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第第3章章 动量与角动量动量与角动量1 1.力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守恒定律、角动量守恒定律守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，则称其为守恒量。表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。2 2.（力对时间的积累效应）（力对时间的积累效应）冲量冲量：力和力作用时间的乘积：力和力作用时间的乘积（单位：牛顿（单位：牛顿秒秒(Ns)）动量动量：质点质量：质点质量 m 和速度和速度 的乘积的乘积 3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理单位：千克单位：千克米米秒秒-1(kgms-1)恒力恒力变力变力在 dt 时间内的元冲量：在 t1至 t2 时间段内的冲量：3 3.一、质点的动量定理一、质点的动量定理作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内质点动量的增量质点动量的增量质点的动量定理质点的动量定理微分形式积分形式4 4.分量表示式：分量表示式：质点动量定理只适用于惯性系5 5.动量：与动力学有密切的关系，是动力学参量。速度：只是从运动学角度描述物体的运动状态。动量比速度更能反映物体的运动状态。机械运动与机械运动转换时，数量关系可以用动量或动能来量度。机械运动与非机械运动转换时，只能用动能来量度。6 6.fj i fi j 二二 质点系动量定理质点系动量定理 （theorem of momentum of particle system）Fipi为质点为质点 i 受的合外力，受的合外力，i j质点系质点系 为质点为质点 i 受质点受质点 j 的内力，的内力，为质点为质点 i 的动量。的动量。对质点对质点 i：对质点系：对质点系：由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有：7 7.所以有：所以有：令令则有：则有：或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）质质点点系系动动量量定定理（积分形式）理（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。8 8.3.2动量守恒定律动量守恒定律这就是这就是质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。即即几点说明：几点说明：1.动量守恒定律是牛顿第二定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第二定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系所受合外力为零时，质点系的总动量质点系的总动量不随时间改变。不随时间改变。（law of conservation of momentum）9 9.4.若某个方向上合外力为零，若某个方向上合外力为零，5.当外力当外力内力内力 6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。尽管总动量可能并不守恒。量守恒，量守恒，且作用时间极短时且作用时间极短时（如碰撞），（如碰撞），可认为动量近似守恒。可认为动量近似守恒。的定律，的定律，它在宏观和微观领域均适用。它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统 切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。3.动量若在某一惯性系中守恒，动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一则在其它一和条件。和条件。1010.粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）低速（低速（v c）情况下的两类变质量问题：）情况下的两类变质量问题：下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。3.3 变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理 这是相对论情形，这是相对论情形，不在本节讨论之列。不在本节讨论之列。以随速度改变以随速度改变 m=m(v)，情况下，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（还有另一类变质量问题是在高速（v c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可这时即使没有粘附和抛射，质量也可1111.条件：燃料相对箭体以恒速条件：燃料相对箭体以恒速u喷出喷出初态：系统质量初态：系统质量 M，速度，速度v(对地对地)，动量，动量 M v 一一.火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）1.火箭的速度火箭的速度系统：系统：火箭壳体火箭壳体+尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i(点火点火)f(燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程：t t+dt末态：喷出燃料后末态：喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)：v-uvu1212.火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的质量：尚存燃料的质量：M-dm系统动量：系统动量：(M-dm)(v+d v)+-dM(v-u)火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v+d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M-dm)(v+d v)经整理得：经整理得：Mdv =-udM速度公式：速度公式：1313.引入引入火箭质量比：火箭质量比：得得讨论：讨论：提高提高 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u=4.1 km/s）(2)增大增大 N（受一定限制）（受一定限制）为提高为提高N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N3 资料：资料：长征三号（三级大型运载火箭）长征三号（三级大型运载火箭）全长：全长：43.25m，最大直径：最大直径：3.35m，起飞质量：起飞质量：202吨，起飞推力：吨，起飞推力：2800kN。1414.t+dt时刻：时刻：速度速度 v-u，动量动量dm(v-u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v(和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为1515.二二.重力场中的火箭发射重力场中的火箭发射 可得可得 t 时刻火箭的速度：时刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化，的变化，Mt：t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量时刻火箭壳和尚余燃料的质量1616.rc3.4质心（质心（center of mass）一一.质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定Cmizri yx0定义质心定义质心 C 的位矢为：的位矢为：质心位置是质心位置是质点位置以质点位置以质量为权重质量为权重的平均值。