举一反三”的解决数学问题的能力.
活动7：变式训练

在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变换的特点，培养学生公式的逆用能力.

六、教学评价分析
1.本节课采用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。
2. 在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用公式解题的能力。
3. 在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。
4.面对不同程度的教学对象，在教学时间上和作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。

《两角差的余弦公式》教学设计点评
省级骨干教师 周净
《两角差的余弦公式》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4（必修）第三章的3.1.1节内容，教学课时为1课时。本节课教师采用了活动教学法，将获取知识的猜想、论证和应用过程分解成为7个教学活动，在活动中通过教师的问来启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模式之一。本节课有以下4个特点：
1．体现了教师在教学中的主导地位。教师在本节课的教学活动中主要是通过问题创设情境，激发学生的求知欲，在学生探究新知时对学生的方向和方法加以指导，在例题分析时注重启发学生的思路和规范学生的表达，在反馈练习和变式训练环节组织和激励学生独立思考，观察和点评学生的知识掌握情况，让学生动脑动手，积极参与到课堂，充分体现了教师作为课堂组织者的导学作用。
2．体现了学生在教学中的主体地位。学生在公式的探索过程中，通过思考和回答教师有指向性的问题和与教师及学生之间的讨论，得出公式推导过程，学生感受到获得新知识的成就感；在练的环节，由学生上台演板，教师巡视学生解题的情况，能够激发学生的学习积极性，让学生都在课堂中动起来；对学生演板的情况给予了诚恳的点评，同时对其他同学做的情况用投影仪展示，不仅能使学生在课堂得到成功的体验，还能够注意到一些解题过程中的细节问题。本节课学生在整堂课中精神饱满，积极参与，认真完成了教师设计的各项任务，学习效果好。
3．详略得当，重难点突出。本节课的重难点是公式的应用，在公式推导环节教师对两角差的任意性问题上处理得当，引导学生用三角诱导公式解决该问题，既不会在内容上宣宾夺主，又培养了学生数学思维的严谨品质。活动5、6、7是本节课的主体部分，学生在这3项教学活动中通过典型的例题和反馈练习，充分掌握了公式的直接应用和逆用的技巧，突破了教学重难点。
4.注重培养学生的数学思维。本课的例题与练习题的设置有针对性，强调了基本知识点和学生的基础技能，并且在应用公式解决问题的过程中渗透了分类讨论、化归等数学思想，教师的点评过程中也注重引导学生对解决问题的方法进行总结归类，提高学生“举一反三”的数学思维能力，教师还特别注重通过规范学生答题过程培养学生严谨的数学思维品质，创设的情境、对学生的及时的肯定和指导，都激发了学生积极求索和独立思考的数学思维品质。
总之，本节课教学设计合理，教学目标准确具体，符合课程标准，教学要求符合学生实际，关注学生情感、态度和价值观；教师语言表达准确，教态自然亲切，教学过程流畅，师生双边活动达成，学生在愉悦中获得新知，教学效果好。其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。
二．培训的及要求培训目的
安全生产目标责任书
为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015年度安全生产目标的内容，现与财务部签订如下安全生产目标：
一、目标值：
1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。
2、现金安全保管，不发生盗窃事故。
3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。
4、安全培训合格率为100%。
二、本单位安全工作上必须做到以下内容：
1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。
2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。
3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。
4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。
5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。
6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。
7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。
8、虚心接受员工提出的问题，杜绝不接受或盲目指挥；
9、发生事故，应立即报告主管领导，按照“四不放过”的原则召开事故分析会，提出整改措施和对责任者的处理意见，并填写事故登记表，严禁隐瞒不报或降低对责任者的处罚标准。
10、必须按规定对单位员工进行培训和新员工上岗教育；
11、严格执行公司安全生产十六项禁令，保证本单位所有人员不违章作业。
三、 安全奖惩：
1、对于全年实现安全目标的按照公司生产现场管理规定和工作说明书进行考核奖励；对于未实现安全目标的按照公司规定进行处罚。
2、每月接受主管领导指派人员对安全生产责任状的落

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