广州市第十中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．小红抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事件的是（　　）
A．骰子向上一面的点数为偶数 B．骰子向上一面的点数为3
C．骰子向上一面的点数小于7 D．骰子向上一面的点数为6
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2＋bx＋c＝0
C．（x－1）（x＋ 2）＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
3．为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从市文旅局获悉，“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（　　）
A．1.7118×10 B．0.17118×10
C．1.7118×10 D．171.18×10
4．一个小正方体沿着斜面前进了10 米，横截面如图所示，已知，此时小正方体上的点距离地面的高度升高了( )

A．5米 B．米 C．米 D．米
5．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）

A． B． C．3 D．2
6．如图，是的直径，点、在上．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(0,-1) B．(-1,1) C．(-1,0) D．(1,0)
8．如图所示的图案是由下列哪个图形旋转得到的（ ）

A． B． C． D．
9．如图，⊙O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B 的度数是（ ）

A．15° B．40° C．75° D．35°
10．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加．据统计，该店第一季度的汽车销量就达244辆，其中1月份销售汽车64辆．若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．64（1+x）2＝244
B．64（1+2x）＝244
C．64+64（1+x）+64（1+x）2＝244
D．64+64（1+x）+64（1+2x）＝244
11．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是( )

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9
12．若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．-0.5 D．0.5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，AB是圆O的弦，AB＝20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．

14．若如果x：y=3：1，那么x：（x-y）的值为_______.
15．一元二次方程2x2＋3x＋1＝0的两个根之和为__________．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．

17．已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
18．长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）下面是一位同学做的一道作图题：
已知线段、、（如图所示），求作线段，使.

他的作法如下：
1.以下为端点画射线，.
2.在上依次截取，.
3.在上截取.
4.联结，过点作，交于点.
所以：线段______就是所求的线段.
（1）试将结论补完整：线段______就是所求的线段.
（2）这位同学作图的依据是______；
（3）如果，，，试用向量表示向量.
20．（8分）如图二次函数的图象与轴交于点和两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过、

（1）求二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；
（3）若直线与轴的交点为点，连结、，求的面积；
21．（8分）某商场购进了一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种衬衫的售价每降低元，那么该商场平均每天可多售出件．
（1）若该商场计划平均每天盈利元，则每件衬衫应降价多少元?
（2）该商场平均每天盈利能否达到元?
22．（10分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE＝1：：3，求∠AED的度数；
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求DF和DN的长．
23．（10分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点．

（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移个单位长度后与轴交于，与反比例函数图象在第一象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积.
25．（12分）如图，点,以点为圆心、2为半径的圆与轴交于点．已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．
(2)点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求的最小值．
26．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】A、骰子向上一面的点数为偶数是随机事件，选项错误；
B、骰子向上一面的点数为3是随机事件，选项错误；
C、骰子向上一面的点数小于7是必然事件，选项正确；
D、骰子向上一面的点数为6是随机事件，选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件与必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．
2、C
【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．
【详解】解：A选项含有分式，故不是；
B选项中没有说明a≠0，则不是；
C选项是一元二次方程；
D选项中含有两个未知数，故不是；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义．
3、C
【分析】用科学记数法表示较大数的形式是 ，其中，n为正整数，只要确定a,n即可.
【详解】将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键.
4、B
【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．
【详解】解：Rt△ABC中，AB=2BC，
设BC=x，则AC=2x，
根据勾股定理可得，
x2+（2x）2=102，
解得x=或x=（负值舍去），
即小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了米，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．
5、B
【分析】由切线的性质可得△OPB是直角三角形，则PB2＝OP2﹣OB2，如图，又OB为定值，所以当OP最小时，PB最小，根据垂线段最短，知OP＝3时PB最小，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，
∴PB2＝OP2﹣OB2，
如图，∵OB＝2，
∴PB2＝OP2﹣4，即PB＝，
∴当OP最小时，PB最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PB的最小值为．
故选：B．

【点睛】
此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键．
6、C
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7、C
【解析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．
解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（-1，0），
故选C．
8、D
【解析】由一个基本图案可以通过旋转等方法变换出一些复合图案．
【详解】由图可得，如图所示的图案是由绕着一端旋转3次，每次旋转90°得到的，
故选：D．
【点睛】
此题考查旋转变换，解题关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
9、D
【分析】由,可知的度数,由圆周角定理可知,故能求出∠B .
【详解】
,
,
由圆周角定理可知(同弧所对的圆周角相等),
在三角形BDP中,
,
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的知识点,还考查了三角形内角和为的知识点,基础题不是很难.
10、C
【分析】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量+1月份的销售量×（1+增长率）+1月份的销售量×（1+增长率）2=第一季度的销售量，把相关数值代入求解即可．
【详解】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：64+64（1+x）+64（1+x）2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11、C
【解析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB，AB＝2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB＝2MN，∴△ABC∽△MNC，∴（）2＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．
12、D
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程得到，然后求出a即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则OA＝AB＝1，再根据三角形中位线性质得到MN＝AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值．
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝×1＝1，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN＝AC，
当AC为直径时，AC的值最大，
∴MN的最大值为1，
故答案为1．

【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
14、
【分析】根据x：y=3：1，则可设x=3a，y=a，即可计算x：（x-y）的值．
【详解】解：设x=3a，y=a，
则x：（x-y）=3a：(3a-a)=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比的性质，解题的关键是根据已有比例关系，设出x、y的值．
15、－
【解析】试题解析：由韦达定理可得：

