2016届高考数学第二轮知识点强化练习题25.doc

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第一部分　一　6

一、选择题
1．(2015·河南八市质检)已知sin－cos α＝，则2sin αcos＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　B
[解析]　2sin αcos＝2sin α
＝sin 2α－＝sin－，
又由于sin－cos α＝sin α＋cos α－cos α
＝sin α－cos α＝sin＝，
又sin＝cos＝cos
＝1－2sin2＝1－＝，
所以2sinαcos＝－＝.
[方法点拨]　1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sinα、cosα、tanα中的一个值求其他值时，直接运用同角关系公式求解，能用诱导公式化简的先化简．
2．已知tanα求sinα与cosα的齐次式的值时，将分子分母同除以cosnα化“切”代入，所求式为整式时，视分母为1，用1＝sin2α＋cos2α代换．
3．sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ知一求其他值时，利用关系(sinθ±cosθ)2＝1±2cosθcosθ.要特别注意利用平方关系巧解题．已知某三角函数式的值，求另一三角函数式的值时，关键是分析找出两三角函数式的联系恰当化简变形，再代入计算．
2．(文)(2015·洛阳市期末)已知角α的终边经过点A(－，a)，若点A在抛物线y＝－x2的准线上，则sin α＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　D
[解析]　由已知得抛物线的准线方程为y＝1，故A(－，1)，所以sinα＝.
(理)(2015·山东理，3)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[答案]　B
[解析]　因为y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]所以要得到y＝sin[4(x－)]的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．故选B.
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，则只要将f(x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[答案]　B
[解析]　由题知，函数f(x)的周期
T＝4(－)＝，
所以＝，
解得ω＝3，易知A＝1，
所以f(x)＝sin(3x＋φ)．
又f(x)＝sin(3x＋φ)过点(，－1)，
所以sin(3×＋φ)＝－1，
所以3×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，
所以φ＝，
所以f(x)＝sin(3x＋)＝sin[3(x＋)]，
所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)＝sin3x的图象，故选B.
[方法点拨]　1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时，用待定系数法求解．由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由图象上特殊点的坐标来确定φ，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．
2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左(或右)平移m个单位时，用x＋m(或x－m)代替x，向下(或上)平移n个单位时，用y＋n(或y－n)代替y，横(或纵)坐标伸长或缩短到原来的k倍，用代替x(或代替y)，即可获解．
4．(文)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　C
[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关系．
将sinα＋2cosα＝两边平方可得，
sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，
∴4sinαcosα＋3cos2α＝.
将左边分子分母同除以cos2α得，
＝，解得tanα＝3或tanα＝－，
∴tan2α＝＝－.
(理)(2015·唐山市一模)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝(　　)
A．－ B.
C．－或0 D.或0
[答案]　D
[解析]　∵，∴或
∴tan2α＝0或tan2α＝.
5．(2015·安徽理，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)＜f(－2)＜f(0)
B．f(0)＜f(2)＜f(－2)
C．f(－2)＜f(0)＜f(2)
D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
[答案]　A
[解析]　考查三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．
解法1：由题意， f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0)，T＝＝＝π，所以ω＝2，则f(x)＝Asin(2x＋φ)，而当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(2x＋)(A>0)，则当2x＋＝＋2nπ，n∈Z，即x＝＋nπ，时，n∈Z，f(x)取得最大值．要比较f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判断2，－2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与比较近，－2与－比较近，所以，当k＝0时，x＝，此时|0－|＝0.52，|2－|＝1.47，当k＝－1时，x＝－，此时|－2－(－)|＝0.6，所以f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.
解法2：∵f(x)的最小正周期为π，且在x＝时f(x)取最小值，∴在x＝－＝时取到最大值f(－2)＝f(－2＋π)，∵f(x)在[，]上单调递减，∴f(π－2)>f(2)，即f(－2)>f(2)，又π－2－>－0，f(x)图象的一条对称轴方程为x＝，∴f(π－2)<f(0)，即f(－2)<f(0)，
∴f(2)<f(－2)<f(0)．
6．(文)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A．(，1) B．(，0)
C．(，0) D．(－，0)
[答案]　B
[解析]　由题意知T＝π，∴ω＝2，
由函数图象关于直线x＝对称，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝Asin(2x－)，
令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋π(k∈Z)．
∴一个对称中心为(，0)，故选B.
(理)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是(　　)
A．f(x)既是偶函数又是周期函数
B．f(x)最大值是1
C．f(x)的图象关于点(，0)对称
D．f(x)的图象关于直线x＝π对称
[答案]　B
[解析]　f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一个周期，故A选项正确．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx则t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1
令g′(t)＝0，则t＝±，易知f(x)在区间[－1，－)上单调递减，在(－，)上单调递增，在(，1]上单调递减，g(－1)＝0，g()＝，∴g(t)max＝≠1，故B项错误．
7．(文)给出下列四个命题：
①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；
②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；
③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；
④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋(k∈Z)，
即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；
②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，
函数的最大值为2，正确；
③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；
④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．
(理)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(＋t)＝f(－t)，且f()＝－3，则实数m的值等于(　　)
A．－1 B．±5
C．－5或－1 D．5或1
[答案]　C
[解析]　依题意得，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，于是x＝时，函数f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，选C.
