2023届江苏省苏州姑苏区五校联考数学九年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，二次函数()图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为和1．下列结论：
①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中结论正确的个数是(　　)

A．4个 B．1个 C．2个 D．1个
2．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点是的中点，的面积是6，则的面积为（ ）

A．9 B．12 C．18 D．24
3．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若点是反比例函数图象上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．图象位于二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．点在函数图象上
D．当时，
5．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )

A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
6．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
7．在半径等于5 cm的圆内有长为cm的弦，则此弦所对的圆周角为
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°
8．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．四个角相等 C．对角线相等 D．四条边相等
9．当取下列何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根（ ）
A．1. B．2 C．4. D．
10．下面的函数是反比例函数的是( )
A． B． C． D．
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=(　　)

A．120° B．110° C．105° D．100°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y=x上，T1与x轴交于点A1(2，0)，A2(A2在A1右侧)，T2与x轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线Tn的函数表达式为_____．

14．二次函数y＝x2－2x＋2图像的顶点坐标是______．
15．已知线段，点是它的黄金分割点，，设以为边的正方形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，则与的关系是__________．
16．如图是小明在抛掷图钉的试验中得到的图钉针尖朝上的折线统计图，请你估计抛掷图钉针尖朝上的概率是_____．

17．在一个不透明的塑料袋中装有红色白色球共个．除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有________个．
18．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为_____步．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD//BC，BD的垂直平分线经过点O，分别与AD、BC交于点E、F

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：四边形BFDE为菱形．
20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD•AC，连接BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．
（1）求BD的长；
（2）求证△BGE∽△CEF；
（3）连接FG，当△GEF是等腰三角形时，直接写出BE的所有可能的长度．

21．（8分）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注．相关人员对本地区15~65岁年龄段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图．市民对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A．没影响 B．影响不大 C．有影响，建议做无声运动 D．影响很大，建议取缔 E．不关心这个问题

根据以上信息解答下列问题：
（1）根据统计图填空： ，A区域所对应的扇形圆心角为 度；
(2)在此次调查中，“不关心这个问题”的有25人，请问一共调查了多少人？
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若本地共有14万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议？
22．（10分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，分别用、、表示；田赛项目：跳远，跳高分别用、表示．
该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；
该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
23．（10分）如图，在的直角三角形中，，是直角边所在直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，．

（1）如图①，当点恰好在线段上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点不在直线上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．
24．（10分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：
（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若__________（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；
（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）
（3）拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．

25．（12分）为响应市政府关于“垃圾不落地市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A：非常了解；B：比较了解；C：了解较少；D：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题；
求______，并补全条形统计图；
若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；
已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．

26．如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置．若AB=6，AC=4，求∠BAD的度数和AD的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】①x＝1＝−，即b＝−2a，即可求解；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，即可求解；
③分别判断出a,b,c的取值，即可求解；
④时，函数的表达式为：y＝（x＋1）（x−1）=，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），即可求解．
【详解】其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为−1和1，则函数的对称轴为：x＝1，
①x＝1＝−，即b＝−2a，故不符合题意；
②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，符合题意；
③由图可得开口向上，a＞0，
对称轴x=1,
∴a,b异号，b＜0，
图像与y轴交于负半轴，c＜0
∴＞0，不符合题意；
④时，函数的表达式为：y＝（x＋1）（x−1）=，则点A、B、D的坐标分别为：（−1，0）、（1，0）（1，−2），AB2＝（-1-1）2+02=16，AD2＝（-1-1）2+（0-2）2＝8，BD2＝（1-1）2+（0-2）2＝8，故△ABD是等腰直角三角形符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2、D
【分析】根据位似图形的性质，再结合点A与点的坐标关系可得出两个三角形的相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案.
【详解】解：∵△ABC与△是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且A为的中心，
∴△ABC与△的相似比为：1：2；
∵位似图形的面积比等于相似比的平方，
∴△的面积等于4倍的△ABC的面积，即.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查的知识点是位似图形的性质，位似是特殊的相似，熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
3、B
【解析】试题分析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
4、B
【分析】先根据点A（3、4）是反比例函数y= 图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．
【详解】∵点A（3，4）是反比例函数y=图象上一点，
∴k=xy=3×4=12，
∴此反比例函数的解析式为y=，
A、因为k=12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；
B、因为k=12＞0，所以在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、因为2×（-6）=-12≠12，所以点（2、-6）不在此函数的图象上，故本选项错误；
D、当y≤4时，即y=≤4，解得x＜0或x≥3，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键．
5、C
【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；
B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；即B正确；
C选项，因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；
D选项，因为由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE，结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.
故选C.
6、C
【分析】将变形为﹣1，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：C．
【点睛】
考查了比例的性质，解题的关键是将变形为．
7、C
【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．
【详解】如图所示，

∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD=，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=，
∴sin∠AOD=，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=∠AOB=60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选C．
【点睛】
此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
8、D
【分析】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．
【详解】解答： 解：A、对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A错误；
B、四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故B错误；
C、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故C错误；
D、四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故D正确；
故选D．
考点： 菱形的性质；矩形的性质．
9、A
【分析】根据一元二次方程的判别式判断即可.
【详解】要使得方程由两个相等实数根,
判别式△=(-2)2-4m=4-4m=0,
解得m=1.
故选A.
【点睛】
本题考查一元二次方程判别式的计算,关键在于熟记判别式与根的关系.
10、A
【解析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
【详解】解：A、是反比例函数，正确；
B、是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是一次函数，错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的识别，容易出现的错误是把当成反比例函数，要注意对反比例函数形式的认识．
11、B
【解析】由图象与x轴有交点，可以推出b2-4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由对称轴为x==-1可以判定②错误；由x=-1时，y>0，可知③错误．把x＝1，x＝﹣3代入解析式，整理可知④正确，然后即可作出选择．
【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a-b＝0，
故本选项错误，
③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a+c＝b，
∵c>0,
即5a＜b，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与各系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
12、D
【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出．
【详解】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴的垂线，由△A1B1A2是等边三角形，结合顶点都在直线y=x上，可以求出，A2(4，0)，进而得到T1的表达式：，同理，依次类推即可得到结果．
【详解】解：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴的垂线，如图所示：

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∵顶点都在直线y=x上，设，
∴OC1=m，，
∴，
∴∠B1OC1=30°，
∴∠OB1A1=30°，
∴OA1=A1B1=2=A2B1，
∴A1C1=A1B1•cos60°=1，
，
∴OC1=OA1+A1C1=3，
∴，A2(4，0)，
设T1的解析式为：，
则，
∴，
∴T1：，
同理，T2的解析式为：，
T3的解析式为：，
…
则Tn的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中锐角三角函数值的应用，直线表达式的应用，图形规律中类比归纳思想的应用，顶点式设二次函数解析式并求解，掌握二次函数解析式的求解是解题的关键．
14、（1，1）
【解析】分析：把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵
∴顶点坐标为(1,1).
故答案为：(1,1).
点睛：考查二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
15、
【分析】根据黄金分割比得出AP，PB的长度，计算出与即可比较大小．
【详解】解：∵点是AB的黄金分割点，，
∴，设AB=2，
则，
∴

∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．
16、0.1
【分析】利用频数统计图可得，在试验中图钉针尖朝上的频率在0.1波动，然后利用频率估计概率可得图钉针尖朝上的概率．
【详解】解：由统计图得，在试验中得到图钉针尖朝上的频率在0.1波动，
所以可根据计图钉针尖朝上的概率为0.1．
【点睛】
本题考查了频数统计图用频率估计概率，解决本题的关键是正确理解题意，明确频率和概率之间的联系和区别.
17、1
【分析】设有红球有x个，利用频率约等于概率进行计算即可．
【详解】设红球有x个，
根据题意得：＝20%，
解得：x＝1，
即红色球的个数为1个，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．
18、1．
【分析】设正方形城池的边长为步, 根据比例性质求.
【详解】解：设正方形城池的边长为步,

即正方形城池的边长为1步．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）由平行线的性质可得，根据EF经过点O且垂直平分BD可得，利用ASA可证明△DOA≌△BOC，可得OA=OC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）利用ASA可证明≌，可得OE=OF，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可得结论．
【详解】（1）∵AD//BC，经过点O，且垂直平分，
∴，，
在和中，
∴≌，
∴OA=OC，
∴四边形为平行四边形．
（2）由（1）知，，
∴在和中，
∴≌，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴四边形为菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定及菱形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；熟练掌握判定定理是解题关键．
20、（1）；（2）见解析；（3）4或﹣5+或﹣3+
【分析】（1）证明△ADB∽△ABC，可得，由此即可解决问题．
（2）想办法证明∠BEA=∠EFC，∠DBC=∠C即可解决问题．
（3）分三种情形构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）∵AB=8，AC=12，又∵AB2=AD•AC
∴
∵AB2=AD•AC，
∴，
又∵∠BAC是公共角
∴△ADB∽△ABC，
∴
∴=
∴．
（2）∵AC=12，，
∴，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C，
∵△ADB∽△ABC
∴∠ABD=∠C，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠BEF=∠C+∠EFC，
即∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，
∵∠AEF=∠C，
∴∠BEA=∠EFC，又∵∠DBC=∠C，
∴△BEG∽△CFE．
（3）如图中，过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，设BE=x，CF=y，