的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入为便于研究质点系总体运动，引入质心质心概念。概念。1717.二二.几种系统的质心几种系统的质心 两质点系统两质点系统r2m2m1r1C m1 r1=m2 r2 连续体连续体rrcdmC0m zx y1818.R“小线度小线度”物体的质心和重心是重合的。物体的质心和重心是重合的。例例如图示，如图示，CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。解：解：令令 为质量的面密度，为质量的面密度，则则质心坐标为：质心坐标为：挖空挖空 均匀杆、圆盘、均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。圆环、球，质心为其几何中心。1919.3.5 质心运动定理质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）一一.质心运动定理质心运动定理rcCvcmizri yx0vi即质点系的总动量即质点系的总动量 是质点系的是质点系的“平均平均”速度速度2020.由由 质心运动定理质心运动定理有有该质点集中了整个质点系的质量和所受该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，运动，的外力。的外力。实际上是物体质心的运动。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓在质点力学中所谓“物体物体”的运动，的运动，2121.系统系统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动，在光滑水平面上滑动在光滑水平面上滑动的扳手，的扳手，做跳马落地动作的运做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但动员尽管在翻转，但 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：例如：其质心做匀其质心做匀速直线运动速直线运动2222.若合外力为零，若合外力为零，二二.动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒质点系动量守恒若合外力分量为若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则则则相应的质心分速度不变相应的质心分速度不变2323.1.质心系质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 三三.质心（参考）系质心（参考）系（frame of center of mass）2424.2.质心系的基本特征质心系的基本特征质心系是零动量参考系。质心系是零动量参考系。m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 质心系中看两粒子碰撞质心系中看两粒子碰撞等值、反向的动量。等值、反向的动量。两质点系统在其两质点系统在其质心系中，质心系中，总是具有总是具有2525.一、角动量一、角动量 力矩力矩质量为m 的质点相对O点运动。在某时刻对O的矢径 r 与质点的动量 mv 的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用 L 表示。单位：单位：kgm2/s方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定3.6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理2626.在圆周运动中，速度方向垂直于矢径在圆周运动中，速度方向垂直于矢径 r：O2727.设在某时刻质点 m 对定点 O 的位矢为 r，作用在质点上的合力为 F ，则 F 与 r 矢积定义为力 F 对定点 O 的力矩，用 M 表示：单位：牛单位：牛米（米（N m）O方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定力矩力矩2828.O力矩的分量式力矩的分量式:对对轴轴的的力力矩矩力矩为零的情况:（1）力 F 等于零；（2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj=0）2929.二、角动量定理角动量角动量 力矩力矩3030.质点对某固定点的质点对某固定点的角动量随时间的变化率角动量随时间的变化率，等于质点，等于质点所受的合力对该点的所受的合力对该点的力矩力矩。表示成积分形式：表示成积分形式：冲量矩（合力矩在冲量矩（合力矩在t时时间内对定点的冲量矩）间内对定点的冲量矩）质点的角动量定理：质点的角动量定理：对同对同一固定参考点，作用于质一固定参考点，作用于质点的点的冲量矩冲量矩等于同一时间等于同一时间内质点内质点角动量的增量角动量的增量3131.3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律如果对固定参考点，质点所受的如果对固定参考点，质点所受的合力矩为零合力矩为零，则质，则质点对该固定点的点对该固定点的角动量为一恒矢量角动量为一恒矢量。注意：1.这也是自然界普遍适用的一条基本规律。2.M0，可以是 r=0,也可以是F=0,还可能是 r 与 F 同向或反向，例如有心力情况。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律3232.力力力力 力矩力矩动量动量动量动量 角动量角动量冲量冲量冲量冲量冲量矩冲量矩力与动量力与动量力与动量力与动量力矩与角动量力矩与角动量动量定理动量定理动量定理动量定理(冲量与动量冲量与动量)角动量定理角动量定理(冲量矩与角动量冲量矩与角动量)动量守恒动量守恒动量守恒动量守恒：某一时间间隔内，某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为质点系所受外力矢量和始终为零，零，角动量守恒角动量守恒：对固定参考点而对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，言，质点受到的合力矩始终为零，3333.例例例例3.18 3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。过相等的面积。3636.太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：PP设太阳位于O点，质量为 m 的行星位于P点，位矢为r，经过时间 dt，行星运动到 P 点，位矢为r+dr。在dt 时间内，位矢 r 所扫过的面积 dS 等于OPP的面积：3737.德国开文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）开普勒的行星运动三大定律 1.每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。2.从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。3.行星绕日一圈时间的平方和行星各自椭圆轨道的长半轴的立方成正比。万有引力理论万有引力理论：任何物体之间存在万有引力，且两任何物体之间存在万有引力，且两物体间的引力和两物体质量的乘积成正比，和两物体物体间的引力和两物体质量的乘积成正比，和两物体距离的平方成反比，且在同一条直线上。距离的平方成反比，且在同一条直线上。牛顿三大定律牛顿三大定律微积分微积分英国数学家、物理学家和哲学家 艾萨克牛顿(Isaac Newton，1643-1727)如果说我比别人看得远些的话，是因为我站在巨人的肩膀上伽利略、哥白尼、伽利略、哥白尼、开普勒、笛卡儿开普勒、笛卡儿3838.空间累积空间累积效应效应时间累时间累积效应积效应瞬时效应瞬时效应动量定理角动量定理动能定理功能定理4040.