山东省青岛大学附属中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
A．
B．
C．
D．
2．用一块长40cm，宽28cm的矩形铁皮，在四个角截去四个全等的正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若折成的长方体的底面积为，设小正方形的边长为xcm，则列方程得（　　）
A．（20﹣x）（14﹣x）＝360 B．（40﹣2x）（28﹣2x）＝360
C．40×28﹣4x2＝360 D．（40﹣x）（28﹣x）＝360
3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是( )

A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
5．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）

A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
6．如图，是的直径，点，在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°，其中正确的结论有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　）

A． B． C． D．
9．函数y=ax2-a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
10．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列关于抛物线y＝2x2﹣3的说法，正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线与x轴有两个交点
D．抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3
12．⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____．

14．若点A（a，b）在双曲线y＝上，则代数式ab﹣4的值为_____．
15．如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为_______㎝．

16．汽车刹车后行驶的距离(单位：)关于行驶的时间(单位：)的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了______．
17．如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为________．

18．在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，点与点是对应顶点，且点A，点的坐标分别是，，那么与的相似比为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某农场今年第一季度的产值为50万元，第二季度由于改进了生产方法，产值提高了；但在今年第三、第四季度时该农场因管理不善.导致其第四季度的产值与第二季度的产值相比下降了11.4万元.
（1）求该农场在第二季度的产值；
（2）求该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率.
20．（8分）如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）连结AB、AC，求△ABC面积．

21．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
22．（10分）在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．

(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．
(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．
(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．

（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若，，求OB．
24．（10分）经过点A（4，1）的直线与反比例函数y＝的图象交于点A、C，AB⊥y轴，垂足为B，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AC的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点P在双曲线位于第一象限的图象上，若∠PAC＝90°，则点P的坐标是　 　．

25．（12分）某商场销售一种商品，若将50件该商品按标价打八折销售，比按原标价销售这些商品少获利200元．
求该商品的标价为多少元；
已知该商品的进价为每件12元，根据市场调查：若按中标价销售，该商场每天销售100件；每涨1元，每天要少卖5件那么涨价后要使该商品每天的销售利润最大，应将销售价格定为每件多少元？最大利润是多少？
26．已知二次函数的图像与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．

（1）求二次函数的解析式；
（2）当为何值时，．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断
【详解】解：A、，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；
B、（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确；
C、，k=1＞0，分别在一、．三象限里，y随x的增大而减小，错误；
D、（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误．
故选B．
【点睛】
本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
2、B
【分析】由题意设剪掉的正方形的边长为xcm，根据长方体的底面积为列出方程即可．
【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（28﹣2x）（40﹣2x）＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题并建立方程．
3、C
【分析】将x=2代入原方程即可求出a的值．
【详解】将x＝2代入x2﹣ax＝0，
∴4﹣2a＝0，
∴a＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4、B
【分析】由题意可以知道M（1，2），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+2，
a=-0.1．
∴抛物线的解析式为：y=-0.1（x-1）2+2．
当y=0时，
0=-0.1（x-1）2+2，
解得：x1=-1（舍去），x2=2．
OB=2米．
故选：B．
【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．
5、D
【解析】连接OC，则有∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴2∠OBC+2α=180°，
∴∠OBC=90°-α，
故选D.

6、C
【分析】因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B的度数，再求的度数．
【详解】
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ADB=90°．
∵，
∴∠B=65°，（同弧所对的圆周角相等）．
∴∠BAD=90°-65°=25°
故选：C
【点睛】
本题考查圆周角定理中的两个推论：①直径所对的圆周角是直角②同弧所对的圆周角相等．
7、A
【详解】如图，连接CO，DO，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠MCO=90°，
在△MCO与△MDO中，
，
∴△MCO≌△MDO（SSS），
∴∠MCO=∠MDO=90°，∠CMO=∠DMO，
∴MD与⊙O相切，故①正确；
在△ACM与△ADM中，
，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴AC=AD，
∴MC＝MD＝AC=AD，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
如图连接BC，
∵AC=MC，
∴∠CAB=∠CMO，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在△ACB与△MCO中，
，
∴△ACB≌△MCO（SAS），
∴AB＝MO，故③正确；
∵△ACB≌△MCO，
∴BC=OC，
∴BC=OC=OB，
∴∠COB=60°，
∵∠MCO=90°，
∴∠CMO=30°，
又∵四边形ACMD是菱形，
∴∠CMD=60°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故正确的有4个.
故选A.
8、D
【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．
【详解】设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，
∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9、A
【解析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
【详解】A、由二次函数图象，得a＜1．当a＜1时，反比例函数图象在二、四象限，故A正确；
B、由函数图象开口方向，得a＞1．当a＞1时，抛物线于y轴的交点在x轴的下方，故B错误；
C、由函数图象开口方向，得a＜1．当a＜1时，抛物线于y轴的交点在x轴的上方，故C错误；
D、由抛物线的开口方向，得a＜1，反比例函数的图象应在二、四象限，故D错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象，应该识记反比例函数y=在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10、A
【解析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元二次方程，
∴，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
11、C
【解析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.
【详解】∵2>0，
∴抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，
∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，
∴对称轴是y轴，故B选项错误，
∵-3<0，抛物线开口向上，
∴抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，
抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，
故选：C.
【点睛】
此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.
12、B
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【详解】解：∵OP=5>3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【分析】根据题意，用的面积减去扇形的面积，即为所求.
【详解】由题意可得，
AB＝2BC，∠ACB＝90°，弓形BD与弓形AD完全一样，
则∠A＝30°，∠B＝∠BCD＝60°，
∵CB＝4，
∴AB＝8，AC＝4，
∴阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查不规则图形面积的求法，属中档题.
14、﹣1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy，由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：∵点A(a，b)在双曲线y＝上，
∴3＝ab，
∴ab﹣4＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
15、20cm
【详解】
解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，
∴投影三角形的对应边长为：8÷=20cm．故选B．
【点睛】
本题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为2：5，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．
16、6
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.
【详解】解：根据二次函数解析式=-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6
可知，汽车的刹车时间为t=1s，
当t=1时，=12×1-6×1²=6(m)
故选：6
【点睛】
本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．
17、1
【详解】试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
解：∵点C在直线AB上，即在直线y=x﹣2上，C的横坐标是2，

