高一数学下册知识点练兵检测试题16.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内．
1．若集合A＝{x|＞2，x∈R}，非空集合B满足(A∪B)⊆(A∩B)，则有∁RB＝(　　)
A．(0，)　　　　　 　　 B．(－∞，0]∪[，＋∞)
C．(－∞，) D．[，＋∞)
解析：由(A∪B)⊆(A∩B)得A∪B＝A∩B，所以A＝B，即B＝{x|＞2，x∈R}＝{x|0＜x＜}，故∁RB＝(－∞，0]∪[，＋∞)．
答案：B
2．已知a，b是两个不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A、B、C三点共线得：＝t (t∈R)，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，所以，所以λμ＝1.
答案：D
3．过曲线y＝x3－2x＋4上的点(1,3)作两条互相垂直的直线l1，l2，若直线l1是曲线y＝x3－2x＋4的切线，则直线l2的倾斜角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2，
∴直线l1的斜率为y′|x＝1＝1，
又l1⊥l2，∴直线l2的斜率为－1，
∴直线l2的倾斜角为.
答案：D
4．已知a，b表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a，b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；
④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：①错误，因为三个平面可以两两相交且交线相互平行；④错误，因为只有a，b相交时结论才成立．
答案：B
5．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为(　　)
A.＝1.23x＋4 B.＝1.23x＋5
C.＝1.23x＋0.08 D.＝0.08x＋1.23
解析：回归直线必过点(4,5)，故其方程为－5＝1.23(x－4)，即＝1.23x＋0.08.
答案：C
6．若i是虚数单位，z＝2－i＋ai2009(a∈R)是实数，则()2009等于(　　)
A．2 B．2i C．i D．22009
解析：∵z＝2－i＋ai2009＝2＋(a－1)i为实数，∴a－1＝0，即a＝1，∴()2009＝()2009＝i2009＝i.
答案：C
7．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：将取出的两个数分别用x，y表示，则0≤x≤10,0≤y≤10.如图，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0,10]内，故所求概率为＝.

答案：D
8．已知双曲线过点(4，)，渐近线方程为y＝±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是(　　)
A. B. C．4 D.
解析：由题意易得双曲线的方程为－＝1，顶点为(±3,0)，焦点为(±5,0)．又圆心在双曲线上，所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±4，设圆心的纵坐标为m，则－＝1，所以m2＝＝，所求的距离为 ＝.
答案：D
9．已知圆(x－4)2＋y2＝a(a＞0)上恰有四个点到直线x＝－1的距离与到点(1,0)的距离相等，则实数a的取值范围为(　　)
A．12＜a＜16 B．12＜a＜14
C．10＜a＜16 D．13＜a＜15
解析：到直线x＝－1的距离与到点(1,0)的距离相等的点的轨迹是抛物线y2＝4x，问题转化为圆与抛物线有四个交点，即联立它们的方程得到的方程组恰有四组解．
由⇒x2－4x＋16－a＝0，故此方程有两个相异的正根，∴，
故12＜a＜16.
答案：A
10．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点的旅游人数统计有误，甲景点的旅游人数实际为20万，被误统计为15万，乙景点的旅游人数实际为18万，被误统计为23万，更正后重新计算，得到的标准差为s1，则s与s1的大小关系为(　　)
A．s＝s1 B．s＜s1
C．s＞s1 D．不能确定
解析：由已知得，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，又设各景点的实际旅游人数为xi(1≤i≤15，i∈N*)，则s＝
，
s1＝
.
若比较s与s1的大小，只需比较(15－)2＋(23－)2与(20－)2＋(18－)2的大小即可．而(15－)2＋(23－)2＝754－76＋22，(20－)2＋(18－)2＝724－76＋22，所以(15－)2＋(23－)2＞(20－)2＋(18－)2，从而s＞s1.
答案：C
11．当不等式组所表示的平面区域的面积最小时，实数k的值为(　　)
A．－ B．－ C．－1 D．－2
解析：不等式组所表示的平面区域由三条直线围成，其中直线kx－y＋2－k＝0(k＜0)即y－2＝k(x－1)(k＜0)经过定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积的最小值．如图所示，设所围成的区域的面积为S，则S＝·|OA|·|OB|＝·|2－k|·|1－|.
因为k＜0，所以－k＞0，所以S＝(4－k－)＝[4＋(－k)＋(－)]≥[4＋2 ]＝4，
当S取得最小值4时，－k＝－，解得k＝－2.

