北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2).pdf
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1实数实数知识点一、知识点一、【平方根平方根】如果一个数 x 的平方等于 a,那么,这个数 x 就叫做 a 的平方根;也即,当时,)0(2aax我们称 x 是 a 的平方根,记做:。因此:)0(aax1、当 a=0 时,它的平方根只有一个,也就是 0 本身;2、当 a0 时,也就是 a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:。ax3、当 a0 时,也即 a 为负数时,它不存在平方根。例例 1.(1)的平方是 64,所以 64 的平方根是 ;(2)的平方根是它本身。(3)若的平方根是2,则 x=;的平方根是 x16(4)当 x 时,有意义。x23(5)一个正数的平方根分别是 m 和 m-4,则 m 的值是多少?这个正数是多少?知识点二、知识点二、【算术平方根算术平方根】:1、如果一个正数 x 的平方等于 a,即,那么,这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根,记为:“”,读作,ax 2a“根号 a”,其中,a 称为被开方数。特别规定:0 的算术平方根仍然为 0。2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。)0(0aa3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a。a例例 2.(1)下列说法正确的是 ()A1 的立方根是;B;(C)、的平方根是;(D)、0 没有平方根;124813(2)下列各式正确的是()A、B、C、D、98114.314.33927235(3)的算术平方根是 。2)3((4)若有意义,则_。xx1x(5)已知ABC 的三边分别是且满足,求 c 的取值范围。,cbaba,0)4(32ba(7)如果 x、y 分别是 4的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3(8)求下列各数的平方根和算术平方根.64;12149;0.0004;(25)2;11.21.44,0,8,49100,441,196,104(9)(64)2等于多少?(12149)2等于多少?(10)(2.7)2等于多少?(11)对于正数a,(a)2等于多少?我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.知识点三、知识点三、【开平方性质开平方性质】(1)94=_,94=_;(2)(2)916=_,916=_;(3)94=_,94=_;(4)(4)2516_,2516=_.知识点四、知识点四、【立方根立方根】:1、如果 x 的立方等于 a,那么,就称 x 是 a 的立方根,或者三次方根。记做:,读作,3 次根号 a。注意:这3a里的 3 表示的是根指数。一般的,平方根可以省写根指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。2、平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。例例 3.(1)64 的立方根是 (2)若,则 b 等于()9.28,89.233abaA.1000000 B.1000 C.10 D.10000(3)下列说法中:都是 27 的立方根,的立方根是 2,。3yy33644832其中正确的有 ()A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个知识点五、知识点五、【无理数无理数】:1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;(2)开方开不尽的数,如:等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01(两个 1 之间依次多 1 个39,5,230)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:92、有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为 1 的分数),而无理数则不能写成分数形式。例例 4.(1)下列各数:3.141、0.33333、0.3030003000003(相邻两个75 252.32 3 之间 0 的个数逐次增加 2)、其中是有理数的有;是无理数的有。(填序号)(2)有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有()个432A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、知识点六、【实数实数】:1、有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是 0,最大的负整数是-1,最小的正整数是 1.2、实数的性质:实数 a 的相反数是-a;实数 a 的倒数是(a0);实数 a 的绝对值|a|=,它的几何意义a1)0()0(aaaa是:在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于 0,0 大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例例 5.(1)下列说法正确的是();A、任何有理数均可用分数形式表示;B、数轴上的点与有理数一一对应;C、1 和 2 之间的无理数只有;D、不带根号的数都是有理数。2(2)a,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是()A、B、C、D、ba abba ab(3)如右图所示的数轴上,点 B 与点 C 关于点 A 对称,A、B 两点对应的实数是和-1,则点 C 所对应的实数是3()a0b4A.1+B.2+C.2-1 D.2+13333(4)实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为()abba baa2A B.C.D.ba 2ba 2bba 2(5)比较大小(填“”或“”).3 ,10332076_67215 21(6)将下列各数:,用“”连接起来;51,3,8,23_。(7)若,且,则:=。2,3ba0abba(8)计算:32278115.041323811613125.0(9)已知:,求代数式的值。