立体几何高考内容分析与复习建议.doc
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4、的高考试题特点等进行研究,制定相应的复习策略。本文还提出了几种对空间角与距离的解法。关键词:空间想象能力,转化化归思想、向量代数法。2004年是广东省采用数学新课程的第一次高考,虽说高考对立体几何的考查一直是以能力为主,对能力考查的要求有一年比一年提高的趋势,题型也相对较为稳定。但新旧课程在内容、考试要求、教学要求、教材的编排体系等毕竟有相当大的改变,因此我们进行高三立体几何复习时,有必要对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究,制定相应的复习策略,争取在2004年高考中获得全面丰收。以下谈谈笔者的一些看法:一、 立体几何内容分析(一) 新旧教材
5、比较:在考试内容方面:新教材中删除了棱台,旋转体(圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等)。增加了正多面体与欧拉定理;增加了空间向量及其加、减法,与数乘运算;空间向量的数量积;空间向量的坐标表示,及其对应的加减法,数乘与数量积运算;平面法向量等内容。在考试要求方面:删除了棱台,旋转体(圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等)的面积与体积公式,淡化了三垂线定理及其逆定理的要求,增加了理解空间向量与空间向量坐标的概念,掌握空间向量的加减法、数乘与数量积的概念;及其对应坐标的加减法,与数乘运算;理解直线的方向向量、平面的法向量等内容。突出了利用空间向量知识解决求空间角、空间距离;证明平行与垂直的问题,明确了对传统几
6、何的向量化思想。同时也体现了对解决问题的方法上的灵活性,重点让学生掌握向量代数法,同时也兼顾传统几何综合推理方法。(二)复习重点:(1) 线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质;三垂线定理及其逆定理的应用;(2) 空间向量的概念、性质与运用;(3) 空间角与距离的概念和计算;(4) 特殊棱柱、棱锥的定义、性质;(5) 棱柱、棱锥中线线、线面与面面的位置关系,线线、线面与面面所成角的构造与计算;(特别注重向量代数法来计算角)(三)复习难点:(1) 找到要计算的角、距离等;(2) 掌握应用向量解决立体几何的问题;(3)平面图形与空间图形相互转换,即空间想象能力进一步提高;以及转化化归思想、类比思想
7、等的培养。二、 高考考点剖析立体几何三大考点:(1) 线面位置关系的推理判断(小题)、证明(大题);(2) 空间角;(3) 空间距离。线面位置关系突出平行和垂直,又侧重于垂直关系,因为空间直角坐标系的建立和空间角的平面角的构造与求解离不开垂直;空间距离也离不开垂直。主要以三棱柱、四棱柱(正方体)、三棱锥、四棱锥为载体。与球有关的问题也是高考常考点。立体几何大题不独立考查单纯的线面位置关系,而明确以多面体为载体,综合考查概念、性质、线面关系、角与距离。三、 考题特点分析每年的数学高考立体几何题中,有23道选择题,1道填空题及1道解答题。分值占全卷的18%20%。考题属于“理解”和“掌握”这两个层
8、次,难度中等,试题常有课本背景。总结20002003年两省一市(晋津赣)或江苏、辽宁等省新教材高考卷与全国高考卷的立体几何题可以看到以下几个特点:(1) 新教材立体几何试题中大题以棱柱或棱锥为载体,融线面关系于几何体中。继续采取传统的小步设问、逐层加深的模式。第一小问考查线线、线面、面面的位置关系、后几问考查空间角,空间距离等度量关系,解题方法是向量代数法,其解题思路:“建立坐标系求向量坐标用公式计算”。 旧教材相对稳定。(2) 在考查空间概念的基础上,强调作图、证明和计算相结合,融推理论证于几何量的计算中,逻辑思维能力、空间想象能力的考查存在于运算中。(3) 对空间想象能力的要求进一步提高,
9、试题直接对空间想象能力的考查;如(2000年天津卷第16题),如图,E、F分别为 D1 C1正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四 A1 B1边形BFD1E在该正方体的面上射影可能是 。 E F D C A B 本题需从不同的角度来观察图形,直接体现了对空间想象能力的考查。再如,2001年北京春季高考卷第11题;2003年全国卷第16题。(4)重点考查基础知识的同时,也注重形式的多样性,如与简易逻辑、排列组合等的小综合题型也常出现,这也是一种传统。如:(2002年山西卷)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) A)8种 B)12种 C)16种 D)20种
10、又如:2003年江苏卷第16题是与简易逻辑相结合。(5)重视对数学素质的基本数学思想方法的考查;试题体现了立体几何学科特点的通性、通法,突出和加大了对转化、化归思想,类比思想及等积变化等基本方法的考查力度。如:2003年新课程卷第15题,考查类比思想。如:(2003年江苏卷第12题)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) 此题的最优解法是:将这个正四面体放入一个正方体中,再将这个正方体放入球中与球相外接。因为正方体的对角线就是球的直径,而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。所以,设正方体的棱长为a,则有a=,a=1,故选A。此题是典型的考查转化、化归思想。四、
11、复习建议由于高考立体几何题是中低档题为主,所以在复习时一定要抓好基础,注意以下几个方面。1 回归课本,加强基本概念、定义、定理的理解和应用,加强归纳总结,将基础知识条理化、网络化,以利于记忆。对课本上的每一条定义(或概念)、定理、公理、法则等,要求学生首先要叙述出来,其次是分清它们的条件与结论,再次转换成用符号语言表述,并要能画出正确的图,定理甚至要求掌握它的证明。对课本上一些重要题目也要求学生能用文字语言表述清楚,用数学符号语言表示正确,画出立体感比较明显的几何图。如:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果它和已知角两边的夹角为锐角且相等,那么这条斜线在平面内的射影是在这个角的角平分线
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