高中数学平面向量知识点总结及常见题型.pdf

1平面向量平面向量一一.向量的基本概念与基本运算向量的基本概念与基本运算1 1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的概念：向量的概念：向量：向量：既有大小又有方向的量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终cba,点的大写字母表示，如：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头几何表示法，；坐标表示法奎屯王新敞新疆 AB AB a),(yxyjxia向量的大小即向量的模（长度），记作|头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头即向量的大小，记作奎屯王新敞新疆 AB a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：零向量：长度为 0 的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头零向量00a00奎屯王新敞新疆 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）a00的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与（注意与 0 0 的区别）的区别）单位向量：单位向量：模为 1 个单位长度的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量为单位向量1奎屯王新敞新疆0a0a平行向量（共线向量）：平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头任意一组平行向量都可以移到同一直线上头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头方向相同或相反的向量，称为平行向量奎屯王新敞新疆记作奎屯王新敞新疆由于向量可以进行任意的平移ab(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头相等向量经过平移后总可以重合，记为头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头大小相等，方向相同头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ba),(),(2211yxyx2121yyxx2 2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量加法向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头设，则+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头,ABa BCb abABBC AC（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；aaa00向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：2，但这时必须“首尾相连”ABBCCDPQQRAR 3 3头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的减法向量的减法 相反向量：相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量aa记作,零向量的相反向量仍是零向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头a关于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；)(aaaaaa0(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababbaab0向量减法：向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，abab记作：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头求两个向量差的运算，叫做向量的减法头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头)(baba作图法：作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头babaab4 4头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头实数与向量的积：实数与向量的积：实数 与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：aa（）；aa（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方0aa0aa向相反；当时，方向是任意的头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头00a数乘向量满足交换律、结合律与分配律头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头5 5头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量共线定理：两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头baba6 6头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的基本定理：平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且21,eea只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内21,2211eea21,ee所有向量的一组基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头7 7头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 特别注意特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3二二.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1 1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头由平面,i j 向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是aaxiyja一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中 x 叫作在 x 轴上的aaa坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2 2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：(1)若，则1122,ax ybxy1212,abxxyy(2)若，则 2211,yxByxA2121,ABxx yy(3)若=(x,y)，则=(x,y)aa(4)若，则1122,ax ybxy1221/0abx yx y(5)若，则1122,ax ybxy1212a bxxyy若，则ab02121yyxx3 3奎屯王新敞新疆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1奎屯王新敞新疆平行四边形法则2奎屯王新敞新疆三角形法则1212(,)a bxx yy abba)()(cbacbaABBCAC 向量的减法三角形法则1212(,)a bxx yy)(babaABBA OBOAAB 4向量的乘法是一个向量,a满足:0 时,与同aa向;0 时,与异aa向;=0 时,=奎屯王新敞新疆a0),(yxaaa)()(aaa)(baba)(abab向量的数量积是一个数ba或时,0a0b=0ba且时,0a0bbababa,cos|1 212a bx xy yabba)()()(bababacbcacba)(,22|aa22|yxa|baba三平面向量的数量积三平面向量的数量积1 1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量的数量积：两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与abababa的数量积（或内积）头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 规定头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头b00a2 2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的投影：向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头投影的绝对b|a baba值称为射影头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3 3头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头数量积的几何意义：数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababa4 4头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的模与平方的关系：向量的模与平方的关系：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头22|a aaa 5 5头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头乘法公式成立：乘法公式成立：；2222abababab2222abaa bb222aa bb6 