答案：D
12．已知a＞0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)＜，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，]∪[2，＋∞) B．[，1)∪(1,4]
C．[，1)∪(1,2] D．(0，]∪[4，＋∞)
解析：f(x)＜即x2－ax＜，x2－＜ax.当0＜a＜1时，如图甲所示，在x＝1处，得≤a，∴≤a＜1；当a＞1时，如图乙所示，在x＝－1处，得≤，∴1＜a≤2.

答案：C
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上．
13．已知在区间(a，b)上，f(x)＞0，f′(x)＞0，对x轴上的任意两点(x1,0)，(x2,0)，(a＜x1＜x2＜b)都有f()＞.若S1＝f(x)dx，S2＝(b－a)，S3＝f(a)(b－a)，则S1、S2、S3的大小关系为__________．
解析：根据定积分的几何意义知S1为f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴围成的曲边梯形的面积，而s2为梯形的面积，s3为矩形的面积，所以结合题意并画出图形可得S1＞S2＞S3.
答案：S1＞S2＞S3
14．已知α，β∈(－，)，且tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，则α＋β＝__________.
解析：依题意得tanα＋tanβ＝－3＜0，tanα·tanβ＝4＞0，∴tan(α＋β)＝＝＝.易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈(－，)，∴α∈(－，0)，β∈(－，0)，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
答案：－
15．已知数列{an}的通项公式an＝，计算其前102项和的算法流程图如图所示，图中①，②应该填__________、__________.
解析：算法流程图中用的循环体中应有使循环结束的语句，故应有n＝cdefghijklm1使原来的n的值增加1，故应在求和后，所以应填在②中，而①应填给an赋值的语句an＝an－4.

答案：an＝an－4　n＝n＋1
16．如图为一个几何体的三视图，AB＝BC＝1，BB1＝2，则此几何体的表面积为__________．

解析：

此几何体是由一个半球和一个长方体组合而成的，故其直观图如图所示．
因为AB＝BC＝1，故B1D1＝，故半球的半径R＝，因此半球的表面积S半球表＝×4πR2＋πR2＝.
长方体的表面积S长方体表＝4×1×2＋2＝10，长方体的上底面的面积S长方体上底面＝1，故此几何体的表面积S表＝S半球表＋S长方体表－2S长方体上底面＝＋8.
答案：＋8
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片，并设它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．
解析：(1)∵x、y可能的取值分别为1、2、3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回地先后抽取两张卡片共有3×3＝9种不同的情况，
∴P(ξ＝2)＝.
(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，
ξ＝1时，x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况．
ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．
∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P

因此，数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
18．(本小题12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M、H分别为A1D1、CC1、AB、DB1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求证：MH⊥B1C；
(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P－AC－B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

解析：(1)取AA1的中点G，连接GF，则GF∥AC，
连接GE，则GE∥AD1，∴平面ACD1∥平面GFE.
又∵EF⊂平面GFE，∴EF∥平面ACD1.
(2)连接AC1，∵H为DB1的中点，
∴H为AC1的中点，连接BC1，设BC1交B1C于点O，
∵M为AB的中点，
∴MH∥BC1.
在正方形BCC1B1中，BC1⊥B1C，
∴MH⊥B1C.
(3)如图，

分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)．
设点P(2,2，t)(0＜t≤2)，平面ACP的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