8．(文)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
[答案]　B
[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.
(理)(2014·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
[答案]　C
[解析]　本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．
解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，
所以＝＝＝tanα.
解法2：∵tanα＝＝，
∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，
∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
9．(2015·石家庄市二模)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　A
[解析]　由于角α的终边经过点P(sin，cos)，即P(cos，sin)，
∴α＝2kπ＋，k∈Z.
∴sin(2α－)＝sin(4kπ＋－)
＝sin＝，故选A.
10．(文)(2015·河南六市联考) 函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，则该函数图象的一条对称轴为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
[答案]　C
[解析]　∵y＝cos(ωx＋φ)为奇函数，
∴其图象过原点，∴cosφ＝0，
∵0<φ<π，∴φ＝，
∴y＝cos(ωx＋)＝－sinωx，设周期为T，则由条件知()2＋[1－(－1)]2＝(2)2，
∴T＝4.
∴ω＝＝，
∴函数为y＝－sin(x)．
令x＝kπ＋(k∈Z)得x＝2k＋1，∴x＝1为其一条对称轴．
(理)(2015·陕西理，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5 B．6
C．8 D．10
[答案]　C
[解析]　由图象知，最小值为2，∴－3＋k＝2，∴k＝5，
∴最大值为3＋k＝8.故选C.
二、填空题
11．(2015·葫芦岛市一模)已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R则f(x)在闭区间上的最大值和最小值分别为________．
[答案]　、－
[解析]　f(x)＝sinxcosx＋cos2x－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin，当x∈时，2x－∈，
∴sin∈.
∴f(x)∈.
12．(文)(2014·陕西文，13)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查向量垂直、向量坐标运算等．
∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.
又0<θ<，∴cosθ≠0，
∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.
(理)如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sinx＋cosx；
②f(x)＝(sinx＋cosx)；
③f(x)＝sinx；
④f(x)＝sinx＋.
其中为“互为生成”函数的是________(填序号)．
[答案]　①④
[解析]　首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sinx＋的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．
三、解答题
13．(文)(2014·甘肃三诊)已知f(x)＝sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.
(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值；
(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
[解析]　∵f(x)＝sin(ωx)－2·
＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，
由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.
(1)由≤x≤得≤x＋≤，
∴当sin(x＋)＝时，f(x)min＝2×－1＝－1.
(2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得
sin(C＋)＝1，
而≤C＋≤， 所以C＋＝，解得C＝.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝，
2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，
∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝.
∵0<sinA<1，∴sinA＝.
(理)已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
[解析]　(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x
＝(sin4x＋cos4x)
＝sin(4x＋)
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.
因为α∈(，π)，
所以4α＋∈(，)，
所以4α＋＝，故α＝.
14．已知函数f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
[解析]　(1)∵f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＋1
＝sin(2x＋)－cos(2x＋)
＝[sin(2x＋)·cos－cos(2x＋)·sin]
＝sin[(2x＋)－]
＝sin(2x＋)．
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)可知f(x)＝sin(2x＋)．
当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数f(x)＝sin(2x＋)是增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
[方法点拨]　1.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．
2．求三角函数的最值的方法：
(1)化为正弦(余弦)型函数
y＝asinωx＋bcosωx型引入辅助角化为一角一函．
(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数．
15．设函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m(x∈R)．
(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[，]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)假设存在实数m，符合题意．
∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤，
则sin(2x＋)∈[－，1]，
∴f(x)＝2sin(2x＋)＋m＋1∈[m,3＋m]．
又∵f(x)的值域为[，]，解得m＝.
∴存在实数m＝，使函数f(x)的值域恰为[，]．
[方法点拨]　1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．
2．讨论三角函数的性质(求单调区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论．
3．三角变换的基本策略：(1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆．
16．(文)(2015·广东文，16)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
[分析]　考查：1.两角和的正切公式；2.特殊角的三角函数值；3.二倍角的正、余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．
(1)由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan的值；(2)先利用二倍角的正、余弦公式变形，然后化切求解．
[解析]　(1) tan＝
＝＝＝－3，
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
(理)(2015·福建文，21)已知函数f(x)＝10sin cos ＋10cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.
(ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(ⅱ)证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.
[解析]　(1)因为f(x)＝10sincos＋10cos2
＝5sin x＋5cos x＋5
＝10sin＋5.
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)(i)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．
又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.
所以g(x)＝10sin x－8.
(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8>0，即sin x0>.
由<知，存在0<α0<，使得sin α0＝.
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x>.
因为y＝sin x的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x>.
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>>1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk>.
即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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