八年级下册数学台州数学期末试卷测试与练习(word解析版).doc

八年级下册数学台州数学期末试卷测试与练习（word解析版）
一、选择题
1．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1
2．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．8，13，5 D．3，4，5
3．下列命题不是真命题的是（ ）
A．等边三角形的角平分线相等 B．线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．有两个角相等的三角形是等腰三角形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形
4．某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分的比例确定测试总分，已知小王三项得分分别为88，72，50，则小王的招聘得分为（ ）
A．71.2 B．70.5 C．70.2 D．69.5
5．图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．在菱形中，，，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（ ）

A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①②④⑤
8．在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（0，﹣） B．（0，） C．（0，3） D．（0，4）
二、填空题
9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
10．一个菱形的边长是，一条对角线长，则此菱形的面积为______．
11．如图，每个方格都是边长为1的小正方形，则AB＋BC＝_____．

12．如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为________．

13．经过点(2,0)且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是__________________.
14．如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为__________．

15．如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P．若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 _____．

16．如图，为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在上的点处，若，，则的长为_________．

三、解答题
17．计算：
（1）2﹣6×；
（2）（﹣2）2﹣（﹣2）（+2）；
（3）（1+）•（2﹣）；
（4）．
18．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=米），这段话翻译城现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．

19．如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．

（1）求边BC、BD的长度．
（2）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（3）找到格点E，画出四边形ABED，使其面积与四边形ABCD面积相等（一个即可，且E与C不重合）．
20．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形
（2）当的度数为______度时，四边形是菱形；
（3）若，则当的度数为______度时，四边形是矩形．
21．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a===2﹣
∴a﹣2=﹣
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a=，求4a2﹣8a+1的值．
22．学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为．
（1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值．
（2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？

23．已知如图1,四边形是正方形， ．
如图1,若点分别在边上,延长线段至,使得,若求的长；

如图2，若点分别在边延长线上时，求证：

如图3,如果四边形不是正方形，但满足且，请你直接写出的长．

24．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．

（1）直接写出点D的坐标　　；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
25．（解决问题）如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．

（1）若，，则的面积是______，______．
（2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：由题意得，x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+82≠132，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定定理、平行四边形的定义判断即可．
【详解】
解：A、等边三角形的角平分线相等，是真命题，不符合题意；
B、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题，不符合题意；
C、有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
D、一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，本选项说法不是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了真假命题的判断，等边三角形，线段的垂直平分线，等腰三角形，平行四边形，掌握相关性质定理是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：3＋4＋3＝10，
88×＋72×＋50×＝70.2．
故小王的招聘得分为70.2．
故选：C．
【点睛】
本题考查加权平均数的意义和计算方法，掌握加权平均数的计算方法是正确计算的前提．
5．B
解析：B
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【详解】
解：连接AC，如图，

在Rt△ABC中，AB=1，BC=1，
根据勾股定理得：，
在△ACD中，CD=2，，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则四边形ABCD的面积．
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
①据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2＋PF2＝EC2＋EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2．
【详解】
解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，

∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2＋PF2＝EC2＋EC2＝2EC2，
∴DP＝EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE＋2PE＝2CE＋2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×4＝2时，EF的最小值等于2，
故⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
8．B
解析：B
【分析】
设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5﹣4＝1，BC＝3﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】
解：设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，如图，

对于直线y＝﹣x+3，
当x＝0，得y＝3；
当y＝0，x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝3﹣n，
∴DA＝OA＝4，
∴DB＝5﹣4＝1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+12＝（3﹣n）2，解得n＝，
∴点C的坐标为（0，）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
利用分式和二次根式有意义的条件确定关于的不等式，从而确定答案．
【详解】
解：根据题意得：且，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
考查了二次根式及分式有意义的条件，属于基础题，比较简单．
10．A
解析：
【解析】
【分析】
首先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
如图，，

∵四边形ABCD是菱形，
∴，
，
，
，
，
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和面积，勾股定理，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
11．A
解析：
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求出AB和BC的长，进而可求出AB+BC的值．
【详解】
解：∵每个方格都是边长为1的小正方形，
∴，

