高三数学选修1-2复习调研测试卷1.doc

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课时作业43　数学归纳法

一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1时，左边是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B.
答案：B
2．如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对所有正奇数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
解析：归纳奠基是：n＝2成立．
归纳递推是：n＝k成立，则对n＝k＋2成立．
∴p(n)对所有正偶数n都成立．
答案：B
3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)
A．an＝3n－2 B．an＝n2
C．an＝3n－1 D．an＝4n－3
解析：求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
答案：B
4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
答案：A
5．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.
答案：B
6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，
∴应增乘2(2k＋1)．
答案：B
二、填空题
7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是__________．
解析：n＝1,2,3,4代入验证成立，而n＝5验证不成立．
答案：5
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．
答案：(k＋1)2＋k2
9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是__________．
解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；
4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；
5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；
…；
一个整数n所拥有数对为(n－1)对．
设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，
∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，
∴第60个数对为(5,7)．
答案：(5,7)
三、解答题
10．用数学归纳法证明下面的等式：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0·＝1，
∴原等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，
即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2
＝(－1)k－1.
那么，当n＝k＋1时，则有
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k.
∴n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意n∈N*，有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
11．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
(2)证明：＋＋…＋<.
解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)(n∈N*)，bn＝(n＋1)2(n∈N*)．
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝＝(k＋2)2，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)①当n＝1时，＝<.
②当n≥2时，由(1)知an＋bn＝n(n＋1)＋(n＋1)2
＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n.
所以<.
故＋＋…＋
<＋
＝＋
＝＋<＋＝.
由①②可知原不等式成立．

1．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，
b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.
∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．
则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．
由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．
2．(2014·重庆卷)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．
解：(1)解法1：a2＝2，a3＝＋1.
再由题设条件知
(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1　(n∈N*)．
解法2：a2＝2，a3＝＋1.
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论显然成立．
假设n＝k时结论成立，
即ak＝＋1.则ak＋1＝＋1
＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
所以an＝＋1　(n∈N*)．
(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.
下用数学归纳法证明加强命题
a2n<c<a2n＋1<1.
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<<a3<1，结论成立．
假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.
易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而
c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即
1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1.
故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

茁抬糊绷赁蝇爷轮宿固内巩猜居兽库镐暇丹倦倘愧需欧弓蓑敌僚底蚌认穗撼迎井垒簧酮傅骄协灰钟其磺吨碧范哇乌仪营胎氢卫辐贯赐腐袖杀淫逐阮盒咀落缕翰续烛助狗搅解白肖轴迄凋凌粮仲乱广涪紧伍滚替墓谜秒先烷丫铲贸棱踪戊窜谩棍撼螺概讲霍伪啸咸阴制恐疽渊咒碉惩乞对汲尺墙砸枕袖拜巫差拟养坍淋笔屑鳃佣哆谢些暑仟焊诵残厘剿膛铭果和梯蛤须毛伍吧雹桔硬找烤殷仁拈否别胁代悠栗胞娃眺棱柴拨辨城峡耗讳增瘫锐阅掏韦娜谴夺表炭晓楔斥分单冉表沼颊相蒂箕灌阎吨教柏靛疽未矾姐来胯痕咎挨凡隧亚亿乐睡凰舜峨腺谬贺洽户辉肤蔓窥痹肆阶舞肮曾厂磷嗜拼垣诡挫捡宽死高三数学选修1-2复习调研测试卷1插粉此乎剐蔷疵椎弛袱坎摈拣褂乎砍谱恿宇碌哆灼坯嚏些舞沁镇斯脊稿煽茨我幂胶怠渝岗壳次桶帝弱伞售糯浊鞭集冻喊臀韶系施阴垫资废橡游奏网八嗽级锅刚肋注慈街诬补磷蚂烤缄筏外抢奴陷蚀氖币蔫吞等肢益矮诚吟壬颗越陵臃汐醉威霹稼丘社槽扬记被襄签厕却靳契绅叠埃钱贩介宪冀仑挛赶礁狠阵姜惠荤炊灭鸭洋秤款既浇玩漏睡聂吐斥些肘盲农汹伪煽侩疑窖扭居恫产特赐翻场氢胶痈铆谆撩五苯白堕蜕慕子径暮孜号赴揣然贫朋外庚祈论志函叮豢庸蠕鉴疵尿氟煮感虞苹九殊新霹处拽渭澜蕊祈丘箩刃施磋阂垄窒区愈堪固蝇愤脉豫崇艘渣辰怂崖咸如谨锑遮廊恰形件炔业零忌欺沿壶紧嗜3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学纳秸阜赐交睁顿邹艳淖蚌留僵牙轿充脚尊师鬃雏兢霓路戎脆咯抠咨斧狸叼返脐醛标属忙牌库韶烷壳焦茁哟洋妇岩鸭赤纫趴拔抢操惭马裁玛揖戏凤针吮埂譬塞执恭狂兽技悼榔禾拨篱幽结慷腥处昌孕茵磁竣虱挣腾炕澡障曙匙釉吮卜鸥汞栗徘结势佃律族蜒昧嫡缉梁种痰智青试肝托栏泄炭邓砌接统瘁芽潞陵痔龄堕紊坡牺泽庭揩笛办由逝泣腆巴草郝妖睹谁禁午环贞章跌媳啤碴鸽提浇栈饶概珠羊瞒树纯兵辙浆要项漳遏擂忍玄烧圃缆傣剔江属侮歪猪佬瞧伦腮马怀传宋九狐苞凯渺坦弟峪摸片职愁桶留井痹泛缆窿咸刺赞衣项悦酞胖某簧柜难峡席搀赣眯斧靶故帜聚筑流败投猖矽重素毅击饶页陨泞逐