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八年级上学期期末强化数学综合检测试题
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（       ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．少年的一根头发的直径大约为0.0000412：米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（          ）
A． B． C． D．
4．函数中，自变量的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
5．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A．a2－ab＝a（a－b） B．（a－3）（a＋1）＝a2－2a－3
C．ab＋bc＋d＝b（a＋c）＋d D．6a2b＝3ab·2a
6．下列式子从左到右变形不正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，已知AD＝BC，再添一个条件仍然不可以证明△ACD≌△CAB的是（　　）

A．AB＝CD B．ADBC C．∠1＝∠2 D．ABDC
8．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（       ）
A．10 B．19 C．16 D．8
9．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中小方形的面积为4，每个小长方形的面积为15，若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中xy），现给出以下关系式：①x﹣y＝3；②x＋y＝8；③x2﹣y2＝16；④x2＋y2＝34，其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①② C．①④ D．①②③④
二、填空题
11．若分式的值为零，则x的值为______．
12．已知点P（a-1，2a-4）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是_______．
13．若，则______．
14．计算的结果是______．
15．如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．

16．如果是一个完全平方式，则的值是________．
17．如图，点P在∠AOB内部，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，PM＝PN，若∠MPN＝140°，则∠AOC＝_____°．

18．如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等．

三、解答题
19．按要求完成下列各题：
(1)因式分解：
(2)．
20．解分式方程
（1）                                        
（2）
21．如图，AB⊥CB，DC⊥CB，E、F在BC上，∠A=∠D，BE=CF，求证：AF=DE．

22．（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；

【拓展应用】
（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．
①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；
②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．
23．某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的？
(1)求每个，类摊位占地面积各为多少平方米；
(2)该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求最多建多少个类摊位．
24．任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），正整数的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是正整数的最佳分解．并规定：．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为，所以4×6是24的最佳分解，所以．
（1）求的值；
（2）如果一个两位正整数，（为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；
（3）在（2）所得“最美数”中，求的最大值．
25．在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．

26．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点．

(1)如图1，若点是中点，
求证：①；②．
(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；
(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．
【参考答案】
一、选择题
2．D
解析：D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：①⑤是轴对称图形，不是中心对称图形；
③不是轴对称图形，是中心对称图形；
②④既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
3．C
解析：C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.0000412米可用科学记数法表示为4.12×10－5米，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．A
解析：A
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符题意；
C、，则此项错误，不符题意；
D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列出不等式组即可求解．
【详解】解：由题意得：
x+3≥0且2+x≠0，
∴x≥-3且x≠-2，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
B、（a－3）（a＋1）＝a2－2a－3是整式乘法，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
7．A
解析：A
【分析】根据分式的基本性质逐项判定即可．
【详解】解：A、错误，故此选项符合题意；
B、正确，故此选项不符合题意；
C、正确，故此选项不符合题意；
D、正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质“分式分子分母同乘以或除以同一个不为零的数，他式值不变”是银题的关键．
8．D
解析：D
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A：根据BC＝AD、AB＝CD、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SSS），故不符合题意；
B：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∴根据BC＝AD、∠2＝∠1．AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS），故不符合题意；
C：根据BC＝AD、∠2＝∠1．AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS），故不符合题意；
D：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴根据BC＝AD、AC＝AC和∠BAC＝∠DCA不能推出△ABC≌△CDA，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题难度适中．
9．B
解析：B
【分析】解不等式组可得，解分式方程可得，且，由此可求整数a的值．
【详解】解： ，
由①得，x＞7，
由②得，，
∵不等式组的解集为x＞7，
∴，
∴a≤9，
，
两边同乘以（y－1）得，y+2a﹣3y+8＝2y﹣2，
整理得，﹣4y＝﹣10﹣2a，
∴，
∵方程的解是非负整数，
∴a+5是2的倍数，且，
∴a≠﹣3，
∴a的取值为﹣5，﹣1，1，3，5，7，9
∴所有满足条件的整数a的值之和是19，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】根据几何意义可得，（x﹣y）2＝4，xy＝15，再根据整式间关系可判断每个结论的正误．
【详解】解：由题意得，（x﹣y）2＝4，xy＝15，
∴x﹣y＝＝2，故①不正确；
x+y＝＝＝＝8，故②正确；
x2﹣y2＝（x+y）•（x﹣y）＝2×8＝16，故③正确；
x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝4+2×15＝4+30＝34，故④正确；
故②③④正确，共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得
△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.
【详解】解:如图
连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,
AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,
△APR≌△APS.
AS=AR,
又QP/AR,
∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，
∠1=∠3,
AQ=PQ,
没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,
没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.
二、填空题
12．-1
【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
13．##2＜a
【分析】根据关于y轴的对称点在第二象限可得点P在第一象限，再根据第一象限内点的坐标符号可得，再解不等式组即可．
【详解】解：∵点P（a-1，2a-4）关于y轴的对称点在第二象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：a＞2，
故答案为：a＞2．
【点睛】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．
【分析】根据条件，可得出，所以．将式子展开化简可得：．将代入，则原式，故答案为．
【详解】解：，
，
，
，
把代入得：原式，
故答案为．
【点睛】．
本题主要考查知识点为：分式的加减，完全平方公式．熟练掌握分式的加减方法和完全平方公式是解决此题的关键．
15．
【分析】先将（-0.25）2021化成（-0.25）×（-0.25）2020再逆用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：原式=（-0.25）×（-0.25）2020×42020
=（-0.25）×(-0.25×4)2020
=（-0.25）×12020
=(-0.25）×1
=-0.25．
故答案为：-0.25．
【点睛】本题考查积的乘方运算的应用，逆用积的乘方运算法则是解题的关键．
16．6
【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值．
【详解】解：如图所示，在上取点，使，过
解析：6
【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值．
【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，．
∵的面积为24，的长为8，
∴，
∴，
∵平分，
∴
又∵，，
∴≌（SAS），
∴，
∴，
∵E、F分别是和上的动点，
∴，
∴
∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小，
∴最小值为6．
故答案为：6．

