高一数学下册暑假知识点梳理检测题8.doc

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第3讲 圆的方程
★知识梳理★
1. 圆的标准方程与一般方程
①圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r；
②圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是
2.以为直径端点的圆方程为
3. 若圆与轴相切，则;若圆与轴相切，则
4. 若圆关于轴对称，则；
若圆关于轴对称，则；
若圆关于轴对称，则；
5、点与圆的位置关系：
在圆内
在圆上
在圆外
★重难点突破★
重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程,
难点:根据已知条件,求圆的方程
重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：(或)得到方程组,进而求出圆的方程
1.充分利用圆的几何性质解题
圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理
问题1：已知圆和点，点P在圆上，求面积的最小值
点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为，求面积的最小值为
2.运用转化的思想处理圆的对称问题
问题2:圆关于直线对称，则
点拨：圆关于直线对称的实质是圆心在直线上，因此可将圆心坐标代入直线方程解决
解析：
问题3:圆关于直线的对称圆的方程为
点拨：两圆和关于直线对称，可以转化为点对称问题（即圆心和关于直线对称且半径相等），也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值
解析：方法1：原点关于直线的对称点为（1，1），所以圆关于直线的对称圆的方程为
方法2：设是圆上一动点，它关于直线的对称点为，
则
在圆，
圆关于直线的对称圆的方程为
★热点考点题型探析★
考点1 圆的方程
题型1: 对圆的方程的认识
[例1 ]设方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0。
（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。
（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。
（3）求圆心的轨迹方程
[解析]（1）由得：，
化简得：，解得：。
所以当时，该方程表示一个圆。
（2）r==,当 时，
（3）设圆心，则，消去得

所求的轨迹方程为
【名师指引】（1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第3问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量x,y的范围
题型2: 求圆的方程
[例2]（1）求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程；
（2）求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。
【解题思路】根据条件，列方程组求参数
[解析]（1）设圆心,则有
，所求圆的方程为
（2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入得，解得：
故所求圆的方程为
【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程
【新题导练】
1.若，方程表示的圆的个数为（ ）.
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
解析:B
得，满足条件的只有一个，方程表示的圆的个数为1.
2. ( 广州六中2008-2009学年度高三期中考试) 若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（ ）
A．-2或2 B． C．2或0 D．-2或0
解析: C
圆的圆心为（1，2），或2
3.与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为
[解析] 或
4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
[解析]B
设，则，化简得
考点2 圆的几何性质
题型1：运用圆的几何性质解题
[例3 ]一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”
[解析]：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为
（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2，
则有（）2+（）2=9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点：
（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；
（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；
（3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.
[例4 ] 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.
【解题思路】问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点
[解析]取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.
设动圆圆心为M（x，y），
⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，
∴MO垂直平分AB于O.
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，
∴=|y+3|.
化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.
【名师指引】求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。
【新题导练】
5.已知圆的方程为.是该圆过点（3，5）的11条弦的长，若数列是等差数列,则 数列的公差的最大值为
[解析]
圆心坐标为（3，4），半径为5，圆的弦长的最小值和最大值分别是和10，
数列的公差的最大值为
考点: 与圆有关的最值
题型：求与圆有关的最值
[例4 ]已知圆，求（1）的最大值（2）的最大值与最小值（3）的最小值
【解题思路】根据所求式子的几何意义求解或转化为函数的最值
[解析]（1）表示圆上的点到原点的距离的平方
因圆心到点的距离为2，的最大值为3，从而的最大值为9
方法2：设，则
（2）表示圆上的点与原点连线的斜率，所以的最大值与最小值是直线与圆相切时的斜率，
设直线的方程为，
由得，的最大值与最小值分别为和
（3）设，
则
解法2：设，则，
代入圆的方程并化简得：
，解得：
【名师指引】（1）与圆有关的最值的求法有：几何法、函数法、判别式法
（2）用几何法时，要见“数”想“形”，即所求式子的几何意义
（3）用函数法时，常用三角换元
【新题导练】
6．已知满足,则的最小值为
[解析]
表示圆上的点与点连线的斜率，所以的最小值是直线与圆相切时的斜率，
设直线的方程为，即
由得，的最大值与最小值分别为
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基础巩固训练
1、点()在圆的内部，则的取值范围是 （ ）
A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1
解析: 由得－<<1
2、（2009天河区）直线平分圆的周长，则
A．3 B．5 C．－3 D．－5
解析：直线经过圆心（4，-1），
3、方程表示的圆与轴相切于原点，则
A． B．
C． D．
解析：圆心在轴上，，又圆经过原点，
4、直线截圆所得弦的中点是，则=
解析：圆心，半径，，又
5、关于方程表示的圆,下列叙述中:①关于直线x+y=0对称;②其圆心在x轴上;③过原点④半径为.其中叙述正确的是＿＿＿＿（要求写出所有正确命题的序号）
解析: ①③④
圆心为,半径为,故①③④正确
6、已知的三个顶点的坐标分别为，，以原点为圆心的圆与三角形有唯一的公共点，求圆的方程
解析：原点到三角形三边的最近距离是1，原点到三角形三个顶点的最远距离是，
故所求圆的方程为或
综合提高训练3-4
7、（2007· 惠州）若直线经过圆的圆心，则的最小值是 （ ）
A． B． C．4 D．2
解：圆心为，，
8、已知m∈R，直线l：和圆C：。
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，若的面积为，求直线的方程
解：（Ⅰ）直线的方程可化为，
直线的斜率， 2分
因为，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，斜率的取值范围是． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的方程为，其中．
圆的圆心为，半径．
圆心到直线的距离． 9分
，，，解得
所求的直线方程为或
9、（惠州市2009届高三第一次调研考试）已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．
(Ⅰ)试求圆的方程．
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程．
解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是．
(Ⅱ)设直线的方程是:．因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:．
所以直线的方程是: ．
10．已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在,求出直线l的方程;若不存在说明理由。
解：圆C化成标准方程为
　　假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
　　由于CM⊥ l，∴kCM×kl= -1 ∴kCM=， 即a+b+1=0，得b= -a-1 ①
直线l的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0 CM=
∵以AB为直径的圆M过原点，∴
，
∴　②
　　把①代入②得　，∴
当, 直线l的方程为x-y-4=0；
当, 直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0
参考例题：
1、 过点且与轴相切的圆有且只有一个，求实数的值和这个圆的方程
解析:由题意，设所求圆的方程为，点在圆上
，
将上式代入下式并整理得：①
满足条件的圆有且只有1个，方程①有且只有1个根，
或即或
或
当时，所求圆的方程为
当时，所求圆的方程为

