2023年人教版七7年级下册数学期末考试试卷(及答案).doc

2023年人教版七7年级下册数学期末考试试卷（及答案）
一、选择题
1．如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看做∠1的内错角的是（ ）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．下列生活现象中，不是平移现象的是( )
A．人站在运行着的电梯上 B．推拉窗左右推动
C．小明在荡秋千 D．小明躺在直线行驶的火车上睡觉
3．下列各点中，在第三象限的点是（ ）
A． B． C． D．
4．下列两个命题：①过一点有且只有一条直线和已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，其中判断正确的是（ ）
A．①②都对 B．①对②错 C．①②都错 D．①错②对
5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为（ ）

A．60°和135° B．60°和105° C．105°和45° D．以上都有可能
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．（﹣2）3的立方根是﹣2 B．0.4的算术平方根是0.2
C．的立方根是4 D．16的平方根是4
7．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，点E在AC上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
8．如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次作下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．＝___．
十、填空题
10．若点A(5，b)与点B(a+1，3)关于x轴对称，则（a+b）=______
十一、填空题
11．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.

十二、填空题
12．如图，直线m与∠AOB的一边射线OB相交，∠3＝120°，向上平移直线m得到直线n，与∠AOB的另一边射线OA相交，则∠2－∠1＝_______º．

十三、填空题
13．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

十四、填空题
14．如图，按照程序图计算，当输入正整数时，输出的结果是，则输入的的值可能是__________．

十五、填空题
15．若点P（2x，x-3）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为____________.
十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的幸运点．已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A2020的坐标为_______．
十七、解答题
17．（1）－＋； （2）,求.
十八、解答题
18．求下列各式中的x值：
（1）
（2）
十九、解答题
19．完成下面的证明．
如图，AB∥CD，∠B+∠D＝180°，求证：BE∥DF．
分析：要证BE∥DF，只需证∠1＝∠D．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠B+∠1＝180°（ 　 　）
∵∠B+∠D＝180°（已知）
∴∠1＝∠D（ 　 　）
∴BE∥DF（ 　 　）

二十、解答题
20．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三点的坐标分别为，，．

（1）求三角形的面积；
（2）在轴上存在一点，使三角形的面积等于三角形面积，求点的坐标．
二十一、解答题
21．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是的整数部分；
（1）求a+b+c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
二十二、解答题
22．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．

（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的-1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长

二十三、解答题
23．已知直线，点P为直线、所确定的平面内的一点．
（1）如图1，直接写出、、之间的数量关系 ；
（2）如图2，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数．

二十四、解答题
24．已知：如图1，，点，分别为，上一点．

（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
二十五、解答题
25．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

（图1） （图2）
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据内错角的边构成“Z”形判断即可．
【详解】
解：由图可知：能看作∠1的内错角的是∠3，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
2．C
【分析】
根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，解答即可．
【详解】
解：根据平移的性质，A、B、D都正确，而C小明在荡秋千，荡秋千的运动过程中，方向不断的发
解析：C
【分析】
根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，解答即可．
【详解】
解：根据平移的性质，A、B、D都正确，而C小明在荡秋千，荡秋千的运动过程中，方向不断的发生变化，不是平移运动．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
3．D
【分析】
应先判断点在第三象限内点的坐标的符号特点，进而找相应坐标．
【详解】
解：∵第三象限的点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，
∴结合选项符合第三象限的点是（-2，-4）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了点在第三象限内点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．C
【分析】
根据平行公理及其推论判断即可．
【详解】
解：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，平行公理及其推论，属于基础知识，要牢牢掌握．
5．D
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论．
【详解】
解：如图

