高二-数学-《圆锥曲线方程》知识点总结.pdf

椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a|F1F2|)的点的轨迹定义2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.标准方程12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)y2=2px方程参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围axa，byb|x|a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1准线x=ca2x=ca22px渐近线y=abx焦半径exar 左加又右减)(aexr2pxr通径ab22ab222p焦参数ca2ca2P圆锥曲线圆锥曲线概念、方法、题型、及应试技巧总结概念、方法、题型、及应试技巧总结2.2.圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时1（x12222byax0aby2222bxay）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，0ab22AxByCAB）。如（如（1 1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：12322kykxk）；11(3,)(,2)22（2 2）若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：Ryx,62322 yxyx 22yx）5,2（2）双曲线双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：1（）。x2222byaxy2222bxay0,0ab方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号）。22AxByC如如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线 C 过点，O1F2F2e)10,4(P则 C 的方程为_（答：）226xy（3）抛物线抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时22(0)ypx p22(0)ypx p，开口向下时。22(0)xpy p22(0)xpy p 如如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。454.4.圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆椭圆（椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。01eee如（如（1 1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3 或）；1522myx510em325（2）双曲线（双曲线（双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越1e 2e ee大；两条渐近线两条渐近线：。byxa（3）如如 （1 1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：023 yx或）；132133（3）抛物线（抛物线（抛物线。1e 如如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；Raa,024axy)161,0(a6 6直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交）相交例如：直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：1，5）2215xym（5，+）；（2）相切：相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线0 0 0 相切；（3）相离相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线0 0 0 相离。如（如（1 1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；)4,2(xy82（3 3）过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 A、B 两点，若4，则满足条件的1222yxlAB直线 有_条（答：3）；l7 7、焦半径、焦半径如（如（1 1）已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为1162522yx_（答：）；353（2 2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离xy82y等于_；（3 3）若该抛物线上的点到焦点的距离是 4，则点的坐标为_（答：）；MM7,(2,4)（5 5）抛物线上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到轴的距离为xy22y_（答：2）；（6 6）椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 13422yx)1,1(PMFMP2之值最小，则点 M 的坐标为_（答：）；)1,362(1010、弦长公式、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B，且分别为 A、B 的横坐标，则ykxb12,x xAB，2121kxx若分别为 A、B 的纵坐标，则，12,y yAB21211yyk若弦 AB 所在直线方程设为，则。xkybAB2121kyy特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为 两条焦半径之和两条焦半径之和 后，利用第二定义求解。如（如（1 1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）；（2 2）过抛物线焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则xy22ABC 重心的横坐标为_（答：3）；1111、圆锥曲线的中点弦问题：、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理韦达定理”或或“点差法点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率 k=；在双曲线中，12222byax00(,)P xy0202yaxb22221xyab以为中点的弦所在直线的斜率 k=；在抛物线中，以为中00(,)P xy0202yaxb22(0)ypx p00(,)P xy点的弦所在直线的斜率 k=。0py如（如（1 1）如果椭圆弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 221369xy（答：）；280 xy（2 2）已知直线 y=x+1 与椭圆相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点22221(0)xyabab在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：）；22特别提醒特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问0 题时，务必别忘了检验！0 1313动点轨迹方程动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法直接法：直接利用条件建立之间的关系；,x y(,)0F x y 如如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：3x或）；212(4)(34)yxx 24(03)yxx待定系数法待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0），端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x)0(m轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；22yx定义法定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如如(1)(1)由动点 P 向圆作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P 的221xy轨迹方程为（答：）；224xy（2 2）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_ 05xl：（答：）；216yx(3)(3)一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹122 yx012822xyx为（答：双曲线的一支）；代入转移法代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已(,)P x y00(,)Q xy00(,)Q xy知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；,x y00,xy00,xy如如动点 P 是抛物线上任一点，定点为,点 M 分所成的比为 2，则 M 的轨122xy)1,0(APA迹方程为_（答：）；3162 xy参数法参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将(,)P x y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。,x y如（如（1 1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点，P使，求点的轨迹。（答：）；|OPMNP22|xya y（2 2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_（答：),(11yxP122 yx),(1111yxyxQ）；2121(|)2yxxFAPHBQFFPHy0 xA（3 3）过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是yx42l_（答：）；222xy15.圆锥曲线中线段的最值问题：例例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为2_(2)抛物线 C:y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。分析：分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则，因而易发PFPH 现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）（2）（）21,41点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例例 2、F 是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。13422yx（1）的最小值为 PFPA（2）的最小值为 PFPA2分析：分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或FP 准线作出来考虑问题。解：（1）4-5 设另一焦点为，则(-1,0)连 A,PFFFF 542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P 是A 的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为 4-。FPFPA 5（2）3 作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，21PHPFPHPF2,21即PHPAPFPA 2当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca