高中数学必修一函数知识点和练习.pdf

博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-1-函数的有关概念函数的有关概念1函数的概念：函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域2定义域：定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)(3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是那么，它的定义域是使各部分都有意义的使各部分都有意义的 x x 的值组成的集合的值组成的集合.(5)(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.1.(6)(6)指数为零底不可以等于零，指数为零底不可以等于零，(7)(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3.相同函数的判断方法：相同函数的判断方法：（满足以下两个条件）定义域一致(化简前)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-2-4值域：值域：先考虑其定义域（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图像，利用函数单调性）)0,(baxbaxy（2）基本不等式 （3）换元法（4）判别式法5.函数图象知识归纳函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)均在 C 上.(2)画法描点法图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换6区间的概念区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示7映射映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-3-对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。8分段函数分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集9复合函数复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。函数的性质函数的性质1函数的单调性函数的单调性(局部性质)（1）增函数）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-4-变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间。（2）减函数）减函数如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质；（3）图象的特点图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（4）函数单调区间与单调性的判定方法）函数单调区间与单调性的判定方法(A)(A)定义法：定义法：任取 x1，x2D，且 x10)0,a(a0)上最大值是上最大值是 3,3,最小值是最小值是 2,2,则实数则实数 a a 的取值范围是（的取值范围是（）A A0a10a1 B B0a0a2 2 C Ca a2 2 D D 0 0a a2 2 6 6函数函数是是R R上的偶函数，且在（上的偶函数，且在（-，上是减函数，若上是减函数，若，则实数，则实数a a()yf x0()(2)f af的取值范围是（的取值范围是（）A Aa a22 B Ba a-2-2 或或a a22 C Ca a-2-2D D-2-2a a227 7奇函数奇函数的定义域为的定义域为，且对任意正实数，且对任意正实数，恒有，恒有()f x(,0)(0,)1212,()x xxx，则，则1212()()0f xf xxxA AB BC CD D(3)(5)ff(3)(5)ff(5)(3)ff(3)(5)ff8 8已知函数已知函数 y=f(x)y=f(x)在在 R R 上为奇函数上为奇函数,且当且当 x x0 0 时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-2x,-2x,则则 f(x)f(x)在在时的解析时的解析0 x 式是（式是（）A A f(x)=xf(x)=x2 2-2x-2x B B f(x)=xf(x)=x2 2+2x+2x C C f(x)=f(x)=-x-x2 2+2x+2x D D f(x)=f(x)=-x-x2 2-2x-2x博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-17-9 9已知二次函数已知二次函数 y=f(x)y=f(x)的图象对称轴是的图象对称轴是,它在它在a,ba,b上的值域是上的值域是 f(b),f(a),f(b),f(a),则（则（0 xx）A A B B C C D D0 xb0 xa0,xa b0,xa b1010如果奇函数如果奇函数 y=f(x)y=f(x)在区间在区间3,73,7上是增函数，且最小值为上是增函数，且最小值为 5 5，则在区间，则在区间-7,-3-7,-3上（上（）A A增函数且有最小值增函数且有最小值-5-5 B B 增函数且有最大值增函数且有最大值-5-5 C C减函数且有最小值减函数且有最小值-5-5 D D减函数且有最大值减函数且有最大值-5-51313已知函数已知函数，则，则22()1xf xx11(1)(2)(3)()()23fffff1414 设设 f(x)=2x+3f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)g(x+2)=f(x-1)，则，则 g(x)=g(x)=1515定义域为定义域为上的函数上的函数 f(x)f(x)是奇函数，则是奇函数，则 a=a=232,4aa1616设设，则，则 32()3,()2f xxx g xx()g f x1717作出函数作出函数的图象，并利用图象回答下列问题：的图象，并利用图象回答下列问题：223yxx(1)(1)函数在函数在 R R 上的单调区间；上的单调区间；(2)(2)函数在函数在0,40,4上的值域上的值域1818定义在定义在 R R 上的函数上的函数f f(x x)满足：如果对任意满足：如果对任意x x1 1，x x2 2RR，都有，都有f f()f f(x x1 1)122xx12+f f(x x2 2)，则称函数，则称函数f f(x x)是是 R R 上的凹函数上的凹函数.已知函数已知函数f f(x x)axax2 2+x x(a aRR 且且a a0)0)，求证：当，求证：当博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-18-a a0 0 时，函数时，函数f f(x x)是凹函数；是凹函数；1919定义在定义在(1 1，1)1)上的函数上的函数f f(x x)满足：对任意满足：对任意x x、y y(1 1，1)1)都有都有f f(x x)+)+f f(y y)=f f()1xyxy(1)(1)求证：求证：f f(x x)是奇函数；是奇函数；(2)(2)当当x x(1 1，0)0)时，有时，有f f(x x)0 0，求证：，求证：f f(x x)在在(1 1，1)1)上上是单调递减函数；是单调递减函数；2020函数函数f f(x x)定义域定义域D D，若存在，若存在x x0 0D D，使，使f f(x x0 0)=)=x x0 0成立，则称成立，则称 (x x0 0，y y0 0)是函数是函数f f(x x)的图的图象上的象上的“稳定点稳定点”(1)(1)若函数若函数f f(x x)=)=的图象上有且只有两个相异的的图象上有且只有两个相异的“稳定点稳定点”，试求实数，试求实数a a的取值范围；的取值范围；31xxa博龙教育博龙教育 2014-20152014-2015 学年度上学期高中数学讲义学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-19-(2)(2)已知定义在实数集已知定义在实数集 R R 上的奇函数上的奇函数f f(x x)存在有限个存在有限个“稳定点稳定点”，求证：，求证：f f(x x)必有奇数个必有奇数个“稳定点稳定点”