6头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量数量积的运算律：平面向量数量积的运算律：5交换律成立：a bb a对实数的结合律成立：aba babR分配律成立：abca cb c cab特别注意：（1）结合律不成立：；ab ca bc（2）消去律不成立不能得到a ba c bc（3）=0不能得到=或=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头a ba0b07 7头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量的数量积的坐标运算：两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头1122(,),(,)ax ybxyab1212x xy y8 8头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则AOB=（abOA aOB b）叫做向量与的夹角头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头001800abcos=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头cos,a ba bab222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时abab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头09 9头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头垂直垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababab1010头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件：O奎屯王新敞新疆平面向量数量积的性质abab02121yyxx题型题型 1.1.基本概念判断正误基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是.ABCD （5）若，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形.ABCD （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若与共线，与共线，则与共线.abbcac6（8）若，则.mambab（9）若，则.manamn（10）若与不共线，则与都不是零向量.abab（11）若，则.|a bab/ab（12）若，则.|ababab题型题型 2.2.向量的加减运算向量的加减运算1.设表示“向东走 8km”,表示“向北走 6km”,则 .ab|ab2.化简 .()()ABMBBOBCOM 3.已知,则的最大值和最小值分别为 、.|5OA|3OB|AB 4.已知的和向量，且，则 ，.ACABAD 为与,ACa BDb AB AD 5.已知点 C 在线段 AB 上，且,则 ，.35ACAB AC BC AB BC 题型题型 3.3.向量的数乘运算向量的数乘运算1.计算：（1）（2）3()2()abab2(253)3(232)abcabc2.已知，则 .(1,4),(3,8)ab 132ab题型题型 4.4.作图法球向量的和作图法球向量的和已知向量，如下图，请做出向量和.,a b 132ab322ab ab题型题型 5.5.根据图形由已知向量求未知向量根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示.ABCDBCAB AC ，AD2.在平行四边形中，已知，求.ABCD,ACa BDb ABAD 和题型题型 6.6.向量的坐标运算向量的坐标运算1.已知，则点的坐标是 .(4,5)AB (2,3)AB72.已知，则点的坐标是 .(3,5)PQ (3,7)PQ3.若物体受三个力,则合力的坐标为 .1(1,2)F 2(2,3)F 3(1,4)F 4.已知，求，.(3,4)a (5,2)b abab32ab5.已知,向量与相等，求的值.(1,2),(3,2)AB(2,32)axxyAB,x y6.已知，则 .(2,3)AB (,)BCm n(1,4)CD DA 7.已知是坐标原点，且，求的坐标.O(2,1),(4,8)AB30ABBC OC题型题型 7.7.判断两个向量能否作为一组基底判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12,e e A.B.C.D.1212eeee 和1221326eeee 和4122133eeee 和221eee 和2.已知，能与构成基底的是（）(3,4)a aA.B.C.D.3 4(,)5 54 3(,)5 534(,)554(1,)3 题型题型 8.8.结合三角函数求向量坐标结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，求的坐标.OA|2OA 150 xOAOA 2.已知是原点，点在第一象限，求的坐标.OA|4 3OA 60 xOAOA 题型题型 9.9.求数量积求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），|3,|4abab60a b()aab（3），（4）.1()2abb(2)(3)abab2.已知，求（1），（2），（3），(2,6),(8,10)ab|,|aba b(2)aab8（4）.(2)(3)abab题型题型 10.10.求向量的夹角求向量的夹角1.已知，求与的夹角.|8,|3ab12a bab2.已知，求与的夹角.(3,1),(2 3,2)ab ab3.已知，求.(1,0)A(0,1)B(2,5)CcosBAC题型题型 11.11.求向量的模求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）.|3,|4abab60|ab|23|ab2.已知，求（1），（5），（6）.(2,6),(8,10)ab|,|ab|ab1|2ab3.已知，求.|1|2ab，|32|3ab|3|ab题型题型 12.12.求单位向量求单位向量 【与与平行的单位向量：平行的单位向量：】a|aea 1.与平行的单位向量是 .(12,5)a 2.与平行的单位向量是 .1(1,)2m 题型题型 13.13.向量的平行与垂直向量的平行与垂直1.已知，当为何值时，（1）？（2）？(6,2)a(3,)bm m/abab2.已知，（1）为何值时，向量与垂直？(1,2)a(3,2)b kkab3ab（2）为何值时，向量与平行？kkab3ab93.已知是非零向量，且，求证：.aa ba c bc()abc题型题型 14.14.三点共线问题三点共线问题1.已知，求证：三点共线.(0,2)A(2,2)B(3,4)C,A B C2.设，求证：三点共线.2(5),28,3()2ABab BCab CDab ABD、3.已知，则一定共线的三点是 .2,56,72ABab BCab CDab 4.已知，若点在直线上，求的值.(1,3)A(8,1)B(21,2)CaaABa5.已知四个点的坐标，是否存在常数，使(0,0)O(3,4)A(1,2)B(1,1)Ct成立？OAtOBOC 题型题型 15.15.判断多边形的形状判断多边形的形状1.若，且,则四边形的形状是 .3ABe 5CDe|ADBC 2.已知，证明四边形是梯形.(1,0)A(4,3)B(2,4)C(0,2)DABCD3.已知，求证：是直角三角形.(2,1)A(6,3)B(0,5)CABC4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直(1,8),(4,1),(1,3)OAOBOC ABC角三角形.题型题型 16.16.平面向量的综合应用平面向量的综合应用101.已知，当为何值时，向量与平行？(1,0)a(2,1)b kkab3ab2.已知，且，求的坐标.(3,5)a ab|2b b3.已知同向，则，求的坐标.ab与(1,2)b 10a b a3.已知，则 .(1,2)a(3,1)b(5,4)c c a b4.已知，请将用向量表示向量.(5,10)a(3,4)b (5,0)c,a bc5.已知，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；(,3)am(2,1)b abm（2）若与的夹角为锐角，求的范围.abm6.已知，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与(6,2)a(3,)bm maba的夹角为锐角？b7.已知梯形的顶点坐标分别为，且，ABCD(1,2)A(3,4)B(2,1)D/ABDC，求点的坐标.2ABCDC8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求第四ABCD(2,1)A(1,3)B(3,4)C个顶点的坐标.D9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，30求水流速度与船的实际速度.10.已知三个顶点的坐标分别为，ABC(3,4)A(0,0)B(,0)C c（1）若，求的值；（2）若，求的值.0AB AC c5c sin A【备用备用】1.1.已知，求和向量的夹角.|3,|4,|5abab|ab,a b 112.2.已知，且，求的夹角的余弦.xab2yab|1abab,x y 1.1.已知，则 .(1,3),(2,1)ab(32)(25)abab4.4.已知两向量，求当垂直时的 x 的值.(3,4),(2,1)abaxbab与5.5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围.(1,3),(2,)abab与变式：变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围.(,2),(3,5)ab ab与选择、填空题的特殊方法：选择、填空题的特殊方法：1.1.代入验证法代入验证法例：已知向量，则（）(1,1),(1,1),(1,2)abc c A.B.C.D.1322ab1322ab3122ab3122ab2.2.排除法排除法例：已知 M 是的重心，则下列向量与共线的是（）ABCAB A.B.C.D.AMMBBC 3AMAC ABBCAC AMBMCM