北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2).pdf
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1、1实数实数知识点一、知识点一、【平方根平方根】如果一个数 x 的平方等于 a,那么,这个数 x 就叫做 a 的平方根;也即,当时,)0(2aax我们称 x 是 a 的平方根,记做:。因此:)0(aax1、当 a=0 时,它的平方根只有一个,也就是 0 本身;2、当 a0 时,也就是 a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:。ax3、当 a0 时,也即 a 为负数时,它不存在平方根。例例 1.(1)的平方是 64,所以 64 的平方根是 ;(2)的平方根是它本身。(3)若的平方根是2,则 x=;的平方根是 x16(4)当 x 时,有意义。x23(5)一个正数的平方根分别是 m
2、 和 m-4,则 m 的值是多少?这个正数是多少?知识点二、知识点二、【算术平方根算术平方根】:1、如果一个正数 x 的平方等于 a,即,那么,这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根,记为:“”,读作,ax 2a“根号 a”,其中,a 称为被开方数。特别规定:0 的算术平方根仍然为 0。2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。)0(0aa3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a。a例例 2.(1)下列说法正确的是 ()A1 的立方根是;B;
3、(C)、的平方根是;(D)、0 没有平方根;124813(2)下列各式正确的是()A、B、C、D、98114.314.33927235(3)的算术平方根是 。2)3((4)若有意义,则_。xx1x(5)已知ABC 的三边分别是且满足,求 c 的取值范围。,cbaba,0)4(32ba(7)如果 x、y 分别是 4的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3(8)求下列各数的平方根和算术平方根.64;12149;0.0004;(25)2;11.21.44,0,8,49100,441,196,104(9)(64)2等于多少?(12149)2等于多少?(10)(2.7)2等于多少?(11)对于正数a,
4、(a)2等于多少?我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.知识点三、知识点三、【开平方性质开平方性质】(1)94=_,94=_;(2)(2)916=_,916=_;(3)94=_,94=_;(4)(4)2516_,2516=_.知识点四、知识点四、【立方根立方根】:1、如果 x 的立方等于 a,那么,就称 x 是 a 的立方根,或者三次方根。记做:,读作,3 次根号 a。注意:这3a里的 3 表示的是根指数。一般的,平方根可以省写根
5、指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。2、平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。例例 3.(1)64 的立方根是 (2)若,则 b 等于()9.28,89.233abaA.1000000 B.1000 C.10 D.10000(3)下列说法中:都是 27 的立方根,的立方根是 2,。3yy33644832其中正确的有 ()A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个知识点五、知识点五、【无理数无理数】:1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,无理数的表现形式主
6、要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;(2)开方开不尽的数,如:等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01(两个 1 之间依次多 1 个39,5,230)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:92、有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为 1 的分数),而无理数则不能写成分数形式。例例 4.(1)下列各数:3.141、0.33333、0.3030003000003(相邻两个75
7、 252.32 3 之间 0 的个数逐次增加 2)、其中是有理数的有;是无理数的有。(填序号)(2)有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有()个432A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、知识点六、【实数实数】:1、有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是 0,最大的负整数是-1,最小的正整数是 1.2、实数的性质:实数 a 的相反数是-a;实数 a 的倒数是(a0);实数 a 的绝对值|a|=,它的几何意义a1)0()0(aaaa是:在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理
8、数的大小比较法则相同:即正数大于 0,0 大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例例 5.(1)下列说法正确的是();A、任何有理数均可用分数形式表示;B、数轴上的点与有理数一一对应;C、1 和 2 之间的无理数只有;D、不带根号的数都是有理数。2(2)a,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是()A、B、C、D、ba abba ab