064.01,121732yx3245102yyxxaob5基础练习一基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是()A.0.12 B.C.0 D.3227222.下列说法中正确的是()A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926 是有理数3.下列语句正确的是()A.3.78788788878888 是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数4.在直角ABC中,C=90,AC=,BC=2,则AB为()23A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为 6 的长方形,长是宽的 2 倍,则宽为()A.小数B.分数C.无理数 D.不能确定 6.的化简结果是()A.2 B.2 C.2 或2 D.42)2(7.9 的算术平方根是()A.3 B.3 C.D.33 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中,正确的是()A.B.=0.6 C.=13D.=6556.32)13(3610.72的算术平方根是()A.B.7 C.D.4714111.16 的平方根是()A.4 B.24 C.D.2212.一个数的算术平方根为a,比这个数大 2 的数是()A.a+2 B.2 C.+2 D.a2+2aa13.下列说法正确的是()A.2 是4 的平方根 B.2 是(2)2的算术平方根 C.(2)2的平方根是 2 D.8 的平方根是 414.的平方根是()A.4 B.4 C.4 D.21615.的值是()A.7 B.1 C.1 D.7169 16.下列各数中没有平方根的数是()A.(2)3 B.33 C.a0 D.(a2+1)17.等于()A.a B.a C.a D.以上答案都不2a对18.如果a(a0)的平方根是m,那么()A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=maa19.若正方形的边长是a,面积为S,那么()A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a=D.S=Sa6二、填空题1.在0.351,4.969696,6.751755175551,0,5.2333,5.411010010001中,无理数的个数有_.322._小数或_小数是有理数,_小数是无理数.3.x2=8,则x_分数,_整数,_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为 3 的正方形的边长_有理数;面积为 4 的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”)5.的平方根是_;6.()2的算术平方根是_;121441 7.一个正数的平方根是 2a1 与a+2,则a=_,这个正数是_;8.的算术平方根是_;9.92的算术平方根是_;25 10.的值等于_,的平方根为_;11.(4)2的平方根是_,算术平方根是_.44三.判断题 1.0.01 是 0.1 的平方根.()2.52的平方根为5.()3.0 和负数没有平方根.()4.因为的平方根是,所以=.()1614116141 5.正数的平方根有两个,它们是互为相反数.()四、解答题 1.已知:在数,,3.1416,0,42,(1)2n,1.424224222中,4324.132(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数;2.要切一块面积为 36 m2的正方形铁板,它的边长应是多少?3.已知某数有两个平方根分别是a+3 与 2a15,求这个数.7 分母有理化分母有理化1 1分母有理化分母有理化定义:定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2 2有理化因式:有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:单项二次根式:利用来确定,如:,与等分别互为有理化aaaaa与abab与ba ba 因式。两项二次根式:利用平方差公式来确定。如与,abababab与分别互为有理化因式。a xbya xby与例题:找出下列各式的有理化因式 3 3分母有理化的方法与步骤:分母有理化的方法与步骤:(1)先将分子、分母化成最简二次根式;(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题:把下列各式分母有理化 31312(2)353 55 3(4)5 33 5例题:把下列各式分母有理化:(1)(3)(4)abab(2)abab122aa2222babbab【练习练习】1 1找出下列各式的有理化因式 (3)aa b(4)23 5a2 2把下列各式分母有理化 2151 5272(5)ab(1)12(2)52(3)710(4)3 2622(6)()axaxa2(3)5 237 57(4)5 752(5)2xyxy(1)52 26326(2)2 38 1183计算 233212323 1322322553 4比较大小与 2211(3)23232(4)xyxyxyxyxy175153 5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面:(1);(2);(3);(4);(5);6275214ba23326.计算:(1);(2);(3);(4);(5);(6)499813420225.016.032436.06401.010027;6412125xy1.计算(1);(2);(3);(4);553155)534(3)53()5614(2113212146219专题讲解:专题讲解:类型一有关概念的识别类型一有关概念的识别1 1、实数的有关概念、实数的有关概念无理数即无限不循环小数,初中主要学习了四类:含的数,如:等,开方开不尽的数,如等;12,232,6特定结构的数,例 0.010 010 001等;某些三角函数,如 sin60,cos45 等。判断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如是有理数,而不是无理数。0,16例 1下面几个数:0.23,1.010010001,3,其中,无理数的个数有()A、1 B、2 C、3 D、4例 2.(2010 年浙江省东阳县)73是 A无理数 B有理数 C整数 D负数 举一反三:举一反三:1.