∵AH∥BC，
∴====，
∵BD=CD=，AH=8，
∴AD=DH=，
∴BH=12，
∵AH∥BC，
∴=，
∴=，
∴BG=，
∵∠BEF=∠C+∠EFC，
∴∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC，
∵∠AEF=∠C，
∴∠BEA=∠EFC，
又∵∠DBC=∠C，
∴△BEG∽△CFE，
∴=，
∴=，
∴y=；
当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①若GE=GF，如图中，则∠GEF=∠GFE=∠C=∠DBC，

∴△GEF∽△DBC，
∵BC=10，DB=DC=，
∴==，
又∵△BEG∽△CFE，
∴==，即=，
又∵y=，
∴x=BE=4；
②若EG=EF，如图中，则△BEG与△CFE全等，

∴BE=CF，即x=y，
又∵y=，
∴x=BE=﹣5+；
③若FG=FE，如图中，则同理可得==，

由△BEG∽△CFE，可得 ==，
即=，
又∵y=，
∴x=BE=﹣3+．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质以及相似三角形的综合运用，解题关键是构建方程组进行求解.
21、（1）32，1；（2）500人；（3）补图见解析；（4）5.88万人．
【解析】分析：分析：（1）用1减去A，D，B，E的百分比即可，运用A的百分比乘360°即可．（2）用不关心的人数除以对应的百分比可得．（3）求出25-35岁的人数再绘图．（4）用14万市民乘C与D的百分比的和求解．
本题解析：（1）m%=1-33%-20%-5%-10%=32%，所以m=32，
A区域所对应的扇形圆心角为：360°×20%=1°，
故答案为32，1．
（2）一共调查的人数为：25÷5%=500(人).
（3）(3)500×(32%+10%)=210(人)
25−35岁的人数为：210−10−30−40−70=60(人)

（4）14×(32%+10%)=5.88(万人)
答：估计本地市民中会有5.88万人给出建议．
22、 (1);(2).
【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：．
故答案为；
（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1），证明见解析；（2）图②、图③结论成立，证明见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；
【详解】（1）．
证明如下：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）图②、图③结论成立．
图②证明如下：
如图②，过点作，垂足为．

在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
图③证明如下：
如图③，过点作，垂足为．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．

【点睛】
本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24、 (1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）见解析;(3) BE=2或或或.
【解析】整体分析：
(1)根据“准菱形”的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.
解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.
(2)已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
(3)由平移得BE=AD，DE=AB＝2，EF=BC＝1，DF=AC＝.
由“准菱形”的定义有四种情况：
①如图1，当AD＝AB时，BE＝AD＝AB＝2.

②如图2，当AD＝DF时，BE＝AD＝DF＝.

③如图3，当BF＝DF＝时，延长FE交AB于点H，则FH⊥AB.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°.
∴∠BEH＝∠ABE＝45°.∴BE＝BH.
设EH＝BH＝x，则FH＝x＋1，BE＝x.
∵在Rt△BFH中，BH2＋FH2＝BF2，
∴x2＋(x＋1)2＝()2，
解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.

④如图4，当BF＝AB＝2时，与③)同理得：BH2＋FH2＝BF2.
设EH＝BH＝x，则x2＋(x＋1)2＝22，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.

综上所述，BE=2或或或.
25、（1）20（2）500（3）
【解析】先利用A选项的人数和它所占百分比计算出调查的总人数为50，再计算出B选项所占的百分比为，从而得到，即，然后计算出C、D选项的人数，最后补全条形统计图；用1000乘以可估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生数；画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】调查的总人数为，
B选项所占的百分比为，
所以，即，
C选项的人数为人，
D选项的人数为人，
条形统计图为：

故答案为20；
，
所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；
故答案为500；
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，
所以恰好抽到1男1女的概率
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图．
26、AD=10, ∠BAD=60°.
【解析】先证明△ADE是等边三角形，再推出A，C，E共线；由于∠ADE=60°，根据旋转得出AB=CE=6，求出AE即可．
【详解】解：由旋转可知：△ABD≌△ECD
∴AB=EC=6, ∠BAD=∠E AD=ED
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形
∴AE=AD
∠E=∠DAE=60°
∴∠BAD=60°
∵∠BAC=120°
∴∠DAC=60°=∠DAE
∴C在AE上
∴AD=AC+CE=4+6=10.
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质, 等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质, 等边三角形的性质.