∴代入得：y=×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），
∴OM=2，
∵CD∥y轴，S△OCD=，
∴CD×OM=，
∴CD=，
∴MD=﹣1=，
即D的坐标是（2，），
∵D在双曲线y=上，
∴代入得：k=2×=1．
故答案为1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18、2
【分析】分别求出OA和OA1的长度即可得出答案.
【详解】根据题意可得，，，所以相似比=，故答案为2.
【点睛】
本题考查的是位似，属于基础图形，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

三、解答题（共78分）
19、（1）60；（2）该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为
【分析】（1）根据题意，第二季度的产值=第一季度的产值×（1+20%），把数代入求解即可；
（2）本题可设该农场第三、四季度的产值的平均下降的百分率为x，则第三季度的产值为60（1-x）万元，第四季度的产值为60（1-x）2万元，由此可列出方程，进而求解．
【详解】解：（1）第二季度的产值为：（万元）；
（2）设该农场在第三、第四季度产值的平均下降的百分率为，
根据题意得：该农场第四季度的产值为（万元），
列方程，得：，
即，
解得：（不符题意，舍去）．
答：该农场在第三、第四季度产值的平均下降百分率为．
【点睛】
此类题目旨在考查下降率，要注意下降的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
20、（1）；（2）.
【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式.
（2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积.
【详解】（1）设该二次函数的解析式为
∵顶点为（2，）
∴
又∵图象经过A（0，3）
∴ 即
∴该抛物线的解析式为
（2）当时，，解得，
∴C（3，0） B（1，0）
得
∴.
【点睛】
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键.
21、（1）证明见解析；（1）BC=1.
【解析】试题分析：（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（1）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
试题解析：（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（1）解：∵⊙O的半径为1，
∴OB=1，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=1．

考点：切线的判定
22、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可证明ΔABE≌ΔCAD；
（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；
（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；
【详解】证明：
(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△AEB≌△CDA；
（2）由（1）知，
则，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点是的黄金分割点；
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.
23、（2）有一个公共点，证明见解析；（2）．
【分析】（2）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=2，从而求出BE=2．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.
【详解】（2）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．

∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有2个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°，，，
∴ AC=2，．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E=∠AED=B ．
在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=2．
∴ BE=2．
∵AC∥DE
∴．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
24、（1）反比例函数的表达式为y＝（2）直线AC的函数表达式为y＝x﹣1；（3）（，8）．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数表达式中，即可得出结论；
（2）先求出AB，设出点C的纵坐标，利用△ABC的面积为6，求出点C纵坐标，再代入反比例函数表达式中，求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）先求出直线AP的解析式，再和反比例函数解析式联立求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设点C的纵坐标为m，
∵AB⊥y轴，A（4，1），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为6，
∴AB×（1﹣m）＝6，
∴m＝﹣2，
由（1）知，反比例函数的表达式为y＝，
∴点C的纵坐标为：﹣2，
∴点C（﹣2，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝k'x+b，
将点A（4，1），C（﹣2，﹣2）代入y＝k'x+b中， ，
∴ ，
∴直线AC的函数表达式为y＝x﹣1；
（3）由（2）知直线AC的函数表达式为y＝x﹣1，
∵∠PAC＝90°，
∴AC⊥AP，
∴设直线AP的解析式为y＝﹣2x+b'，
将A（4，1）代入y＝﹣2x+b'中，﹣8+b'＝1，
∴b'＝9，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+9①，
由（1）知，反比例函数的表达式为y＝②，
联立①②解得， （舍）或 ，
∴点P的坐标为（，8），
故答案为：（，8）．
【点睛】
考查了待定系数法，三角形的面积公式，方程组的解法，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
25、（1）20；（2）26，980.
【分析】(1)设该商品的标价为x元，根据按标价的八折销售该商品50件比按标价销售该商品50件所获得的利润少200元，列方程求解；
(2)设该商品每天的销售利润为y元，销售价格定为每件x元，列出y关于x的函数解析式，求出顶点坐标即可得解.
【详解】解：设该商品的标价为a元，
由题意可得：
，
解得：；
答：该商品的标价为20元；
设该商品每天的销售利润为y元，销售价格定为每件x元，
由题意可得：

；
，
所以销售单价为26元时，商品的销售利润最大，最大利润是980元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和运用二次函数解决实际问题.
26、（1）y= (x-1)2-9 ；（2）-2<x<4
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得 a，k的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，最后依据y＜1可求得x的取值范围．
【详解】解：（1）∵y=a(x-1)2+k的图像与y轴交于点C（1，﹣8），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，1）．
∴，解得，，
∴该函数的解析式为y= (x-1)2-9；
（2）令y=1，则(x-1)2-9=1，解得：，
∴点B的坐标为（4，1）．
∴当-2<x<4时，y<1．
【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．