初二数学上学期压轴题检测试卷含解析(一).doc
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初二数学上学期压轴题检测试卷含解析(一) 1.如图1,在平面直角坐标系中,AO=AB,∠BAO=90°,BO=8cm,动点D从原点O出发沿x轴正方向以acm/s的速度运动,动点E也同时从原点O出发在y轴上以bcm/s的速度运动,且a,b满足关系式a2+b2﹣4a﹣2b+5=0,连接OD,OE,设运动的时间为t秒. (1)求a,b的值; (2)当t为何值时,△BAD≌△OAE; (3)如图2,在第一象限存在点P,使∠AOP=30°,∠APO=15°,求∠ABP. 2.在平面直角坐标系中,,点在第一象限,, (1)如图,求点的坐标. (2)如图,作的角平分线,交于点,过点作于点,求证: (3)若点在第二象限,且为等腰直角三角形,请直接写出所有满足条件的点的坐标. 3.在平面直角坐标系中,直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A(–a,0)、点 B(0, b),且 a、b 满足a2+b2–4a–8b+20=0,点 P 在直线 AB 的右侧,且∠APB=45°. (1)a= ;b= . (2)若点 P 在 x 轴上,请在图中画出图形(BP 为虚线),并写出点 P 的坐标; (3)若点 P 不在 x 轴上,是否存在点P,使△ABP 为直角三角形?若存在,请求出此时P的坐标;若不存在,请说明理由. 4.请按照研究问题的步骤依次完成任务. 【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”, 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D. 【简单应用】 (2)如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数(可直接使用问题(1)中的结论) 【问题探究】 (3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, 若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为 ; 【拓展延伸】 (4)在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 (用x、y表示∠P) ; (5)在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、D的关系,直接写出结论 . 5.阅读理解题: 定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似. 例如:计算:(2﹣i)+(5+3i)=(2+5)+(﹣1+3)i=7+2i; (1+i)×(2﹣i)=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+(﹣1+2)i+1=3+i; 根据以上信息,完成下列问题: (1)填空:i3= ,i4= ,i+i2+i3+…+i2021= ; (2)计算:(1+i)×(3﹣4i)﹣(﹣2+3i)(﹣2﹣3i); (3)已知a+bi=(a,b为实数),求的最小值. 6.在中,,点在边上,且是射线上一动点(不与点重合,且),在射线上截取,连接. 当点在线段上时, ①若点与点重合时,请说明线段; ②如图2,若点不与点重合,请说明; 当点在线段的延长线上时,用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明). 7.如图,在△ABC中,点D为直线BC上一动点,∠DAE=90°,AD=AE. (1)如果∠BAC=90°,AB=AC. ①如图1,当点D在线段BC上时,线段CE与BD的位置关系为__________,数量关系为__________; ②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由; (2)如图3,若△ABC是锐角三角形,∠ACB=45°,当点D在线段BC上运动时,证明:CE⊥BD. 8.若整式A只含有字母x,且A的次数不超过3次,令,其中a,b,c,d为整数,在平面直角坐标系中,我们定义:M为整式A的关联点,我们规定次数超过3次的整式没有关联点.例如,若整式,则a=0,b=2,c=-5,d=4,故A的关联点为(-5,-11). (1)若,试求出A的关联点坐标; (2)若整式B是只含有字母x的整式,整式C是B与的乘积,若整式C的关联点为(6,15),求整式B的表达式. (3)若整式D=x-2,整式E是只含有字母x的一次多项式,整式F是整式D与整式E的平方的乘积,若整式F的关联点为(-32,0),请直接写出整式E的表达式. 【参考答案】 2.(1)a=2,b=1;(2)t=或t=8;(3)∠ABP=105°. 【分析】(1)将a2+b2﹣4a﹣2b+5=0用配方法得出(a﹣2)2+(b﹣1)2=0,利用非负数的性质,即可得出结论; 解析:(1)a=2,b=1;(2)t=或t=8;(3)∠ABP=105°. 【分析】(1)将a2+b2﹣4a﹣2b+5=0用配方法得出(a﹣2)2+(b﹣1)2=0,利用非负数的性质,即可得出结论; (2)先由运动得出BD=|8﹣2t|,再由全等三角形的性质的出货BD=OE,建立方程求解即可得出结论. (3)先判断出△OAP≌△BAQ(SAS),得出OP=BQ,∠ABQ=∠AOP=30°,∠AQB=∠APO=15°,再求出∠OAP=135°,进而判断出△OAQ≌△BAQ(SAS),得出∠OQA=∠BQA=15°,OQ=BQ,再判断出△OPQ是等边三角形,得出∠OQP=60°,进而求出∠BQP=30°,再求出∠PBQ=75°,即可得出结论. 