山西省稷山县2022年数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A． B． C． D．
2．如图，A、D是⊙O上的两个点，若∠ADC＝33°，则∠ACO的大小为（ ）

A．57° B．66° C．67° D．44°
3．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．100（1+2x）＝150 B．100（1+x）2＝150
C．100（1+x）+100（1+x）2＝150 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝150
4．如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（ ）

A．1 B． C．2 D．
5．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（ ）

A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
6．一个不透明的盒子装有个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为（ ）
A．8 B．10 C．20 D．40
7．已知3x＝4y（x≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法中，不正确的是（ ）

A． B． C． D．
9．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在RtΔABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在中，是边上一点，延长交的延长线于点，若，则等于（　　）

A． B． C． D．
12．如图，是等边三角形，且与轴重合，点是反比例函数的图象上的点，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．如图，抛物线和抛物线的顶点分别为点M和点N，线段MN经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是__________，MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是__________．

15．已知分别切于点，为上不同于的一点，，则的度数是_______．
16．不透明布袋里有5个红球，4个白球，往布袋里再放入x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为，则y与x之间的关系式是_____．
17．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

18．已知为锐角，且，则度数等于______度.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，双曲线上的一点，其中，过点作轴于点，连接.

（1）已知的面积是，求的值；
（2）将绕点逆时针旋转得到，且点的对应点恰好落在该双曲线上，求的值.
20．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件成本40元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元，但物价部门要求每件售价不得高于60元．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每涨1元，每天就少售出2件，设单价上涨元．
（1）求当为多少时每天的利润是1350元？
（2）设每天的销售利润为，求销售单价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
21．（8分）解方程：
（1）(x+1)2﹣9＝0
（2）x2﹣4x﹣45＝0
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．

23．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．（10分）（1）若正整数、，满足，求、的值；
（2）已知如图，在中，，，点在边上移动（不与点，点重合），将沿着直线翻折，点落在射线上点处，当为一个含内角的直角三角形时，试求的长度．

25．（12分）如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AD交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD=2∠DAF．
（1）求证：△ABH是等腰三角形；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径．

26．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】通过配方法可将方程化为的形式．
【详解】解：配方，得：，
由此可得：，
故选A．
【点睛】
本题重点考查解一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方法的过程是解题的关键；注意当方程中二次项系数不为1时，要先将系数化为1后再进行移项和配方．
2、A
【分析】由圆周角定理定理得出∠AOC，再由等腰三角形的性质得到答案.
【详解】解：∵∠AOC与∠ADC分别是弧AC对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC =2∠ADC =66°，
在△CAO中，AO=CO,
∴∠ACO=∠OAC =，
故选：A
【点睛】
本题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，注意数形结合思想的应用．
3、B
【分析】可设每月营业额平均增长率为x，则二月份的营业额是100（1+x），三月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程即可．
【详解】设二、三两个月每月的平均增长率是x．
根据题意得：100（1+x）1＝150，
故选：B．
【点睛】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增长用“+”，下降用“-”．
4、C
【解析】根据∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边的比相等得到代入求值即可.
【详解】∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴
∴
∴CD=2.
故选:C.
【点睛】
主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
5、A
【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得b＝a＋c，故选A.
【详解】请在此输入详解！
6、C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得，＝0.2，
解得，m＝20，
经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义，
故选：C．
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7、B
【解析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，逐项判断即可．
【详解】A、由＝得4x＝3y，故本选项错误；
B、由＝得3x＝4y，故本选项正确；
C、由＝得xy＝12，故本选项错误；
D、由＝得4x＝3y，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
8、A
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，即可分析求解．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，
∴AB＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是关键．
9、C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
10、B
【分析】由勾股定理可求得AB的长度，再根据锐角三角函数的定义式求得sin∠A的值．
【详解】∵AC=6，BC=8，∴AB==，
∴sin∠A=．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理和锐角三角函数的综合应用，根据求得的直角三角形的边长利用锐角三角函数的定义求值是解题关键．
11、B
【分析】根据平行四边形的性质可得出AB=CD，，得出，再利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，即，从而可得解.
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，且，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点有平行四边形的性质，相似三角形的性质，综合运用各知识点能够更好的解决问题.
12、A
【分析】设△OAB的边长为2a，根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（-a，a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出△OAB的周长．
【详解】解：如图，设△OAB的边长为2a，过B点作BM⊥x轴于点M．