∴AB＋BC＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．D
解析：
【分析】
由题意易得OD=OC，∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝12，
∴，
∵∠AOD＝120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴；
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
13．y=x-2或y=-x+2
【分析】
设直线解析式为y=kx+b，先把（2，0）代入得b=-2k，则有y=kx-2k，再确定直线与y轴的交点坐标为（0，-2k），然后根据三角形的面积公式得到×2×|-2k|=2，解方程得k=1或-1，于是可得所求的直线解析式为y=x-2或y=-x+2．
【详解】
设直线解析式为y=kx+b，
把(2,0)代入得2k+b=0，解得b=−2k，
所以y=kx−2k，
把x=0代入得y=kx−2k得y=−2k，
所以直线与y轴的交点坐标为(0,−2k)，
所以×2×|−2k|=2，解得k=1或−1，
所以所求的直线解析式为y=x−2或y=−x+2.
故答案为：y=x−2或y=−x+2.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征.
14．A
解析：
【分析】
结合题意，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可得AB=AO=OB=OD=4，根据勾股定理可求AD的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AE垂直平分OB于点E，
∴AO=AB=4，
∴AO=OB=AB=4，
∴BD=8，
在Rt△ABD中,AD==.
故答案为.
【点睛】
本题考查矩形的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质.
15．（4，0）
【分析】
根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【详解】
解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0，
解得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2
解析：（4，0）
【分析】
根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【详解】
解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0，
解得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），
在y=4x-4中，当x=0时，y=-4，
∴C点坐标为（0，-4），
联立方程组，
解得：，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴，
解得：x=4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，理解一次函数的图象性质，掌握平行四边形对角线互相平分，利用数形结合思想解题是关键．
16．【分析】
证明△AED≌△FDC可得 ED=CD，据此列方程解即可.
【详解】
解:由题意可知AD=BC=CF, ∠AED=∠CDF, ∠A=∠CFD=90°,
所以△AED≌△FDC,
所以ED
解析：【分析】
证明△AED≌△FDC可得 ED=CD，据此列方程解即可.
【详解】
解:由题意可知AD=BC=CF, ∠AED=∠CDF, ∠A=∠CFD=90°,
所以△AED≌△FDC,
所以ED=CD，
设AE=x，则x²＋3²=(x+1) ²,
解得x=4,
所以CD=5.
故答案是：5.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理，由折叠得到相应的数量关系从而证明三角形全等是解题关键.
三、解答题
17．（1）3﹣3；（2）﹣4；（3）﹣1+；（4）﹣
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并得出答案；
（3）直接利用
解析：（1）3﹣3；（2）﹣4；（3）﹣1+；（4）﹣
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】
解：（1）2﹣6×
=6
=6
=；
（2）（﹣2）2﹣（﹣2）（+2）
=5+4-4-(13-4)
=9-4-9
=-4；
（3）（1+）•（2﹣）
=2-
=-1+；
（4）
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算以及立方根的性质，正确化简二次根式是解题关键．
18．4米
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
米
答：水池里水的深度是4米．
【点睛】
本题考查
解析：4米
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
米
答：水池里水的深度是4米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
19．（1），；（2）不是直角，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：（1）BC
解析：（1），；（2）不是直角，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：（1）BC==，BD==．
（2）结论：不是直角．
理由：∵CD=，BC=，BD=，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD≠90°．
（3）如图，四边形ABED即为所求．

【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）见解析；（2）90；（3）104
【分析】
（1）根据题意，可以先证明和全等，然后即可得到，然后对角线互相平分的四边形是平行四边形可以证明结论成立；
（2）根据菱形的性质，可以得到的度数；
（
解析：（1）见解析；（2）90；（3）104
【分析】
（1）根据题意，可以先证明和全等，然后即可得到，然后对角线互相平分的四边形是平行四边形可以证明结论成立；
（2）根据菱形的性质，可以得到的度数；
（3）根据矩形的性质，可以得到的度数．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）当的度数为时，四边形是菱形，
理由：四边形是菱形，
，
，
故答案为：90；
（3）当的度数为104度时，四边形是矩形，
理由：四边形是矩形，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
故答案为：104．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（1）9；（2）5．
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得与分母相乘后，为平方差公式结构，如.
(2)先对a值进行化简得
解析：（1）9；（2）5．
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得与分母相乘后，为平方差公式结构，如.
(2)先对a值进行化简得 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=