【详解】解:(1)∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0, ∴(a﹣2)2+(b﹣1)2=0, ∴a﹣2=0,b﹣1=0, ∴a=2,b=1; (2)由(1)知,a=2,b=1, 由运动知,OD=2t,OE=t, ∵OB=8, ∴DB=|8﹣2t| ∵△BAD≌△OAE, ∵DB=OE, ∴|8﹣2t|=t, 解得,t=(如图1)或t=8(如图2); (3)如图3, 过点A作AQ⊥AP,使AQ=AP,连接OQ,BQ,PQ, 则∠APQ=45°,∠PAQ=90°, ∵∠OAB=90°, ∴∠PAQ=∠OAB, ∴∠OAB+∠BAP=∠PAQ+∠BAP, 即:∠OAP=∠BAQ, ∵OA=AB,AD=AD, ∴△OAP≌△BAQ(SAS), ∴OP=BQ,∠ABQ=∠AOP=30°,∠AQB=∠APO=15°, 在△AOP中,∠AOP=30°,∠APO=15°, ∴∠OAP=180°﹣∠AOP﹣∠APO=135°, ∴∠OAQ=360°﹣∠OAP﹣∠PAQ=135°﹣90°=135°=∠OAP, ∵OA=AB,AD=AD, ∴△OAQ≌△BAQ(SAS), ∴∠OQA=∠BQA=15°,OQ=BQ, ∵OP=BQ, ∴OQ=OP, ∵∠APQ=45°,∠APO=15°, ∴∠OPQ=∠APO+∠APQ=60°, ∴△OPQ是等边三角形, ∴∠OQP=60°, ∴∠BQP=∠OQP﹣∠OQA﹣∠BQA=60°﹣15°﹣15°=30°, ∵BQ=PQ, ∴∠PBQ=(180°﹣∠BQP)=75°, ∴∠ABP=∠ABQ+∠PBQ=30°+75°=105°. 【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质,构造出全等三角形是解题的关键. 3.(1)C;(2)见解析;(3)或或 【分析】(1)作垂足为,证明,求出CM和OM的长,即可得到点C坐标; (2)延长相交于点,先证明,得BD=CF,再证明,得CE=EF,即可证明结论; (3) 解析:(1)C;(2)见解析;(3)或或 【分析】(1)作垂足为,证明,求出CM和OM的长,即可得到点C坐标; (2)延长相交于点,先证明,得BD=CF,再证明,得CE=EF,即可证明结论; (3)分情况讨论,画出对应的等腰直角三角形的图象,做辅助线构造全等三角形,求出点P坐标. 【详解】解:如图中,作垂足为, , ,, 在和中, , 点坐标; 如图,延长相交于点, , 在和中, , , , 在和中, , , ; (3)①如图,,,过点P作轴于点D, 在和中, , ∴, ∴,, ∴, ∴; ②如图,,,过点P作轴于点D, 在和中, , ∴, ∴,, ∴, ∴; ③如图,,,过点P作轴于点E,过点A作于点D, ∵,, ∴, 在和中, , ∴, 设,, ∵,, ∴,解得, ∴,, ∴; 综上:点P的坐标是或或. 【点睛】本题考查坐标和几何综合题,解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形的方法,利用全等三角形的性质求解点坐标,掌握数形结合的思想. 4.(1)2,4;(2)见解析,(4,0);(3)P(4,2)或(2,﹣2). 【分析】(1)将已知等式变形,利用乘方的非负性即可求出a值; (2)根据题意画出图形,由(1)得出OB的长,结合∠AP 解析:(1)2,4;(2)见解析,(4,0);(3)P(4,2)或(2,﹣2). 【分析】(1)将已知等式变形,利用乘方的非负性即可求出a值; (2)根据题意画出图形,由(1)得出OB的长,结合∠APB=45°,得出OP=OB,可得点B的坐标; (3)分当∠ABP=90°时和当∠BAP=90°时两种情况进行讨论,结合全等三角形的判定和性质即可求出点P坐标. 【详解】解:(1)∵a2+b2–4a–8b+20=0, ∴( a2–4a+4)+(b2–8b+16)=0, ∴( a–2)2+(b–4) 2=0 ∴a=2,b=4, 故答案为:2,4; (2)如图 1,由(1)知,b=4, ∴B(0,4), ∴OB=4, 点 P 在直线 AB 的右侧,且在 x 轴上, ∵∠APB=45°, ∴OP=OB=4, ∴P(4,0), 故答案为:(4,0); (3)存在.理由如下: 由(1)知 a=﹣2,b=4, ∴A(﹣2,0),B(0,4), ∴OA=2,OB=4, ∵△ABP 是直角三角形,且∠APB=45°, ∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°, Ⅰ、如图 2,当∠ABP=90°时, ∵∠APB=∠BAP=45°, ∴AB=PB , 过点 P 作 PC⊥OB 于 C, ∴∠BPC+∠CBP=90°, ∵∠CBP+∠ABO=90 °, ∴∠ABO=∠BPC, 在△AOB 和△BCP 中, , ∴△AOB≌△BCP(AAS), ∴PC=OB=4,BC=OA=2, ∴OC=OB﹣BC=2, ∴P(4,2),Ⅱ、如图3,当∠BAP=90°时, 过点 P'作 P'D⊥OA 于 D, 同Ⅰ的方法得,△ADP'≌△BOA, ∴DP'=OA=2,AD=OB=4, ∴OD=AD﹣OA=2, ∴P'(2,﹣2); 即:满足条件的点 P(4,2)或(2,﹣2); 【点睛】本题考查了非负数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,难度不大,解题的关键是要根据直角三角形的性质进行分类讨论. 5.(1)见解析;(2)∠P=23º;(3)∠P=26º;(4)∠P=;(5)∠P=. 【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明; (2)如图2,根据角平分线的性质得到∠1=∠2,∠3=∠4,列方 解析:(1)见解析;(2)∠P=23º;(3)∠P=26º;(4)∠P=;(5)∠P=. 