全国初中数学竞赛试题及答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会
全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）
1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）．

（A） （B） （C） （D）a
1（乙）．如果，那么的值为（ ）．
（A） （B） （C）2 （D）
2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．
（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）
2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）．
（A）10 （B）9 （C）7 （D）5
3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．
（A）1 （B） （C） （D）
3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，
△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，
则CD的长为（ ）．
（A） （B）4
（C） （D）4.5
4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．
（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．
（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99
二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）
6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ．
7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，
E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB
分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .
7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是 。
8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．
8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .
9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .
9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .
10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O，
AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，
交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线
交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的
长为 .
10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ．
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．
11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。
12（甲）. 如图，⊙O的直径为，过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：
（1）OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）AB+AD = 2BD.

13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当2012时，求a的最小值.
13（乙）．给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．

14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.
14（乙）．将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以相同），使得，求的最小值．

参考解答
一、选择题
1(甲) .C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且，
所以 ．
1（乙）．B
解：．
2（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.
因为均为整数，所以有

解得

以上共计9对.
3（甲）．D
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为
，
中位数为 ，
于是 .
3（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，
所以△BCD≌△ACE， BD = AE.
又因为，所以.
在Rt△中，
于是DE=，所以CD = DE = 4.
4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得

消去x得 (2y－7)n = y+4，
2n =.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．
5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
，因此最大．
5（乙）．C
解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则
，
解得 ，．

二、填空题
6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487，
81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是
7＜x≤19．
6（乙）.7
解：在两边乘以得
即

7（甲）．8
解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以
，
由此得，所以.
在Rt△ABF中，因为，所以
，
于是 .
由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，
.
于是 ，
，
.
又，所以.
因为，所以.
7（乙）.
解：如图，设的中点为，连接，则．
因为，所以
，
．
．
8（甲）．
解：根据题意，关于x的方程有
=k2－4≥0，
由此得 (k－3)2≤0．
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.
故==．

8（乙）.1610
解：
因此，所以，因此

所以共有2012-402=1610个数
9（甲）．8
解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.
又 ，所以. 于是
0≤≤43，
87≤≤130，
由此得 ，或.
当时，；当时，，，不合题设.
故．
9（乙）.
解：依题意得：，所以，代入（2）得
，两边乘以a得
，即，化简得，两边除以得
所以
另一方面：a≤b≤c，所以 综合得
另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得，解得
，另一方面：a≤b≤c，所以， 综合得．
10（甲）．
解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O
的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是 . 因此
.
由△∽△，知．因为，
所以 ，BA=AD ，故
.
10（乙）.12
解：依题意得
由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即，
当1≤≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：
，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。

三、解答题
11（甲）．解： 因为当时，恒有，所以
，
即，所以．
…………（3分）
当时，≤；当时，≤，即
≤，
且 ≤，

解得≤．
…………（8分）
设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．
因为，所以，
解得，或．
因此．
…………（15分）
11（乙）.解：因为sin∠ABC =，，
所以AB = 10．由勾股定理，得．
易知， 因此 CO = BO = 6．
于是，，．
设点D的坐标为．
由，得．
所以 ，．
解得 ．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为．
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，
所以点E的坐标为．（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）
设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为．
将点E的坐标代入，解得a =．
故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为．

12（甲）． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设与交于点，连接OM，则．又因为，所以
．
…………（10分）
又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以
△BOC∽△．
…………（15分）
12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等
的性质知：，
．
所以， CI = CD．
同理，CI = CB ．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，
所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．
故OI是△IBD外接圆的切线．
（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．
由，知OC⊥BD．
因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE．
又因为I是△ABD的内心，所以．
故．
也可由托勒密定理得：，再将代入即得结论。

13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）.
因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2，
所以 (2a－m)2－4n2 = m2，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.
…………（5分）
（1）当时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.
解得 a，.
于是 = a－m.
…………（10分）
又a≥2012，即≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.
当时，，，.
此时，a的最小值为2025.
（2）当时，因为2012，所以，从而得a的最小值为2017（素数）。
综上所述，所求的a的最小值为2017。……（15分）
13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角
都等于30°，
而凸n边形的n个外角和为360°，所以，只有当时，
k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论时的情况：
（1）当时，显然，k的值是11；
（2）当时，k的值分别为1，2，3，4，5；
（3）当时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分）
综上所述，当时，凸n边形最多有个内角等于150°；当时，凸n边形最多有个内角等于150°；当时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当时，凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分）

14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以
≥1，≥2，…，≥2012．
于是 ≤．
…………（5分）
当时，令，则
.
…………（10分）
当时，其中≤≤，令
，则
．
综上，满足条件的所有正整数n为．
…………（15分）
14（乙）.解：当时，把分成如下两个数组：
和．
在数组中，由于，
所以其中不存在数，使得．
在数组中，由于，
所以其中不存在数，使得．
所以，．
下面证明当时，满足题设条件．
不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．
综上，满足题设条件．
所以，的最小值为．
（注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．）

其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。
二．培训的及要求培训目的
安全生产目标责任书
为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015年度安全生产目标的内容，现与财务部签订如下安全生产目标：
一、目标值：
1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。
2、现金安全保管，不发生盗窃事故。
3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。
4、安全培训合格率为100%。
二、本单位安全工作上必须做到以下内容：
1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。
2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。
3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。
4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。
5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。
6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。
7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。
8、虚心接受员工提出的问题，杜绝不接受或盲目指挥；
9、发生事故，应立即报告主管领导，按照“四不放过”的原则召开事故分析会，提出整改措施和对责任者的处理意见，并填写事故登记表，严禁隐瞒不报或降低对责任者的处罚标准。
10、必须按规定对单位员工进行培训和新员工上岗教育；
11、严格执行公司安全生产十六项禁令，保证本单位所有人员不违章作业。
三、 安全奖惩：
1、对于全年实现安全目标的按照公司生产现场管理规定和工作说明书进行考核奖励；对于未实现安全目标的按照公司规定进行处罚。
2、每月接受主管领导指派人员对安全生产责任状的落

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