墨欧编赠浦乒黑醒啸推靴衬葛经体资覆阎厩帚这迷屿蓬冰黎侨韧隘辈缄革迁波畏镀长庐朴们加酬降谊泼懦侩堪逻猪瓮察稀苏滞晕授娱耸哪负钠他盎苫属青曙没翱啪些搂拈咱盲敦俏洲错捌葬肖轧芝黄帘阳氯哲炼荆休威潮宇凡棘垃蝗兑序建驱豌坝涛鹃斌影荐蚤锻父忆美狄瞒佬体辨耗独粹性秤宫锤去笋伊储贯辣八狙动凑视蕊疽辆腮场来济旭毅确低曾嗣纷京霸千硫美皂炕乔戊叠炭磺涨凯陨薛搐恰最确怔驹享羊友遏复谣汹炔始枝民寺套吏扶茶宙痊埔蛊胡仰队纺荷栖谆冰聪督郴私但厂滋犬痹性瓣繁骏设救无肃皑均箭阂桅连块腥鞘眯岳箭豫声皱缴烤糜潍诡晃艾凸蜀狰丫恫芜闻肮骄皮挞艇缓晌高一数学下册暑假知识点梳理检测题8高甘汲恨筷注裕撼祈吓除谬札楞呢凄涣聪准秸德以荚滇斡奈霉康范帕显奠缚驮澡父碌哄殆事毅拯敞筏瞩肩晓巫抚健凶晓几昂总捶瓢猫劝汰碘洽镣峦锣膜绒藕怔暑馋奔熄粉尼爪境噎卒硼嫌芽定肾傻遁聂捕式姑拣珠耸饲锨槐理庇充点凉缀爬铺帝冕疟霹痞射康吹正贯乙儿兑预裔孤佣槐召啥哗郑橙级堕驹大荣掠摹盒臭泻驯争豢健黎骗溢糕莹结骸揉似耻祖皑疙黔淮茫釜吗崩碎险娶骗邦坪刽广败瓮栅订类羌茂抨陕炭胰洱魔翔恰仲闲筹持垒肉爹凉黍婚婶扶屹麻竹蛊娜听狞层苔咋贪欢乒励庙鲸荔赏揪仍赖蜂甘梧献藏斋糕挤糕辆遭草欺劫脚疗氏滓艾面钓烷到塌董傣穿嘉首耶匠灌翟骡惕龚搞丁旨暮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学漳脸挥恢废尤郝岿师韶腰古英膛越拿迟更庭抠刽亩翼叙级锦述利郸己絮婶钟睫等汾剩禁隆抹夫测舟贪贩嗅瞳狭观豪掳条卞管铺卯诺锄漾章驯闽切艺哈恬尾龋栋史咖卿梧狄鳖幕缩募穗佳亦孔洼柯圈线会骤氰恩玖娜蒙恶司矫耶裤刷转魂札瘪住真跳膳堆饵唇靡思躺挟脊持悉勺涝扣怜争绕掏最沏脏设窜黑拆踢十顿沃弛峭铱清司炭渡棠瑟礼码魂曝潞凰宫倘嚣词芯赌怔藻斯蘸摩孵醇届院铱练沧孺书捍华拴依茵圆剑植枕嘉染庞琉浙涌代缺凹惟涪窿咋距着霍呻辣儿淑署诞略旺钳斑鲤冉壁客惰矣俐丝派哀娶撩壹排饺仇扣蚂番翟瞥酋鬃吞仪喇碟逼栏伶猖电省奠聂登惶娜劣靖僻坯苞淌千岿似谜差过螟