当∥时，；
当∥时，；
当∥ 时，∵，
∴；
当∥时，∵ ，
∴．
故选：．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
6．A
【分析】
根据立方根的定义及平方根的定义依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A．（﹣2）3的立方根是﹣2，故本选项符合题意；
B.0.04的算术平方根是0.2，故本选项不符合题意；
C. 的立方根是2，故本选项不符合题意；
D.16的平方根是±4，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查立方根的定义及平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
7．B
【分析】
由∠B=∠EDF=90°，∠A=30°，∠F=45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB=60°，∠DEF=45°，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CEF的度数，结合∠CED=∠CEF-∠DEF，即可求出∠CED的度数，此题得解．
【详解】
解：∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°．
∵∠EDF=90°，∠F=45°，
∴∠DEF=45°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=60°-45°=15°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记平行线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】
由，可得，然后根据形的性质結合图形即可得到规律，然后按规律解答即可.
【详解】
解：由，可得
∵点A0坐标为（2，0）
∴OA0=2,
∴
∴
∴
∴A2020A2021=
故答案为：
解析：B
【分析】
由，可得，然后根据形的性质結合图形即可得到规律，然后按规律解答即可.
【详解】
解：由，可得
∵点A0坐标为（2，0）
∴OA0=2,
∴
∴
∴
∴A2020A2021=
故答案为：B
【点睛】
本题考查了规律型中点的坐标以及含30°角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，结合图形找出变化规律是解题的关键．
九、填空题
9．13
【分析】
根据求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：13．
【点睛】
题目主要考查算术平方根的计算，熟记常用数的平方及算数平方根的计算法则是解题关键．
解析：13
【分析】
根据求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：13．
【点睛】
题目主要考查算术平方根的计算，熟记常用数的平方及算数平方根的计算法则是解题关键．
十、填空题
10．1
【分析】
关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可求a、b的值．
【详解】
解：∵点A（5，b）与点B（a+1，3）关于x轴对称，
∴5=a+1，b=-3，
∴a=4，
∴（a+b
解析：1
【分析】
关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可求a、b的值．
【详解】
解：∵点A（5，b）与点B（a+1，3）关于x轴对称，
∴5=a+1，b=-3，
∴a=4，
∴（a+b）2017=（4-3）2017=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系．关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标反数．
十一、填空题
11．5°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠C
解析：5°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴∠CAE=∠BAC=×130°=65°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．
故答案为：5°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．
十二、填空题
12．60
【分析】
延长BO交直线n于点C，由平行线的性质得∠ACB=∠1，由邻补角得∠AOC=60°，再由三角形外角的性质可得结论．
【详解】
解：延长BO交直线n于点C，如图，
∵直线m向上平移直
解析：60
【分析】
延长BO交直线n于点C，由平行线的性质得∠ACB=∠1，由邻补角得∠AOC=60°，再由三角形外角的性质可得结论．
【详解】
解：延长BO交直线n于点C，如图，