【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明; (2)如图2,根据角平分线的性质得到∠1=∠2,∠3=∠4,列方程组即可得到结论; (3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,推出∠1=∠2,∠3=∠4,推出∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3,由∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3),∠P+∠1=∠B+∠4,推出2∠P=∠B+∠D,即可解决问题; (4)根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC,再结合∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,得到y+(∠CAB-∠CAB)=∠P+(∠BDC-∠CDB),从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=; (5)根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,∠DAP+∠P=∠PCD+∠D,再结合AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,得到∠BAD+∠P=[∠BCD+(180°-∠BCD)]+∠D,所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D=. 【详解】解:(1)证明:在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°, 在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD, ∴∠A+∠B=∠C+∠D; (2)解:如图2,∵AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, 由(1)的结论得:, ①+②,得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D, ∴∠P=(∠B+∠D)=23°; (3)解:如图3, ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3, ∵∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3), ∠P+∠1=∠B+∠4, ∴2∠P=∠B+∠D, ∴∠P=(∠B+∠D)=×(36°+16°)=26°; 故答案为:26°; (4)由题意可得:∠B+∠CAB=∠C+∠BDC, 即y+∠CAB=x+∠BDC,即∠CAB-∠BDC=x-y, ∠B+∠BAP=∠P+∠PDB, 即y+∠BAP=∠P+∠PDB, 即y+(∠CAB-∠CAP)=∠P+(∠BDC-∠CDP), 即y+(∠CAB-∠CAB)=∠P+(∠BDC-∠CDB), ∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB = y+(∠CAB-∠CDB) =y+(x-y) = 故答案为:∠P=; (5)由题意可得:∠B+∠BAD=∠D+∠BCD, ∠DAP+∠P=∠PCD+∠D, ∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD, ∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, ∴∠BAP=∠DAP,∠PCE=∠PCB, ∴∠BAD+∠P=(∠BCD+∠BCE)+∠D, ∴∠BAD+∠P=[∠BCD+(180°-∠BCD)]+∠D, ∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D =90°+(∠BCD-∠BAD)+∠D =90°+(∠B-∠D)+∠D =, 故答案为:∠P=. 【点睛】本题考查三角形内角和,三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识,解题的关键是学会用方程组的思想思考问题,属于中考常考题型. 6.(1)﹣i,1,;(2)﹣i﹣6;(3)的最小值为25. 【分析】(1)根据题目所给条件可得i3=i2•i,i4=i2•i2计算即可得出答案; (2)根据多项式乘法法则进行计算,及题目所给已知条 解析:(1)﹣i,1,;(2)﹣i﹣6;(3)的最小值为25. 【分析】(1)根据题目所给条件可得i3=i2•i,i4=i2•i2计算即可得出答案; (2)根据多项式乘法法则进行计算,及题目所给已知条件即可得出答案; (3)根据题目已知条件,a+bi=4+3i,求出a、b,即可得出答案. 【详解】(1)i3=i2•i=﹣1×i=﹣i, i4=i2•i2=﹣1×(﹣1)=1, 设S=i+i2+i3+…+i2021, iS=i2+i3+…+i2021+i2022, ∴(1﹣i)S=i﹣i2022, ∴S=, 故答案为﹣i,1,; (2)(1+i)×(3﹣4i)﹣(﹣2+3i)(﹣2﹣3i) =3﹣4i+3i﹣4i2﹣(4﹣9i2) =3﹣i+4﹣4﹣9 =﹣i﹣6; (3)a+bi====4+3i, ∴a=4,b=3, ∴=, ∴的最小值可以看作点(x,0)到点A(0,4),B(24,3)的最小距离, ∵点A(0,4)关于x轴对称的点为A'(0,﹣4),连接A'B即为最短距离, ∴A'B==25, ∴的最小值为25. 【点睛】此题考查了实数的运算,以及规律型:数字的变化类,弄清题中的新定义是解本题的关键. 