一维双原子链.ppt
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1、5.1.3一维双原子链,光学支 实际应用的晶体材料大多是复式晶格,由于原子的多实际应用的晶体材料大多是复式晶格,由于原子的多样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子振动的多样性,因此这种多样性应该会在晶格振动中表现振动的多样性,因此这种多样性应该会在晶格振动中表现出来,从而使得复式晶格振动的规律和特征与出来,从而使得复式晶格振动的规律和特征与Bravais晶晶格存在重大差别。所以,有必要进一步研究复式晶格中的格存在重大差别。所以,有必要进一步研究复式晶格中的晶格振动,以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征。晶格振动,以便揭示出晶格振动的普
2、遍规律和特征。下面,仍以一维为例,来进一步研究最简单的双原子下面,仍以一维为例,来进一步研究最简单的双原子复式晶格的振动。复式晶格的振动。1.运动方程与格波运动方程与格波 一维双原子复式晶格:一维双原子复式晶格:个由相距为个由相距为d d、质量分别为、质量分别为1 1和和2 2的两的两个原子所组成的基元以个原子所组成的基元以a a的间距周期性地排列在一条长为的间距周期性地排列在一条长为L=NaL=Na的直的直线段上线段上 作为初步研究的起点,采用作为初步研究的起点,采用相邻作用近似相邻作用近似和和简谐近似简谐近似,将一维,将一维双原子复式晶格中的原子双原子复式晶格中的原子简化为用原长分别为简化
3、为用原长分别为d和和a-d、弹性系数分、弹性系数分别为别为 、数目各、数目各N个的两个的两种小球相间地逐个串结成直线段种小球相间地逐个串结成直线段,如下图所示,如下图所示的两种弹簧把质量分别为的两种弹簧把质量分别为第第n个初基元胞个初基元胞 平衡位置为平衡位置为t时刻偏离平衡位置的位移为时刻偏离平衡位置的位移为 所受力为所受力为 平衡位置为平衡位置为所受力为所受力为 t时刻偏离平衡位置的位移为时刻偏离平衡位置的位移为 运用运用Newton第二定律,可得在相邻作用近似和简谐近似下一维第二定律,可得在相邻作用近似和简谐近似下一维双原子复式晶格的双原子复式晶格的晶格振动方程晶格振动方程 一维双原子复
4、式晶格所具有的一维双原子复式晶格所具有的平移对称性平移对称性,使得晶体中使得晶体中一个原子一个原子的振动位移与平衡位置相距为的振动位移与平衡位置相距为na的其它等同原子的振动位移以一系的其它等同原子的振动位移以一系列特定的用简约波矢来标记的可能相位因子彼此关联列特定的用简约波矢来标记的可能相位因子彼此关联:若一维双原子复式晶格中第若一维双原子复式晶格中第n个初基元胞内平衡位置为个初基元胞内平衡位置为 的原子的振动位移与其它等同原子的振动位移以一个用特定波矢的原子的振动位移与其它等同原子的振动位移以一个用特定波矢 标记的确定相位因子相关联,则将其振动位移函数表示成标记的确定相位因子相关联,则将其
5、振动位移函数表示成 于是有:于是有:代入晶格振动方程代入晶格振动方程,可得,可得为了解为了解 得得可设可设 即即 于是得到于是得到 可转化为可转化为一个二阶常微分方程一个二阶常微分方程和和一个齐次代数方程组一个齐次代数方程组先求解齐次代数方程组:先求解齐次代数方程组:必有非零解,故系数行列式应为零必有非零解,故系数行列式应为零 由此可得由此可得和和表明:表明:相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相互作用的两种不同情况互作用的两种不同情况,晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散,晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散关系关系。代入齐次
6、代数方程组,代入齐次代数方程组,表明:表明:原子的振动可以有任意的复振幅,但同一初基元胞中两种原原子的振动可以有任意的复振幅,但同一初基元胞中两种原子的复振幅比值是确定的,即振幅比和相位差是确定的子的复振幅比值是确定的,即振幅比和相位差是确定的。可得可得代入二阶常微分方程代入二阶常微分方程,若简谐振动采用复指数函数的形式则得若简谐振动采用复指数函数的形式则得 因此,一维双原子复式晶格中相应于波矢因此,一维双原子复式晶格中相应于波矢 的原子振动位移函数为的原子振动位移函数为 表明:表明:一维双原子复式晶格中共同参与一个频率为一维双原子复式晶格中共同参与一个频率为 的简正的简正振动的所有等价原子,
7、由于晶体所具有的平移对称性,使得他们的振动的所有等价原子,由于晶体所具有的平移对称性,使得他们的简谐振动彼此以波矢为简谐振动彼此以波矢为、频率为、频率为 的平面简谐波相关联。的平面简谐波相关联。这个平面简谐波,就是一维双原子复式晶格振动的一个这个平面简谐波,就是一维双原子复式晶格振动的一个格波格波。2.声学支格波和光学支格波声学支格波和光学支格波由于存在着两种不同的原子和两种由于存在着两种不同的原子和两种不同的原子之间相互作用,一维双不同的原子之间相互作用,一维双原子复式晶格振动呈现出两种不同原子复式晶格振动呈现出两种不同的色散关系的色散关系 与一维与一维Bravais 晶格振动不同的是,晶格
8、振动不同的是,格波的频率或者说原子做简正振动的频率局限在两个频率范围内格波的频率或者说原子做简正振动的频率局限在两个频率范围内或或 表明:一维双原子复式晶格有一种表明:一维双原子复式晶格有一种带通滤波带通滤波的作用,频率不在这两的作用,频率不在这两个频率范围内的机械波将剧烈衰减很快消失,只有频率在这两个频个频率范围内的机械波将剧烈衰减很快消失,只有频率在这两个频率范围内的机械波才能通过晶体传播。率范围内的机械波才能通过晶体传播。相应于两种不同的色散关系,一维双原子复式晶格中分成了两支不相应于两种不同的色散关系,一维双原子复式晶格中分成了两支不同的格波,每支格波由同的格波,每支格波由N个波矢(指
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