∵＝(－2,2,0)，＝(0,2，t)，
∴，取n＝(1,1，－)．
易知平面ABC的一个法向量为＝(0,0,2)，
假设P点存在，使得二面角P－AC－B的大小为θ＝30°，
则cosθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
即＝(2＋)，解得t＝.
∴∈(0,2]，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角P－AC－B的大小为30°.
19．(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(2＋3x)＋x2在x＝处取得极值．
(1)求f(x)在[0,1]上的单调区间；
(2)若对任意的x∈[，]，不等式|a－lnx|＋ln[f′(x)＋3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意得函数f(x)的定义域为{x|x＞－}，
f′(x)＝＋mx＝，
又函数f(x)在x＝处取得极值，
∴f′()＝0，即m＝－3，
此时，f′(x)＝.
∴在[0,1]上，当0≤x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当＜x≤1，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．∴f(x)在x＝处取得极大值．
∴f(x)在[0,1]上的单调递增区间为[0，]，单调递减区间为[，1]．
(2)∵f′(x)＋3x＝，
∴当x∈[，]时，ln[f′(x)＋3x]∈[0，ln](当且仅当x＝时，ln[f′(x)＋3x]＝0)．
因此，不等式|a－lnx|＋ln[f′(x)＋3x]＞0恒成立的a的取值范围是(－∞，ln)∪(ln，＋∞)．
20．(本小题14分)(2009·太原模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1，n∈N*)，数列{bn}满足b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＋nbn＝yz{}n-1 -.
（１）求ａｎ与ｂｎ的表达式；
（２）设ｃｎ＝（ｎ＋)bn，试问数列{cn}有没有最小项？如果有，求出这个最小项；如果没有，请说明理由．
解析：(1)因为Sn＝(an－1)，
所以，当n＝1时，a1＝S1＝(a1－1)，解之得a1＝a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，即＝a.
又a≠0，a≠1，所以数列{an}是等比数列．
所以an＝a·an－1＝an.
由b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＋nbn＝(n＋10)·()n－1－得：b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1＝(n＋9)·()n－2－(n≥2)．
两式相减得nbn＝(n＋10)·()n－1－(n＋9)·()n－2＝－()n－2.
故bn＝－·()n－1(n≥2)，
当n＝1时，b1＝11－＝－也符合上式，
故bn＝－·()n－1.

所以cn＋1－cn＝－()n＋()n－1
＝·()n－1.
当n＞8时，cn＋1＞cn，故c9＜c10＜…，
当n＝8时，cn＋1－cn＝0，故c9＝c8，
当n＜8时，cn＋1＜cn，故c1＞c2＞c3＞…＞c8.
综上可得，c9、c8是数列的最小项且c8＝c9＝－()7.
21．(本小题14分)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到点F1的距离是2，线段AF2的中垂线l交AF1于点P.

(1)当点A变化时，求动点P的轨迹G的方程；
(2)过点F1、F2分别作互相垂直的两条直线分别与轨迹G交于点D、E和点M、N，试求四边形DMEN的面积的最大值和最小值．
解析：(1)如图，

|AF1|＝2，
∴|PA|＋|PF1|＝2，
又∵|PA|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝2，
由椭圆的定义可知动点P的轨迹G的方程为＋＝1.
(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|＝，
此时|MN|＝2，四边形DMEN的面积为＝4，
同理，当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为＝4.
当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE的方程为
y＝k(x＋1)(k≠0)，代入椭圆方程，消去y，得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
设D点的坐标为(x1，y1)，E点的坐标为(x2，y2)，
则)
∴|x1－x2|＝＝，
∴|DE|＝|x1－x2|＝.
同理，|MN|＝＝.
∴四边形DMEN的面积

22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，

已知⊙O和⊙O1内切于点A，⊙O的弦AP交⊙O1于点B，PC切⊙O1于点C，且＝，则⊙O1和⊙O的半径的比值为多少？
解析：如图，连接OP、OA、O1B，ΔOPA和ΔO1BA是顶角相等的等腰三角形，故∠APO＝∠ABO1，从而O1B∥OP，故＝.
又由切割线定理，知PC2＝PB·PA＝(PA－AB)·PA＝PA2－PA·AB，两端同除以PA2，得＝1－，即()2＝1－，故＝，从而⊙O1和⊙O的半径的比值为＝＝.

23．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程
极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于A，B两点，求PA·PB.
解析：直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0的斜率为1，
令θ＝0，得ρ＝1，
∴直线与x轴交于点(1,0)点，
∴直线的参数方程为(t为参数)①
椭圆的普通方程为：x2＋4y2＝4，②
①代入②得：5t2＋2t－6＝0，
∵Δ＞0，∴PA·PB＝|t1·t2|＝.
24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
解析：∵f(x)＝x2－x＋1，|x－a|＜1，
∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a＋1|＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)．

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