人教版初二上册压轴题模拟数学综合试卷附答案.doc

人教版初二上册压轴题模拟数学综合试卷附答案
1．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．

(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．
(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．
2．已知，A(0，a)，B(b，0)，点为x轴正半轴上一个动点，AC＝CD，∠ACD＝90°．
（1）已知a，b满足等式｜a +b｜+b2+4b＝－4．
①求A点和B点的坐标；
②如图1，连BD交y轴于点H，求点H的坐标；

（2）如图2，已知a+b=0，OC＞OB，作点B关于y轴的对称点E，连DE，点F为DE的中点，连OF和CF，请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论．

3．在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（–a，0）、点 B（0， b），且 a、b 满足a2+b2–4a–8b+20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．
（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；
（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使，点C在第一象限．

(1)若点A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足，则______，_____，点C的坐标为_________；
(2)如图2，过点C作轴于点D，BE平分，交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点G，求证：CG垂直平分EF；
(3)试探究（2）中OD，OE与DF之间的关系，并说明理由．
5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．

6．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．

(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
7．如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．

(1)如图1，若点在边上，求证：；
(2)如图2，连．若，求证：；
(3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．
8．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．

【参考答案】
2．(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；
（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可
解析：(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；
（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明；
（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数．
（1）
解：，
证明过程如下：由题意可知，
∵D为AB的中点，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
解：，
理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示，

∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
由题意知，
∴，
∴．
即．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴DE与DC之间的数量关系是．
（3）
如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示，

∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
由题意知，
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵ED⊥DC，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键．
3．（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．
【分析】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；
②过C作y
解析：（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．
【分析】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；
②过C作y轴垂线交BA的延长线于E，然后证明△CEA≌△CBD，得到OB=OH，即可得到答案；
（2）由题意，先证明△DFG≌△EFO，然后证明△DCG≌△ACO，得到△OCG是等腰直角三角形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴A（0，2），B（2，0）；
②过C作x轴垂线交BA的延长线于E，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵EC⊥BC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC=EC，∠BCE=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，
∵AC=DC，
∴△CEA≌△CBD，
∴∠CBD=∠E=45°，
∴OH=OB=2，
∴H（0，2）；
（2）补全图形，如图：

∵点B、E关于y轴对称，
∴OB=OE，
∵a+b=0，即
∴OA=OB=OE
延长OF至G使FG=OF，连DG，CG，
∵OF=FG，∠OFE=∠DFG，EF=DF
∴△DFG≌△EFO
∴DG=OE=OA，∠DGF=∠EOF
∴DG∥OE
∴∠CDG=∠DCO；
∵∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO；
∴∠CDG=∠DCO=∠CAO；
∵CD=AC，OA=DG
∴△DCG≌△ACO
∴OC=GC，∠DCG=∠ACO
∴∠OCG=90°，
∴∠COF=45°，
∴△OCG是等腰直角三角形，
由三线合一定理得CF⊥OF
∵∠OCF=∠COF=45°，
∴CF=OF；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
4．（1）2，4；（2）见解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．
【分析】（1）将已知等式变形，利用乘方的非负性即可求出a值；
（2）根据题意画出图形，由（1）得出OB的长，结合∠AP
解析：（1）2，4；（2）见解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．
【分析】（1）将已知等式变形，利用乘方的非负性即可求出a值；
（2）根据题意画出图形，由（1）得出OB的长，结合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得点B的坐标；
（3）分当∠ABP＝90°时和当∠BAP＝90°时两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质即可求出点P坐标.
【详解】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，
∴（ a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，
∴（ a–2）2+（b–4） 2＝0
∴a＝2，b＝4，
故答案为：2，4；
（2）如图 1，由（1）知，b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
点 P 在直线 AB 的右侧，且在 x 轴上，
∵∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0），
故答案为：（4，0）；

（3）存在．理由如下：
由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，
Ⅰ、如图 2，当∠ABP＝90°时，
∵∠APB＝∠BAP＝45°，
∴AB＝PB ，

