初二上学期期末数学试题附解析(一)[001].doc

初二上学期期末数学试题附解析（一）
一、选择题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．科技不断发展，晶体管长度越造越短，长度只有0.000000006米的晶体管已经诞生，该数用科学记数法表示为（       ）米．
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（        ）
A． B． C． D．
4．若分式有意义，则x应该满足的条件是（       ）
A． B． C． D．
5．分析四个结论：①；②因式分解；③是完全平方式；④．其中正确的有（       ）
A．① B．③ C．②③④ D．①③④
6．分式可变形为（       ）
A． B． C． D．
7．如图，在和中，，，还需在添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
8．已知关于x的方程的解为，则k的值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD＝（　　）

A．20° B．30°
C．35° D．40°
10．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（       ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．当x的值是________时，分式的值为零．
12．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，5）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______．
13．已知，则的值是_____．
14．已知，则_________．
15．如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝CD，作DE⊥AB于点E，若，∠B＝76°，则∠ADE的度数为________°．

16．若关于x的二次三项式4x2+3mx+9是完全平方式，则m的值是 _____．
17．六边形的内角和为______．
18．如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．

三、解答题
19．（1）计算：（x+2y﹣2）（x﹣2y+2）；
（2）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2．
20．（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解方程：．
21．如图，△ABE≌△DCE，点A，C，B在一条直线上，∠AED和∠BEC相等吗？为什么？

22．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．

24．刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
刘峰：我查好地图了，你看看

李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟到科技馆那站停的车，我坐明天的车．
刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了．

李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上点从家出发，如顺利，咱俩同时到达．

24．我们知道整数除以整数（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：，所以.
类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：
①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算.
可用整式除法如图：

所以除以
商式为，余式为0
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1） .
（2），商式为 ，余式为 .
（3）若关于的多项式能被三项式整除，且均为整数，求满足以上条件的的值及商式.
26．已知△ABC是等边三角形，△ADE的顶点D在边BC上
（1）如图1，若AD＝DE，∠AED＝60°，求∠ACE的度数；
（2）如图2，若点D为BC的中点，AE＝AC，∠EAC＝90°，连CE，求证：CE＝2BF；
（3）如图3，若点D为BC的一动点，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，已知△ABC的面积为4，当点D在BC上运动时，△ABE的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变化请说明理由．

26．如图，中，，．

（1）如图1，，，求证：；
（2）如图2，，，请直接用几何语言写出、的位置关系____________；
（3）证明（2）中的结论．
【参考答案】
一、选择题
2．B
解析：B
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关于这条直线对称(轴对称)，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线就是对称轴．
3．D
解析：D
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a、n的值即可．
【详解】解：由题意知：0.000000006=，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】根据运算的法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意；       
B. ，选项错误，不符合题意；       
C. ，选项正确，符合题意；
D. ，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得x＋1≠0，解得：x≠－1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
6．B
解析：B
【分析】根据零指数幂的意义、平方差公式、完全平方公式以及添括号法则即可求出答案．
【详解】解：①当a=0时，不成立，故①不符合题意；
②因式分解：a2-b2=（a+b）（a-b），故②不符合题意；
③4b2+4b+1是完全平方式，故③符合题意；
④a+b+c=a-（-b-c），故④不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查零指数幂的意义、平方差公式、完全平方公式以及添括号法则，本题属于基础题型．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的基本性质进行恒等变形即可得到结论
【详解】解：根据分式的基本性质变形，并将分式的分子和分母同时乘以﹣1得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分子、分母同时乘以同一个不为0的数，分式的值不变是解答此题的关键．
8．D
解析：D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：，
，
即，
∵在与中，，，
若，则可依据证明，故A选项不符合题意；
若，则可依据证明，故B选项不符合题意；
若，则可依据证明，故C选项不符合题意；
若，则不能证明，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，， ，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】先化简方程，在解方程，得到含参数解，再利用求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴，
∵AC＝CD，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．
【详解】试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，

∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴PA平分∠BAC，∴①正确．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
12．-3
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可．
【详解】解：由题意得|x|-3=0，且2x-6≠0，
解得，x=±3，x≠3，
∴x=-3．
则x=-3时，分式 的值为零．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．A
解析：（-3，-5）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【详解】解：∵点A（-3，5）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为（-3，-5）．
故答案为：（-3，-5）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
14．2
【分析】根据分式的运算法则即可得．
【详解】解：可化为，
则，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式相加减；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
15．3
【分析】逆用同底数幂的除法公式即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查同底数幂的除法逆用，熟记同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键．
16．54
【分析】根据三角形内角和定理可得∠C=34°，根据等边对等角可得∠DAC=34°，根据角的差可得∠BAD=36°，进而利用互余解答即可．
【详解】解：∵∠BAC=70°，∠B=76°，
解析：54
【分析】根据三角形内角和定理可得∠C=34°，根据等边对等角可得∠DAC=34°，根据角的差可得∠BAD=36°，进而利用互余解答即可．
【详解】解：∵∠BAC=70°，∠B=76°，
∴∠C=180°-70°-76°=34°，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C=34°，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°-34°=36°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-36°=54°．
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解本题的关键是根据角的差可得∠BAD=36°．
17．±4##4或-4
【分析】根据完全平方公式的结构特征列式解答．
【详解】解：由题意得，
4x2+3mx+9=
或
故答案为：±4．
【点睛】本题考查完全平方公式，是基础考点，掌握相关
解析：±4##4或-4
【分析】根据完全平方公式的结构特征列式解答．
【详解】解：由题意得，
4x2+3mx+9=
或