在实数中,0,3.14,中无理数有()2334 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2 2、平方根、算术平方根、立方根的概念、平方根、算术平方根、立方根的概念若 a0,则a的平方根是,a的算术平方根;若 a0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,aa则a的立方根是。3a【例 1】的平方根是_16【例 2】的平方根是_327【例 3】下列各式属于最简二次根式的是()A225x+1 B.x y C.12 D.0.5【例 4】(2010 山东德州)下列计算正确的是(A)(B)020331(C)93(D)235 【例 5】(2010 年四川省眉山市)计算的结果是2(3)A3 B C D 933举一反三:举一反三:1.下列说法中正确的是()10A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数2.1.25 的算术平方根是_;平方根是_.-27 立方根是_._,_,_.类型二计算类型题类型二计算类型题1.1.估算、比较大小估算、比较大小 正数大于 0,负数小于 0,正数大于一切负数,两个负数绝对值大的反而小,常用有理数来估计无理数的大致范围,要想正确估算需记熟 020 之间整数的平方和 010 之间整数的立方例 1设,则下列结论正确的是()A.B.C.D.解析:例 2.(2010 年浙江省金华)在-3,1,0 这四个实数中,最大的是()3A.-3 B.C.1 D.032.2.二次根式的运算二次根式的运算 二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算,如:二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后,再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式;整式的运算性质在这里同样适用,如:单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义(,运算时注意各项的符号,灵011(0),(0,)ppaaaapa是整数活运用运算法则,细心计算。例 1、计算所得结果是_321a+aa例 2、阅读下面的文字后,回答问题:小明和小芳解答题目:“先化简下式,再求值:a+其中 a=9 时”,得21-2a+a出了不同的答案,小明的解答:原式=a+=a+(1a)=1,小芳的解答:原式=a+(a1)21-2a+a=2a1=291=17_是错误的;错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质:_例 3、计算:(1)(3 (2)222 3)(3 2+2 3)20012002(2-3)(2+3)例 4、二次根式1 a中,字母 a 的取值范围是()11A Ba1 Ca1 D1a 1a 举一反三:举一反三:1.求下列各式中的(1)(2)(3)类型三数形结合类型三数形结合 例 1.点 A 在数轴上表示的数为,点 B 在数轴上表示的数为,则 A,B 两点的距离为_举一反三:举一反三:1.如图,数轴上表示 1,的对应点分别为 A,B,点 B 关于点 A 的对称点为 C,则点 C 表示的数是()A1 B1 C2 D22。已知实数、在数轴上的位置如图所示:化简 3.如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点 A,则点 A 表示的数是()A、1 B、1.4 C、D、类型四实数绝对值的应用类型四实数绝对值的应用例 4化简下列各式:(1)|-1.4|(2)|-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3|(x3)(5)|x2+6x+10|举一反三:举一反三:【变式 1】化简:类型五实数非负性的应用类型五实数非负性的应用若a为实数,则均为非负数。2,|,(0)aaa a 非负数的性质:几个非负数的和等于 0,则每个非负数都等于 0。例 5已知:=0,求实数 a,b 的值。12举一反三:举一反三:1.已知(x-2)2+|y-4|+=0,求 xyz 的值6z 2、已知(x-6)2+|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。3、已知那么 a+b-c 的值为_类型六实数应用题类型六实数应用题例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm,宽为 8cm 的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少 cm。基础训练二基础训练二一、选择题1下列各式中正确的是()A B.C.D.2.的平方根是()A4 B.C.2 D.3.下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数-2 是 4 的平方根 带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有()A3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个4和数轴上的点一一对应的是()A整数 B.有理数 C.无理数 D.实数5对于来说()A有平方根 B只有算术平方根 C.没有平方根 D.不能确定6在(两个“1”之间依次多 1 个“0”)中,无理数 的个数有()A3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个7面积为 11 的正方形边长为 x,则 x 的范围是()A B.C.D.8下列各组数中,互为相反数的是()13 A-2 与 B.-与 C.与 D.与9-8 的立方根与 4 的平方根之和是()A0 B.4 C.0 或-4 D.0 或 410已知一个自然数的算术平方根是 a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是()A B.C.D.二、填空题11的相反数是_,绝对值等于的数是_,=_。12的算术平方根是_,=_。13_的平方根等于它本身,_的立方根等于它本身,_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是 8,那么 x 的立方根是_。15填入两个和为 6 的无理数,使等式成立:_+_=6。16大于,小于的整数有_个。17若2a-5与互为相反数,则 a=_,b=_。18若a=6,=3,且 ab0,则 a-b=_。19数轴上点 A,点 B 分别表示实数则 A、B 两点间的距离为_。