基于“意义建构”理论的数学思维的引导研究——以“基本不等式”的教学为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）基于“意义建构”理论的数学思维的引导研究以“基本不等式”的教学为例蒯龙江苏省海门中学226100咱摘要暂 思维贯穿数学教学整个过程袁不论是教师的思维袁还是学生的思维袁对课堂的野意义建构冶都有着至关重要的影响.文章以野基本不等式冶的教学为例袁具体从野情境创设袁诱发思维冶野问题驱动袁激活思维冶野实际应用袁提升思维冶三方面袁谈一谈基于野意义建构冶的数学课堂思维的引导措施.关键词意义建构曰思维曰情境曰应用作者简介院蒯龙（1981），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.布伦达 窑 德尔文渊Brenda Dervin冤在1972年提出野意义建构冶理论袁认为知识由学习者主观建构而成.该理论是在皮亚杰野认知发展冶理论的基础上袁经过实践与研究而来的袁其中野同化冶与野顺应冶为认知发展的主要过程袁学习者的内部行为与外部行为的共同作用促进了意义建构.如何在课堂中引导学生充分暴露思维过程袁有效促进意义建构呢钥本文以野基本不等式冶的教学为例展开分析袁与同行交流.情境创设，诱发思维数学是思维的体操.想要诱发学生的数学思维袁教师就要站在学生的立场上袁通过合适的情境激发学生的热情袁调动学生思维的积极性袁让学生主动参与到知识的建构中来.丰富的教学情境袁能诱发学生的多向思维袁促使学生从不同角度客观认识知识.在教学实践中袁良好的情境常能带给学生较好的情感体验袁促进学生进行思考与探究袁帮助学生更好地把握数学本质.初学基本不等式袁学生的思维仍停留在野式子冶野大于冶野小于冶等基本知识层面袁想让学生立即认识到基本不等式是一种新的知识模式袁确实存在一定的难度.为此袁教师需要研究学生的思维起点与思维习惯袁通过丰富的情境让学生感知基本不等式与之前接触的方程尧函数等的区别.引导学生发现这是一种新的数学现象袁主要研究的是两个变量所组成的代数式间的不等关系.野两个变量冶野两个代数式冶野一个恒成立的不等关系冶是基本不等式的特点袁但学生对此是陌生的.想要帮助学生突破思维定式的影响袁需要创设丰富的情境袁在耐心等待中诱发学生的多向思维袁促使学生多方位建构新知.情境1 如图1所示袁此为2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会标袁该图案是根据赵爽弦图设计的袁透过明暗色彩不难看出这是一个风车图案.大家能从这幅精美的图案中探寻出一些相等或不等的关系吗钥学生分组合作学习袁每组派一名代表汇报探究结果.为了充分暴露学生的思维过程袁促进学生进行知识意义建构袁笔者开始点拨如下.师院图2为会标的简图袁大家从中发现了哪些熟悉的几何图形钥ABCDGFHEa2+b2 姨ab图2生1院分别有大正方形ABCD尧小正方形EFGH以及四个全等的直角三角形.师院很好浴 既然我们发现了这些图形袁能否从这些图形的面积着手袁探寻出其中存在哪些相等与不等的关系呢钥生2院从图中发现袁大正方形ABCD的面积S=a2+b2袁小正方形EFGH的面积S1=渊a原b冤2袁四个全等的直角三角形图1教学实践22投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）教学实践的面积和S2=2ab袁其中SS2袁也就是a2+b22ab.生3院若a=b袁可将直角三角形理解成等腰直角三角形袁小正方形EFGH缩成一个点袁此时S=S2.因此袁S逸S2袁不等关系应是a2+b2逸2ab.将数学史作为情境素材袁不仅能起到激发学生兴趣尧渗透数学文化的作用袁还能发展学生的人文素养.通过适时点拨袁引导学生自主从背景丰富的图案中探寻出面积间的数量关系袁并抽象出不等关系.该情境袁成功地帮助学生从几何与代数的角度认识到了不等式.情境2 如图3所示袁已知半圆的直径为AB袁点C位于圆周上袁且CH彝AB袁H为垂足.若AH=a袁BH=b袁a+b2为算术平均值袁ab 姨为几何平均值.ABCOH图3师院说一说图中的哪些线段可以代表a袁b的算术平均值钥生4院线段AO袁OB袁OC都可以袁它们都是圆的半径.师院很好袁那么图中哪些线段为a袁b的几何平均值呢钥生5院结合射影定理袁不难发现CH=AH窑BH 姨=ab 姨.