过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90 °，
∴∠ABO＝∠BPC，
在△AOB 和△BCP 中，
，
∴△AOB≌△BCP（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，

∴P（4，2），Ⅱ、如图3，当∠BAP＝90°时，
过点 P'作 P'D⊥OA 于 D，
同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝2，
∴P'（2，﹣2）；
即：满足条件的点 P（4，2）或（2，﹣2）；
【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度不大，解题的关键是要根据直角三角形的性质进行分类讨论.
5．(1)，；C(8，4)；
(2)证明见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）利用绝对值的非负性求出a，b的值，作轴交于点D，
证明，进一步可求出点C坐标；
（2）利用已知证明，，再证
解析：(1)，；C(8，4)；
(2)证明见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）利用绝对值的非负性求出a，b的值，作轴交于点D，
证明，进一步可求出点C坐标；
（2）利用已知证明，，再证明，得到，，利用平行性质得到，进一步得，再利用HL定理证明，可得，即可证明CG垂直平分EF；
（3）证明得到，，又由（2）可知，进一步可得．
(1)
解：∵，即：，
∴，，
作轴交于点D，
∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，即．

(2)
证明：∵，BE平分，
∴，，
在和中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，即CG垂直平分EF．
(3)
解：，理由如下：
∵，
，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∵，
∴，
又由（2）可知，
∴，即．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，绝对值非负性，垂直平分线的判定，平行线的性质，坐标与图形．本题综合性较强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（1）见详解；
（2）DE=DC，理由见详解；
（3）∠DEC=45°
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证
（2）猜测，寻找条件证明即可.最常用
解析：（1）见详解；
（2）DE=DC，理由见详解；
（3）∠DEC=45°
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证
（2）猜测，寻找条件证明即可.最常用的是证明两个三角形全等，但图中给出的三角形中并未出现全等三角形，所以添加辅助线：在射线AB上截取，这样只要证明即可.利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，这样通过两个等边三角形即可证明.
（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，用同样的方法证明，又因为ED⊥DC，所以为等腰之间三角形，则∠DEC度数可求.
【详解】由题意可知
∵D为AB的中点

∵为等边三角形，

（2）
理由如下：
在射线AB上截取，连接EF

∵为等边三角形

∴为等边三角形

由题意知

即

在和中，

（3）如图，在射线CB上截取，连接DF

∵为等边三角形

∴为等边三角形

由题意知

即

在和中，

∵ED⊥DC
∴为等腰直角三角形

【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键.
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN
解析：(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；
（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
(1)
解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
∴∠DBC=∠ABE，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
(2)
解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，

∵N为CD中点，
∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，
∴△ADN≌△FCN(SAS)，
∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°
∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，
∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∴AB=CF，
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CFA (SAS)，
∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，
∴CE=BC=AF=2AN；
(3)
解： ∵△ABD是等边三角形，
∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，
∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，

∴∠H=∠BAD=60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，
∴，，
∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，
∴△ADM≌△HEM (AAS)，
∴AM=HM，
∴
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可
解析：(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD=∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD=CF；
（2）过点F作JKAC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PIAB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ=BE=FK，因为ABPI，FKAC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ=PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI，则FI=FP，所以FP=AJ，FK=BE=DJ，FI=FK，所以AJ=DJ=BE，即AD=AJ+DJ=2BE；
（3）延长MO到点G，使OG=OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ=∠ABN，且使CQ=BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN=30°，则∠CAM=，所以∠BAN=30°-．
(1)
证明：如图，连接，

，，
∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
，
，
，，
，
；
(2)
证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接，

，
，
和是等边三角形，
，，
是等边三角形，
由（1）中结论可知，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
为等边三角形，，
，
平分，
是等边三角形，
，
，
，，
，即；
(3)
如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，，

，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．
9．（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）
【详解】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的
解析：（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）
【详解】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）①根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
②分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，

AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵AB＝AC＝BC＝6cm，
∴∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，

若∠AMN＝90°，
∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得；
如图3，若∠ANM＝90°，

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得．
综上所述，当t为或时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．