20一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4,则 a=_,x=_。三、解答题21计算 +4 9+2()(结果保留 3 个有效数字)22在数轴上表示下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列,用“”号连接:参考答案:参考答案:一:1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D14二:11、,-3 12、3,13、0;0,;0,114、15、答案不唯一 如:16、5 17、18、-15 19、2 20、1,9三:21、-17-9 2-36 37.922、基础练习三基础练习三一、选择题1.大于2,且不大于 3的整数的个数是()5215A.9 B.8 C.7 D.52.下列几种说法:(1)无理数都是无限小数;(2)带根号的数是无理数;(3)实数分为正实数和负实数;(4)无理数包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有()A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)C.(1)(4)D.只有(1)3.要使=3x,则 x 的取值范围()33)3(x A.x3 B.x3 C.0 x3 D.任意数4.下列四个命题中,正确的是()A.数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数 B.数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两个点之间还有无数个点5.若 a 为正数,则有()A.a B.a=C.a D.a 与的关系不确定aaaa6.不是()22A.分数 B.小数 C.无理数 D.实数7.下列说法正确的是()A.无限小数都是无理数 B.无理小数是无限小数C.无理数的平方是无理数 D.无理数的平方不是整数8.下列等式正确的是()A B C D43169311971393313129.实数 a 在数轴上的位置如图 2-6-2,则 a,-a,的大小关系是().1a2aA.B.C.D.21aaaa-21aaaa-21aaaa-21aaaa0,则 ab=1;()2把下列各数分别填入相应的集合里|3|,213,1234,,0,,()0,32,1.2121121112 中22793182823 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 1x2,则|x3|+等于()(1-x)2(A)2x(B)2(C)2x(D)24下列各数中,哪些互为相反数?哪些互为倒数?哪些互为负倒数?183,1,3,03,31,1+,32213互为相反数:;互为倒数:互为负倒数:*5已知、是实数,且(X)2和2互为相反数,求,y 的值26.若,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值是 2,则+4m-3cd=。|a+b|2m2+1*7已知0,则=。(3)224a+2三、解题指导:1下列语句正确的是()(A)无尽小数都是无理数 (B)无理数都是无尽小数(C)带拫号的数都是无理数 (D)不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是()(A)整数 (B)有理数 (C)无理数 (D)实数4.如果 a 是实数,下列四种说法:(1)2和都是正数;(2),那么一定是负数,(3)的倒数是;(4)和的两个分别在原点的两侧,几个是正确的()1a(A)0(B)1(C)2(D)3*5比较下列各组数的大小:(1)(2)(3)ab0 时,3445323121a1b6若 a,b 满足=0,则的值是|4-a2|+a+ba+22a+3ba*7实数 a,b,c 在数轴上的对应点如图,其中 O 是原点,且|a|=|c|(5)判定 a+b,a+c,c-b 的符号(6)化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点 A 表示数1,若 AB3,则点 B 所表示的数为 9已知 x0,且 y|x|,用连结 x,x,|y|,y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么?11(2011 广东茂名,9,3 分)对于实数、,给出以下三个判断:ab 若,则 ba ba 若,则 ba ba 若,则 其中正确的判断的个数是()ba22)(baA3 B2 C1 D01912若的值在两个整数 a 与 a+1 之间,则 a=5*13.数轴上作出表示,的点。235四独立训练:四独立训练:10 的相反数是,3 的相反数是,的相反数是;的绝对值是,0的绝对值是38,的倒数是232数轴上表示32 的点它离开原点的距离是。A 表示的数是,且 AB,则点 B 表示的数是。12133,(1),01313,2cos60,31,1101001000 332227(两 1 之间依次多一个 0),中无理数有 ,整数有 ,负数有 。4.若 a 的相反数是 27,则a|;5若|a|,则 a=25若实数 x,y 满足等式(x3)24y0,则 xy 的值是 6实数可分为()(A)正数和零(B)有理数和无理数(C)负数和零(D)正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数,则 a 等于()(A)1 (B)1 (C)(D)12138当 a 为实数时,=a 在数轴上对应的点在()a2(A)原点右侧(B)原点左侧(C)原点或原点的右侧(D)原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有()(A)2 个(B)3 个(C)4 个(D)无数个10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图(1)比较 ab 与 a+b 的大小(2)化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示,其中试化简:220*12已知等腰三角形一边长为,一边长,且(2)2920。求它的周长。13若 3,5 为三角形三边,化简:(2)2(8)2- 配套讲稿:
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- 北师大 八年 级数 上册 第二 实数 知识点 习题
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