又∵△OAB是等边三角形，
∴OM=OA=a，BM=a，
∴点B的坐标为（-a，a），
∵点B是反比例函数y=− 图象上的点，
∴-a•a=-8，
解得a=±2（负值舍去），
∴△OAB的周长为：3×2a=6a=12．
故选：A．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设△OAB的边长为2a，用含a的代数式表示出点B的坐标是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、：k＜1．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△==4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为k＜1．
14、 (1，5) 16
【分析】先将M、N两点坐标分别求出，然后根据N点的移动规律得出M点的横坐标向右移动2个单位长度，进一步即可求出M点坐标；根据二次函数图像性质我们可以推断出MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积等同于菱形MNQP，之后进一步求出相关面积即可.
【详解】由题意得：M点坐标为(-1，1)，N点坐标为(1，-3)，
∵点Q横坐标为3，
∴N点横坐标向右平移了2个单位长度，
∴P点横坐标为-1+2=1，
∴P点纵坐标为：1+2+2=5，
∴P点坐标为：(1，5)，
由题意得：Q点坐标为：(3，1)，
∴MQ平行于x轴，PN平行于Y轴，
∴MQ⊥PN，
∴四边形MNQP为菱形，
∴菱形MNQP面积=×MQ×PN=16，
∴MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积等于16，
故答案为：(1，5) ，16.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质及运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
15、或
【分析】连接OA、OB，先确定∠AOB，再分就点C在上和上分别求解即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB分别切于A、B两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
当点C1在上时，则∠AC1B=∠AOB=50°
当点C2在B上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，即.∠AC2B=130°．
故答案为或．

【点睛】
本题主要考查了圆的切线性质和圆周角定理，根据已知条件确定∠AOB和分类讨论思想是解答本题的关键．
16、x﹣2y＝1．
【分析】根据从布袋里摸出白球的概率为，列出＝，整理即可得．
【详解】根据题意得＝，
整理，得：x﹣2y＝1，
故答案为：x﹣2y＝1．
【点睛】
本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键．
17、2-2
【解析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：

取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
18、30
【分析】根据锐角三角函数值即可得出角度.
【详解】∵，为锐角
∴=30°
故答案为30.
【点睛】
此题主要考查根据锐角三角函数值求角度，熟练掌握，即可解题.