故答案为：
点睛：一元二次方程根与系数的关系：

16、2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
17、x≤1
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
随增大而增大时，的取值范围是
故答案为
18、1
【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图AB＝1，∠AOB＝90°，且OA＝OB，
在中，根据勾股定理得，即
∴，

故答案为：1．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，在等腰直角三角形中灵活利用勾股定理求线段长度是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）等；（3）
【分析】（1）根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；
（2）根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；
（3）先证△OAC∽△OBD得，即，从而知，又，与反向可得出结果.
【详解】解：（1）根据作图知，线段CD就是所求的线段x，
故答案为：CD；
（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）；或三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.
（3），
∴△OAC∽△OBD，
.
，，
.得.
，，与反向，
.
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．
20、（1）；（2）或；（3）1.
【分析】（1）直接将已知点代入函数解析式求出即可；
（2）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）分别得出EO，AB的长，进而得出面积．
【详解】（1）∵二次函数与轴的交点为和
∴设二次函数的解析式为：
∵在抛物线上，
∴3=a(0+3)(0-1)，
解得a=-1，
所以解析式为：；
（2）=−x2−2x＋3，
∴二次函数的对称轴为直线；
∵点、是二次函数图象上的一对对称点；
∴；
∴使一次函数大于二次函数的的取值范围为或；

（3）设直线BD：y＝mx＋n，
代入B（1，0），D（−2，3）得，
解得：，
故直线BD的解析式为：y＝−x＋1，
把x＝0代入得，y=3，
所以E（0，1），
∴OE＝1，
又∵AB＝1，
∴S△ADE＝×1×3−×1×1＝1．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．
21、（1）每件衬衫应降价元；（2）商场平均每天盈利不能达到元．
【分析】（1）设每件衬衫应降价元，根据售价每降低元，那么该商场平均每天可多售出件，利用利润=单件利润×数量列方程求出x的值即可；
（2）假设每件衬衫应降价元，利润能达到2500元，根据题意可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的判别式即可得答案．
【详解】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出件
由题意得，
即
解得，
∵要尽快减少库存，
∴=，
答：若该商场计划平均每天盈利元，每件衬衫应降价元．
（2）假设每件衬衫应降价元，利润能达到2500元，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴商场平均每天盈利不能达到元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，正确得出降价和销售量的关系，然后以利润为等量关系列方程是解题关键．
22、（1）CE＝AF，见解析；（2）∠AED＝135°；（3），.
【解析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；
（3）由AB∥CD，得出，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到，求出DN、DF即可．
【详解】解：（1）CE＝AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝AD，∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE＝AF；
（2）设DE＝k，
∵DE：AE：CE＝1：：3
∴AE＝k，CE＝AF＝3k，
∴EF＝k，
∵AE2+EF2＝7k2+2k2＝9k2，AF2＝9k2，
即AE2+EF2＝AF2
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°
∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；
（3）∵M是AB的中点，
∴MA＝AB＝AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴，
在Rt△DAM中，AD＝4，AM＝2，
∴DM＝2，
∴DO＝，
∵OF＝，
∴DF＝，
∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴，即，
∴DN＝．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．
23、（1）证明见解析；（2）DE＝12cm．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
【详解】（1）平行四边形ABCD中，

又
；
（2）平行四边形ABCD中，

由题（1）得
，即
解得：.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键.
24、（1）；；（2）
【分析】（1）将A点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数的解析式即可求得答案；
（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式，再解方程组可求得点C的坐标，利用进行计算可求得结论.
【详解】解：（1）把代入得，解得；
把代入得，
正比例函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）直线向上平移的单位得到直线的解析式为，
当时，，则，
解方程组得或，
∵点在第一象限内，
点的坐标为；
连接，
.

【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，只要把这两个函数的关系式联立成方程组求解即可.
25、（1）C（0，1），图象详见解析；（1）
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标可知抛物线的解析式为y＝（x−1）（x−6），然后再进行整理即可；
（1）连结AQ交直线x＝4与点P，连结PB，先求得点Q的坐标，然后再依据轴对称的性质可知当点A、Q、P在一条直线上时，PQ＋PB有最小值
【详解】（1）∵点M（4，0），以点M为圆心、1为半径的圆与x轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（6，0），
∵抛物线y＝x1＋bx＋c过点A和B，
∴y＝（x−1）（x−6）
∴
∵当
∴C（0，1）
抛物线的大致图象如图下所示：

（1）如下图所示：连结AQ交直线x＝4与点P，连结PB．

∵A、B关于直线x＝4对称，
∴PA＝PB，
∴PB＋PQ＝AP＋PQ，
∴当点A、P、Q在一条直线上时，PQ＋PB有最小值．
∵Q（8，m）抛物线上，
∴m＝1．
∴Q（8，1）
∴
∴.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称−最短路径问题．
26、或.
【详解】解：如图所示，连接CD，

∵直线为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，
∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（—1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°,
在Rt△AOB中，，
即，
设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则
解得
∴直线l的函数解析式为，
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为.
故直线l的函数解析式为或.
【点睛】
这是一道圆与直角坐标系的综合题，求直线的解析式，通常用待定系数法（知道图象上两个点的坐标即可），题目已给出点A的坐标，再求出一个点即可，抓住点D是直线与⊙C的切点，由C点坐标为（1，0）及圆的性质易求点B的坐标为（0，），由点A和点B的坐标易求直线的解析式