7.(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD 【分析】(1)①根据等边对等角,求到,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得 解析:(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD 【分析】(1)①根据等边对等角,求到,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到,推出,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A做AG∥EF交BC于点G,由△DEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE=GF,根据线段的和差即可整理出结论; (2)根据题意画出图形,作出AG,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论. 【详解】(1)①证明: ,且E与A重合, 是等边三角形 在和中 ②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G, ∵∠ADB=60° DE=DF ∴△DEF为等边三角形 ∵AG∥EF ∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60° ∴∠DAG=∠AGD ∴DA=DG ∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF 由①易证△AGB≌△ADC ∴BG=CD ∴BF=BG+GF=CD+AE (2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G, 由(1)可知,AE=GF,DC=BG, 故. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 8.(1)①CE⊥BD;CE=BD;②结论仍成立,理由见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角 解析:(1)①CE⊥BD;CE=BD;②结论仍成立,理由见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系; ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立; (2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论. (1) ①∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 又 BA=CA,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ACE=∠B=45°,CE=BD. ∵∠ACB=∠B=45°, ∴∠ECB=45°+45°=90°, 即 CE⊥BD. 故答案为:CE⊥BD;CE=BD. ②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立. ∵∠DAE=90°,∠BAC=90°, ∴∠DAE=∠BAC, ∴∠DAB=∠EAC, 又AB=AC,AD=AE, ∴△DAB≌△EAC(SAS), ∴CE=BD,∠ACE=∠ABD. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACE=45°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, 即 CE⊥BD; (2) 证明:过点A作AG⊥AC交BC于点G, ∵∠ACB=45°, ∴∠AGC=45°, ∴AC=AG, 即△ACG是等腰直角三角形, ∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC, ∴∠GAD=∠CAE, 又∵DA=EA, ∴△GAD≌△CAE(SAS), ∴∠ACE=∠AGD=45°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, 即CE⊥BD. 【点睛】此题为三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等,对应角相等进行求解. 9.(1) (2) (3)或 【分析】(1)根据整式得出,,,,根据关联点的定义得出,,即可得出的关联点坐标; (2)根据题意得出中的次数为次,设 ,计算出,进而表达出,,,的值,再根据的关 解析:(1) (2) (3)或 【分析】(1)根据整式得出,,,,根据关联点的定义得出,,即可得出的关联点坐标; (2)根据题意得出中的次数为次,设 ,计算出,进而表达出,,,的值,再根据的关联点为,列出关于 , 的等式,解出、的值即可; (3)设,根据题意求出,进而表达出,,,的值,再根据的关联点为,列出关于,的等式,解出、的值即可. (1) 解:(1), ,,,, ,, 的关联点坐标为:, 故笞案为:; (2) 整式是只含有字母的整式,整式是与的乘积, 是二次多项式,且的次数不能超过次, 中的次数为次, 设 , , ,,,, 整式的关联点为, ,, 解得:,, ; (3) 根据题意:设, , ,,,, 整式 的关联点为, ,, ,, , 把代入得: , 解得: , 或, 或. 【点睛】本题主要考查整式的乘法,掌握整式的乘法是解决问题的关键.- 配套讲稿:
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