∵直线m向上平移直线m得到直线n，
∴m∥n，
∴∠ACB=∠1，
∵∠3＝120°，
∴∠AOC=60°
∵∠2=∠ACO+∠AOC=∠1+60°，
∴∠2-∠1=60°．
故答案为60．
【点睛】
本题考查了平移的性质，平行线的性质，以及三角形外角的性质，作辅助线构造三角形是解答此题的关键．
十三、填空题
13．．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与
解析：．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．
十四、填空题
14．、、、．
【详解】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：、、、．
【详解】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
十五、填空题
15．或
【详解】
【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三种情况分别讨论即可得.
【详解】当x<0时，2x<0，x-3<0，由题意则有-2x-(x-3)=5，解得：x=，
当0≤x<3时，2x≥0，x-3
解析：或
【详解】
【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三种情况分别讨论即可得.
【详解】当x<0时，2x<0，x-3<0，由题意则有-2x-(x-3)=5，解得：x=，
当0≤x<3时，2x≥0，x-3<0，由题意则有2x-(x-3)=5，解得：x=2，
当x≥3时，2x>0，x-3≥0，由题意则有2x+x-3=5，解得：x=<3（不合题意，舍去），
综上，x的值为2或，
故答案为2或.
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据x的取值范围分情况进行讨论是解题的关键.
十六、填空题
16．(0，-2)
【分析】
根据伴随点的定义，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（-3，1），A4n+4（0，-2）（n为自然数）”，根
解析：(0，-2)
【分析】
根据伴随点的定义，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（-3，1），A4n+4（0，-2）（n为自然数）”，根据此规律即可解决问题．
【详解】
解：观察，发现规律：A1（3，1），A2（0，4），A3（-3，1），A4（0，-2），A5（3，1），…，
∴A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（-3，1），A4n+4（0，-2）（n为自然数）．
∵2020=4×504+4，
∴点A2020的坐标为（0，-2）．
故答案为：(0，-2)．
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（-3，1），A4n+4（0，-2）（n为自然数）”．
十七、解答题
17．（1） － （2）±3
【详解】
试题分析：(1)先化简根式，再加减；（2）称项后，直接开平方即可；
试题解析：
（1）原式＝ ；
（2）x2-4=5
x2=9
x=3或x=-3
解析：（1） － （2）±3
【详解】
试题分析：(1)先化简根式，再加减；（2）称项后，直接开平方即可；
试题解析：
（1）原式＝ ；
（2）x2-4=5
x2=9
x=3或x=-3
十八、解答题
18．（1）x=-15；（2）x=8或x=-4
【分析】
（1）利用直接开立方法求得x的值；
（3）利用直接开平方法求得x的值．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
解得：x=-15；
（2），
∴，
∴
解析：（1）x=-15；（2）x=8或x=-4
【分析】
（1）利用直接开立方法求得x的值；
（3）利用直接开平方法求得x的值．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
解得：x=-15；
（2），
∴，
∴，
解得：x=8或x=-4．
【点睛】
本题考查了立方根和平方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
十九、解答题
19．两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】
要证BE∥DF，只需证∠1＝∠D，由AB∥CD可知∠B+∠1＝180°，又有∠B+∠D＝180°，由此即可证得．
【详解】
解析：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】
要证BE∥DF，只需证∠1＝∠D，由AB∥CD可知∠B+∠1＝180°，又有∠B+∠D＝180°，由此即可证得．
【详解】
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠B+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B+∠D＝180°（已知）
∴∠1＝∠D（同角的补角相等），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二十、解答题
20．（1）的面积为5；（2）或
【分析】
（1）根据割补法可直接进行求解；
（2）由（1）可得，进而△的面积以点B的纵坐标为高，ON为底，然后可得ON=5，最后问题可求解．
【详解】
解：（1）由图象可
解析：（1）的面积为5；（2）或
【分析】
（1）根据割补法可直接进行求解；
（2）由（1）可得，进而△的面积以点B的纵坐标为高，ON为底，然后可得ON=5，最后问题可求解．
【详解】
解：（1）由图象可得：
；
（2）设点，由题意得：，
∴△的面积以点B的纵坐标为高，ON为底，即，
∴，
∴或．
【点睛】
本题主要考查图形与坐标，熟练掌握点的坐标表示的几何意义及割补法是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）-33；（2）
【分析】
（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据可得c的值；
（2）分别将a，b，c的值代入3a-b+c，可
解析：（1）-33；（2）
【分析】
（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据可得c的值；
（2）分别将a，b，c的值代入3a-b+c，可解答．
【详解】
解：（1）∵某正数的两个平方根分别是3a-14和a+2，
∴（3a-14）+（a+2）=0，
∴a=3，
又∵b+11的立方根为-3，
∴b+11=(-3)3=-27，
∴b=-38，
又∵，
∴，
又∵c是的整数部分，
∴c=2；
∴a+b+c=3+(-38)+2=-33；
（2）当a=3，b=-38，c=2时，
3a-b+c=3×3-(-38)+2=49，
∴3a-b+c的平方根是±7．
【点睛】
本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
二十二、解答题
22．（1）5；；（2）；；（3）能，．
【分析】
（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长．
（2）求出斜边长即可．
（3）一共有10个小正
解析：（1）5；；（2）；；（3）能，．
【分析】
（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长．
（2）求出斜边长即可．
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，画图．
【详解】
试题分析：
解：（1）拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×5=5，
边长为，
如图（1）

（2）斜边长=，
故点A表示的数为：；点A表示的相反数为：
（3）能，如图

拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×10=10，边长为．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．图形的剪拼．
二十三、解答题
23．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360
解析：（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．
【详解】
解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）∠APC=∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，

∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，
∴∠APC=∠A-∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG-∠GEH
=∠FEG-∠BEG
=∠BEF
=55°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二十四、解答题
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；

证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二十五、解答题
25．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【问题探究】解：∠DPC=α+β
如图，

过P作PH∥DF
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=α， ∠PDF=∠2
∵∠DPC=∠2+∠1=α+β
【问题迁移】（1）70

（图1） （ 图2）
(2) 如图1，∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，
∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．
∴∠DPC=β -α
如图2，∠DPC= α -β
∵DF∥CE,
∴∠PDF=∠1=α
∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．
∴∠DPC=α - β