（2）∵，
解法一：∵ ，
∴ ，即
∴原式=
解法二∴ 原式=

点睛：（1）把分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式， 得，去掉根号，实现分母有理化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
22．（1）， ；（2）
【分析】
（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为，然后把，代入，把代入求解即可；
（2）把分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的x的值，有次求解即可．
【详解】
（1）设线
解析：（1）， ；（2）
【分析】
（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为，然后把，代入，把代入求解即可；
（2）把分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的x的值，有次求解即可．
【详解】
（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为
代入得
，
解得
∴线段AB的解析式，
代入得，解得
∴双曲线的解析式为
∴
解得；
（2）反比例函数解析式为，
当时，代入线段 ，解得，
代入反比例函数得，解得x=20
所以不适宜饮水的持续时间为分．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先用SAS证ABG≌ADF，可得AG=AF，∠BAG=∠DAF，又可证∠EAG=∠EAF，故可用SAS证GAE≌FAE，EF=GE，即EF长度可求；
（
解析：（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先用SAS证ABG≌ADF，可得AG=AF，∠BAG=∠DAF，又可证∠EAG=∠EAF，故可用SAS证GAE≌FAE，EF=GE，即EF长度可求；
（2）在DF上取一点G,使得DG=BE, 连接AG，先用SAS证ABE≌ADG，可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，又可证∠EAF=∠GAF，故可用SAS证AEF≌AGF，可得EF=GF，且DG=BE，故EF=DF-DG=DF-BE；
（3）在线段DF上取BE=DG，连接AG，求证∠ABE=∠ADC，即可用SAS证ABE≌ADG，可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，又可证∠EAF=∠GAF，故可用SAS证AEF≌AGF，可得EF=GF，设BE=x，则CE= 7+x，EF=18-x，根据勾股定理：，即可求得BE的长度．
【详解】
解：（1）证明：如图1所示，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
在ABG和ADF中，

∴ABG≌ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF，
在GAE和FAE中，

∴GAE≌FAE（SAS），
∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；
（2）如下图所示，在DF上取一点G,使得DG=BE, 连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，故AB=AD，∠ABE=∠ADG=90°，
在ABE和ADG中，

∴ABE≌ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，
在AEF和AGF中，

∴AEF≌AGF（SAS），
∴EF=GF，且DG=BE，
∴EF=DF-DG=DF-BE；
（3）BE=5，
如下图所示，在线段DF上取BE=DG，连接AG，

∵∠BAD=∠BCD=90°，故∠ABC+∠ADC=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ADC，
在ABE和ADG中，

∴ABE≌ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，
在AEF和AGF中，

∴AEF≌AGF（SAS），
∴EF=GF，
设BE=x，则CE=BC+BE =7+x，EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x，
在直角三角形ECF中，根据勾股定理：，
即：，解得x=5，
∴BE=x=5．
【点睛】
本题主要考察了全等三角形的证明及性质、勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，找出全等三角形，并用对应边/对应角相等的定理，解决该题．
24．（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，）
【解析】
【分析】
（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解
解析：（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，）
【解析】
【分析】
（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，此时△PDE的周长最小，运用勾股定理可得CE＝5，BE＝3，作EG⊥OA，在Rt△DEG中，可得DE＝，在Rt△D′EG中，可得，即可求出答案；
（3）运用待定系数法求得直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，进而求得P（，0），过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，利用待定系数法可得直线DE的解析式为y＝x+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
（2）存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，

在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝，
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝；
（3）由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，

设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝＝（2﹣t）＝QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（，），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数的性质，线段的动点问题，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行分析．
25．（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4
【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；
（2）解法同（1）；
（3）连接、、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的
解析：（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4
【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；
（2）解法同（1）；
（3）连接、、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的面积，由的面积的面积的面积的面积，即可得出答案；
（4）过点作，垂足为，易证，过点作，垂足为，由解决问题（1）可得，易证，，只需求出即可．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴的面积，
∵，，，
且，
∴，
∵，
∴.
故答案为：15，8.
（2）∵，，，
且，
∴，
∵，
∴.
（3）连接、、，作于，如图2所示：

∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，，，
∴的面积的面积的面积的面积

，
∴.
（4）过点作，垂足为，如图3所示：

∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
由折叠可得：，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由解决问题（1）可得：，
∴，即的值为4.
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．