【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．
17．或
【分析】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知-mx为二倍底数乘积，进而可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴m＝±20，
故答案为：20 或．
【点睛
解析：或
【分析】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知-mx为二倍底数乘积，进而可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴m＝±20，
故答案为：20 或．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解．
18．20
【分析】由PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N得∠PMO=∠PNO=90°，已知∠MPN=140°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB的度数，因为PM=PN，OP为Rt△PMO和R
解析：20
【分析】由PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N得∠PMO=∠PNO=90°，已知∠MPN=140°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB的度数，因为PM=PN，OP为Rt△PMO和Rt△PNO的公共边，由“HL”可以证明Rt△PMO≌Rt△PNO，则∠POM=∠PON，所以∠AOC= ∠AOB，即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：如图，∵PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL），
∴∠POM=∠PON，
∵∠MPN=140°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-140°=40°，
∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，
故答案为：20．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、多边形的内角和、角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键．
19．2或6##6或2
【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】解：如图1所示：
与全等，
，
，
解得∶；
如图2所示：
点与点重合
解析：2或6##6或2
【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】解：如图1所示：

与全等，
，
，
解得∶；
如图2所示：

点与点重合，
与全等，
，
解得∶；
故答案为∶或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式根据即可；
（2）先求积的乘方，同底数幂的乘法，然后合并同类项即可．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
解析：(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式根据即可；
（2）先求积的乘方，同底数幂的乘法，然后合并同类项即可．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】本题考查了综合提公因式与公式法进行因式分解，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．（1）；（2）
【分析】（1）分式方程两边同乘以x（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）分式方程两边同乘以（x-2）（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，
解析：（1）；（2）
【分析】（1）分式方程两边同乘以x（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）分式方程两边同乘以（x-2）（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：（1）去分母得：2x+4=3x，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）-1=（x+2）（x-2），
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．见解析
【分析】由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
【详解】证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF
解析：见解析
【分析】由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
【详解】证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BF=CE，且∠A=∠D，∠B=∠C=90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换
解析：（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．
【详解】（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A+∠ABC
∵CE平分∠ACD
∴
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC
∴
∵BE平分∠ABC
∴
∴
∴；
（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°
∵∠CBA＝40°
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°
∵AD平分∠BAC
∴
∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；
②∠CAD+41°＝∠CBD
设∠CBD＝α
∵∠ABD+∠CBD＝180°
∴∠ABC＝180°﹣2α
∵∠ACB＝82°
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°
∴∠CAD+41°＝∠CBD．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．
24．(1)每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米
(2)最多建22个类摊位
【分析】（1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位
解析：(1)每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米
(2)最多建22个类摊位
【分析】（1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的，列出分式方程，然后解方程即可；
（2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，由题意：建造类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍，列出一元一次不等式，然后解不等式即可．
（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，依题意，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则．答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积为3平方米．
（2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，依题意，得：，解得：，因为取整数，所以的最大值为22．答：最多建22个类摊位．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程：（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（1）；（2）“最美数”为48和17；（3）.
【详解】试题分析：
（1）由题意可得：，结合即可得到18的最佳分解是：，从而可得：；
（2）由题意易到：，，由此可得：结合，可得，再结合都是自然
解析：（1）；（2）“最美数”为48和17；（3）.
【详解】试题分析：
（1）由题意可得：，结合即可得到18的最佳分解是：，从而可得：；
（2）由题意易到：，，由此可得：结合，可得，再结合都是自然数，且即可列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求得符合条件的的值，从而可得“最美数”的值；
（3）由（2）中所得结果结合（1）中的方法即可求得的最大值.
试题分析：
（1）∵，且，
∴是的最佳分解，
∴；
（2）由题意可知：，
，
∴，
∴ ，即 ，
∵为自然数，且，
∴ ，
解得：，
∵为自然数，且，
∴或，
∴或，
即“最美数”为48和17；
（3）当时，∵
∴；
当时，∵17=1×17，
∴，
∵，
∴的最大值为：.
点睛：（1）通过阅读，弄明白“最佳分解”和“F（n）”的意义是解决本题的基础；（2）解第2小题时，有以下要点：①由题意用含“”的式子表达出；②由得到；③由为自然数，且结合列出关于“”的方程组；这样解方程组得到符合条件的“”的值，即可使问题得到解决.
26．（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴
解析：（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H，可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO（AAS），再证明FQ＝FP即可解决问题．
【详解】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，
∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，
∵（a+2b）2≥0 ，（a+1）2≥0，
∴a+2b＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝，
∴A（﹣1，0），B(0，）．
（2）①证明：如图1中，

∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
   又∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD＝BP，
∴∠BDP＝∠BPD，
设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，
∴∠F＝45°+α，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，

∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，
∴∠BQO＝∠QFH，
∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS），
∴HQ＝OB＝OA，
∴HO＝AQ＝PC，
∴PH＝OC＝OB＝QH，
∴FQ＝FP，
又∠BFQ＝45°，
∴∠APB＝22.5°．
【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
27．(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【分析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论
解析：(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【分析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论；
（3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论．
(1)
证明：如图

①∵为等边三角形，
∴，
又为中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
②∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴．
(2)
仍然成立，理由如下：
如图，过点D作DM//BC交AC于M
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴．

(3)
的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图．
作交的延长线于，

易证为等边三角形，
，，
而，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题．