三、解答题（共78分）
19、（1）6；（2）
【分析】（1）根据点A坐标及三角形面积公式求得的值，从而求得的值；
（2）延长交轴于点，根据旋转的性质可得,，然后判定四边形为矩形，用含m,n的式子表示出点C的坐标，将点A,C代入反比例解析式中，得到关于m的方程，解方程，从而求解.
【详解】解：（1）∵，轴于点,
∴，.
又，
∴.
∵点在双曲线上，
∴.
（2）延长交轴于点.
∵绕点逆时针旋转得到,
∴,,
∴，，.
∵轴于点,∴,
∴四边形为矩形，∴,
∴轴，∴，
∴，，
∴.
∵点都在双曲线上，
∴，
化简得.
解法一：解关于的方程，得.
∵，∴，
∴.
解法二：方程两边同时除以，得，
解得.
∵，
∴.
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，比例系数k的几何意义，旋转的性质，及一元二次方程的解法，综合性较强，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
20、（1）时，每天的利润是1350元；（2）单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元
【分析】（1）根据每天的利润=单件的利润×销售数量列出方程，然后解方程即可；
（2）根据每天的利润=单件的利润×销售数量表示出每天的销售利润，再利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由题意得，即，
解得：，
∵物价部门要求每件不得高于60元，
∴，即时每天的利润是1350元；
（2）由题意得：，
∵抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴左侧，随的增大而增大，且，
∴当时，（元），当时，售价为（元），
∴单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
21、（1），；（2），．
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）（x+1）2﹣9＝0
（x+1）2=9
x+1＝±3
x1＝2或x2＝﹣1．
（2）x2﹣1x﹣12＝0
（x﹣9）（x+2）＝0
x＝9或x＝﹣2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
22、（1）图见解析；（2）图见解析；路径长π．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，然后计算出OB的长后利用弧长公式计算点B旋转到点B2所经过的路径长．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，
OB＝＝2
点B旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．
【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），
即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，
解得x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）
=﹣10x2+1140x﹣29600
=﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
24、（1）或；（2）或．
【分析】（1）根据平方差公式因式分解，根据题意可得或；
（2）根据翻折性质可证∠AEF=180°∠BEF =90°，分两种情况：①如图a，当∠EAF=30°时，设BD=x，根据勾股定理，即；②如图b，当∠AFE=30°时，设BD=x，根据勾股定理，，；
【详解】（1）解：∵>0，且x，y均为正整数，
∴与均为正整数，且>，与奇偶性相同．
又∵
∴或
解得：或．
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠B=∠BAC=45°
又∵将△BDE沿着直线DE翻折，点B落在射线BC上点F处
∴∠BDE=∠EDF=90°，且△BDE≌△FDE
∴∠BED=∠DEF=45°，∠BEF=90°，BE=EF
∴∠AEF=180°∠BEF =90°
①如图a，当∠EAF=30°时，设BD=x，则：

BD=DF=DE=x，，，
∵∠EAF=30°，∴AF=，
在Rt△AEF中，，
∴，解得．
∴．
②如图b，当∠AFE=30°时，设BD=x，则：

同理①可得：，
∵∠AFE =30°，∴AF=
在Rt△AEF中，，
∴，解得．
∴．
综上所述，或．
【点睛】
考核知识点：因式分解运用，轴对称，勾股定理.分析翻折过程，分类讨论情况是关键；运用因式分解降次是要点.
25、 (1)见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1）要想证明△ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得∠B=∠ADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得∠ADC+∠AHC=180°，再根据邻补角互补，可知∠AHC+∠AHB=180°，从而可以得到∠ABH和∠AHB的关系，从而可以证明结论成立；
（2）要证直线PC是⊙O的切线，只需要连接OC，证明∠OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与⊙O相切于点A，可以得到∠AEC的度数，又∠PCD=2∠DAF，∠DOF=2∠DAF，∠COE=∠DOF，通过转化可以得到∠OCP的度数，从而可以证明结论；
（3）根据题意和（1）（2）可以得到∠AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=，可以求得半径的长．
【详解】（1）证明：
∵四边形ADCH是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AHC=180°，
又∵∠AHC+∠AHB=180°，
∴∠ADC=∠AHB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH，
∴△ABH是等腰三角形；
（2）证明：连接OC，如右图所示，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴BA⊥AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴CD⊥AF，
又∵FA经过圆心O，
∴，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠DAF，
又∵∠PCD=2∠DAF，
∴∠COF=∠PCD，
∵∠COF+∠OCE=90°，
∴∠PCD+∠OCE=90°，即∠OCP=90°，
∴直线PC是⊙O的切线；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=2，
∵FA⊥CD，
∴DE=CE=1，
∵∠AED=90°，AD=，DE=1，
∴AE=，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=AE﹣OA=4﹣r，
∵∠OED=90°，DE=1，
∴r2=（4﹣r）2+12,解得，r=，即⊙O的半径是．

考点：1.圆的综合题；2.平行四边形的性质；3.勾股定理；4同弧所对的圆心角和圆周角的关系.
26、；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【分析】（1）根据按每千克元的市场价收购了这种苹果千克，此后每天每千克苹果价格会上涨元，进而得出天后每千克苹果的价格为元与的函数关系；
（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；
（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.
【详解】根据题意知，；
．

当时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系是解题关键.