故答案为：±4．
【点睛】本题考查完全平方公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18．##720度
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和（其中为多边形的边数，且为整数），把数据代入公式解答即可．
【详解】解：∵多边形是六边形，
∴，
∴
．
∴六边形的内角和
解析：##720度
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和（其中为多边形的边数，且为整数），把数据代入公式解答即可．
【详解】解：∵多边形是六边形，
∴，
∴

．
∴六边形的内角和为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
19．12cm或6cm##6cm或12cm
【分析】当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
解析：12cm或6cm##6cm或12cm
【分析】当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝6cm＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝12cm＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：12cm或6cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
三、解答题
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据整体思想把（2y-2）看作整体，然后再利用乘法公式进行求解；
（2）先提取公因式-3，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式=
=
解析：（1）；（2）
【分析】（1）根据整体思想把（2y-2）看作整体，然后再利用乘法公式进行求解；
（2）先提取公因式-3，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=．
【点睛】本题主要考查乘法公式及因式分解，熟练掌握乘法公式及因式分解是解题的关键．
21．（1），；（2）无解
【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，并将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简，最后将的值代入求解即可；
（2）分式方程两边同时乘以公分母，
解析：（1），；（2）无解
【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，并将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简，最后将的值代入求解即可；
（2）分式方程两边同时乘以公分母，将其转化为整式方程，进而解方程求解即可，最后注意检验．
【详解】解：（1）原式

，
当时，原式；
（2）方程两边同乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
22．相等．见解析
【分析】根据全等三角形的对应角相等进一步减去同一个角后即可证得结论．
【详解】解：相等；
理由：
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠DEC，
∴∠DEC-∠AEC=∠A
解析：相等．见解析
【分析】根据全等三角形的对应角相等进一步减去同一个角后即可证得结论．
【详解】解：相等；
理由：
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠DEC，
∴∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，
即：∠AED=∠BEC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大．
23．∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平
解析：∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】解：探索一：如图1，

∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，

∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，

由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，

延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，

延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，

由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
24．刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米
【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
【
解析：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米
【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴（千米/时），
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
25．（1）；（2），；（3）a= -3，b=7，商式为（2x-1）.
【分析】（1）模仿例题，可用竖式计算；
（2）模仿例题，可用竖式计算；
（3）设商式为（x+m），则有=（2x+m）（）=2x
解析：（1）；（2），；（3）a= -3，b=7，商式为（2x-1）.
【分析】（1）模仿例题，可用竖式计算；
（2）模仿例题，可用竖式计算；
（3）设商式为（x+m），则有=（2x+m）（）=2x3+（m-2）x2+（6-m）x+3m，根据对应项系数相等即可解决问题．
【详解】（1） .

∴.
（2），

∴，商式为，余式为.
（3）设商式为（2x+m），
则有=（2x+m）（）=2x3+（m-2）x2+（6-m）x+3m，
∴-3=3m，
∴m=-1，
∴a=m-2=-1-2=-3，b=6-m=6-（-1）=7，商式为（2x-1），
【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是理解被除式=除式×商式+余式，学会模仿解题．
26．（1）60°；（2）见解析；（3）不变，
【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；
（2）由题意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CF
解析：（1）60°；（2）见解析；（3）不变，
【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；
（2）由题意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=90°，利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半，即可得证；
（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，先证明△ADF是等边三角形，然后证明△EGF≌△EHA，结合HG是定值，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，
∵AD＝DE，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴，
即，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=60°；
（2）连CF，如图：

∵AB=AC=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BAC=60°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=150°，
∴∠AEB=∠ABE=15°；
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°，
∴∠BEC=30°，∠EBC=45°，
∵AD垂直平分BC，点F在AD上，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠EBC=45°，
∴∠CFE=90°，
在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，
∴CE=2CF=2BF；
（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，如图：

∵∠AED＝90°，EF=AE，
∴DE是中线，也是高，
∴△ADF是等腰三角形，
∵∠ADE＝30°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADF是等边三角形；
由（1）同理可求∠ACF=∠ABC=60°，
∴∠ACF=∠BAC=60°，
∴CF∥AB，
过E作EG⊥CF于G，延长GE交BA的延长线于点H，
易证△EGF≌△EHA，
∴EH=EG=HG，
∵HG是两平行线之间的距离，是定值，
∴S△ABE＝S△ABC＝；
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
27．（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由于要得出、的位置关系，结
解析：（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由于要得出、的位置关系，结合图形可猜想：⊥；
（3）如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，先证明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后证明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，进一步即可推出∠4+∠2=90°，问题得证．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∵，
∴∠DAC+∠BAE=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△DAC和△EBA中，
∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，
∴（AAS）；
（2）结合图形可得：⊥；
故答案为：⊥；
（3）证明：如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，
∵AF=CE，
∴AE=CF，
∵，
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠FCP=90°，
∴△BAE≌△FCP，
∴∠3=∠P，AB=CP，

∵，，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠PCP=90°，AB=CP，
∴∠FCD=45°，AC=PC，
∴∠ACB=∠PCD，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△PCD，
∴∠4=∠P，
∵∠3=∠P，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠4+∠2=90°，
∴∠AGE=90°，即⊥．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．