9、(3)如右图所示的数轴上,点 B 与点 C 关于点 A 对称,A、B 两点对应的实数是和-1,则点 C 所对应的实数是3()a0b4A.1+B.2+C.2-1 D.2+13333(4)实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为()abba baa2A B.C.D.ba 2ba 2bba 2(5)比较大小(填“”或“”).3 ,10332076_67215 21(6)将下列各数:,用“”连接起来;51,3,8,23_。(7)若,且,则:=。2,3ba0abba(8)计算:32278115.041323811613125.0(9)已知:,求代数式的值。064.01,121732yx324510
10、2yyxxaob5基础练习一基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是()A.0.12 B.C.0 D.3227222.下列说法中正确的是()A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926 是有理数3.下列语句正确的是()A.3.78788788878888 是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数4.在直角ABC中,C=90,AC=,BC=2,则AB为()23A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为 6 的长方形,长是宽的 2 倍,则宽为()A.小数B.分数C.无理数 D.不能
11、确定 6.的化简结果是()A.2 B.2 C.2 或2 D.42)2(7.9 的算术平方根是()A.3 B.3 C.D.33 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中,正确的是()A.B.=0.6 C.=13D.=6556.32)13(3610.72的算术平方根是()A.B.7 C.D.4714111.16 的平方根是()A.4 B.24 C.D.2212.一个数的算术平方根为a,比这个数大 2 的数是()A.a+2 B.2 C.+2 D.a2+2aa13.下列说法正确的是()A.2 是4 的平方根 B.2 是(2)2的算术平方根 C.(2)2的平
12、方根是 2 D.8 的平方根是 414.的平方根是()A.4 B.4 C.4 D.21615.的值是()A.7 B.1 C.1 D.7169 16.下列各数中没有平方根的数是()A.(2)3 B.33 C.a0 D.(a2+1)17.等于()A.a B.a C.a D.以上答案都不2a对18.如果a(a0)的平方根是m,那么()A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=maa19.若正方形的边长是a,面积为S,那么()A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a=D.S=Sa6二、填空题1.在0.351,4.969696,6.751755175551,0,5.2333,5.411010
13、010001中,无理数的个数有_.322._小数或_小数是有理数,_小数是无理数.3.x2=8,则x_分数,_整数,_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为 3 的正方形的边长_有理数;面积为 4 的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”)5.的平方根是_;6.()2的算术平方根是_;121441 7.一个正数的平方根是 2a1 与a+2,则a=_,这个正数是_;8.的算术平方根是_;9.92的算术平方根是_;25 10.的值等于_,的平方根为_;11.(4)2的平方根是_,算术平方根是_.44三.判断题 1.0.01 是 0.1 的平方根.()2.52的平方根为5.()3.0 和负数没
14、有平方根.()4.因为的平方根是,所以=.()1614116141 5.正数的平方根有两个,它们是互为相反数.()四、解答题 1.已知:在数,,3.1416,0,42,(1)2n,1.424224222中,4324.132(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数;2.要切一块面积为 36 m2的正方形铁板,它的边长应是多少?3.已知某数有两个平方根分别是a+3 与 2a15,求这个数.7 分母有理化分母有理化1 1分母有理化分母有理化定义:定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2 2有理化因式:有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理
15、化因式。有理化因式确定方法如下:单项二次根式:利用来确定,如:,与等分别互为有理化aaaaa与abab与ba ba 因式。两项二次根式:利用平方差公式来确定。如与,abababab与分别互为有理化因式。a xbya xby与例题:找出下列各式的有理化因式 3 3分母有理化的方法与步骤:分母有理化的方法与步骤:(1)先将分子、分母化成最简二次根式;(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题:把下列各式分母有理化 31312(2)353 55 3(4)5 33 5例题:把下列各式分母有理化:(1)(3)(4)abab(2)abab1
16、22aa2222babbab【练习练习】1 1找出下列各式的有理化因式 (3)aa b(4)23 5a2 2把下列各式分母有理化 2151 5272(5)ab(1)12(2)52(3)710(4)3 2622(6)()axaxa2(3)5 237 57(4)5 752(5)2xyxy(1)52 26326(2)2 38 1183计算 233212323 1322322553 4比较大小与 2211(3)23232(4)xyxyxyxyxy175153 5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面:(1);(2);(3);(4);(5);6275214ba23326.计算:(1);(2)
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- 北师大 八年 级数 上册 第二 实数 知识点 习题
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