师院若想比较它们的大小袁该如何处理呢钥生6院可过点O作AB的垂线袁与半圆相交于点E袁OE为半径.观察图形发现袁半弦CH不大于半径OE袁即CH臆OE袁所以ab 姨臆a+b2袁当且仅当点H与圆心O重合袁也就是a=b时袁半弦和半径为相等的关系袁此时可取等号.师院很好浴 有其他意见吗钥生7院若从Rt吟CHO着手分析袁或许更直观也更容易理解CH臆OC.师院非常好浴从野几何意义冶的角度出发袁咱们又获得了一个不等式a+b2逸ab 姨袁这个不等式中的a袁b的取值范围有什么规律吗钥生8院有袁a0且b0.生9院不对袁应该是a逸0袁b逸0.若a袁b均为负数或一正一负袁则该不等式不成立.师院非常好浴 但咱们现在只研究该不等式成立的条件a0袁b0.该情境从学生熟悉的几何图形出发袁让学生从图形中自主探索出基本不等式.这种方式不仅锻炼了学生的观察能力与思考能力袁还让学生切身体会到数形结合思想在数学学习中的应用袁同时深化了学生对基本不等式的认识袁为接下来的教学奠定了基础.利用赵爽弦图引出不等式袁借助几何图形让学生自主抽象出不等式袁学生在两个情境的启发下袁不仅发展了数形结合思想袁还初步获得了用几何法证明不等式的能力.问题驱动，激活思维问题是数学的心脏.在教学中袁不断涌现的问题体现了数学的生命力.问题分为外显的知识性问题与内隐的经验生成性问题.外显的知识性问题是单纯的教学知识问题化袁而内隐的经验生成性问题则是数学问题意义化尧形式化.一般情况下袁问题能将知识间的逻辑关系暴露出来袁让学生的思维沿着问题的深化螺旋式上升.实践证明袁在数学概念尧规律等的教学中袁教师不能满足于演绎问题或形式地呈现问题袁而应将数学本质展露出来袁让学生在问题的驱动下提出更好的新问题.同时袁课堂问题应具备启发性尧探索性尧开放性与推广性等特征袁遵循野少而精冶的原则袁如此才能让学生拥有充足的时间进行分析与思考.师院通过刚才对两个情境的分析袁大家经历了不等式形成的过程袁其实该过程实则为不等式的证明方法.大家还有其他证明方法吗钥生10院a+b2原ab 姨=a+b原2ab 姨2=12渊a 姨原b 姨冤2逸0袁即a+b2逸ab 姨袁当且仅当a=b时取等号.师院很好袁这就是证明基本不等式的方法之一要要要作差法.还有其他方法吗钥生11院根据a0袁b0的条件袁要证明a+b2逸ab 姨袁即证明a+b逸2ab 姨袁也就是证明a+b原2ab 姨逸0袁即证明渊a 姨原b 姨冤2逸0.我们知道渊a 姨原b 姨冤2逸0恒成立袁所以a+b2逸ab 姨成立.师院非常好浴 这种方法以结论为起点袁通过推导到已知条件而完成证明袁这也是证明基本不等式的方法之一要要要分析法.值得注意的是袁书写野要证明冶野即证明冶野坩冶等文字或符号时袁要保证每一个步骤都具有可逆性.生12院能否将生11的证明方法反过来钥 如对正数a袁b袁因为渊a 姨原b 姨冤2逸0袁所以a+b原2ab 姨逸0袁即a+b逸2ab 姨袁因此a+b2逸ab 姨.师院这也是基本不等式的证明方法的一种要要要综合法.即以已知条件或结论为出发点袁通过野由因索果冶的方法获得结论.还有其他方法吗钥生13院因为a2+b2逸2ab袁所以a2+2ab+b2逸4ab袁也就是渊a+b冤2逸4ab.由于a0袁b0袁因此可将渊a+b冤2逸4ab的两侧同时开方袁得a+b逸2ab 姨袁也就是a+b2逸ab 姨袁当且仅当a=b时取等号.师院这里应用到了野当且仅当冶这个说法袁为什么会这么说钥生14院为了表示两者相等的关系袁野当且仅当冶可从以下两个方面进行理解.一方面袁当a=b时取等号袁也就是a=b圯ab 姨=a+b2曰另一方面袁仅当a=b时取等号袁也就是ab 姨=a+b2圯23投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）a=b.师院对于野a+b2逸ab 姨渊a0袁b0冤袁当且仅当a=b时取等号冶袁大家是怎么理解的钥生15院可以理解为两个正数的和与积之间的不等关系.生16院可以理解为两个正数的几何平均数必然不大于它们的算术平均数.生17院还可以从数列的角度来理解袁即将a+b2视为正数a袁b的等差中项袁将ab 姨视为正数a袁b的等比中项袁则基本不等式可作如下描述院两个正数的等差中项必然不小于它们的等比中项.师院非常好浴 大家从不同角度对基本不等式进行了理解与总结袁今后若遇到涉及两个正数的和与积的问题袁可尝试从基本不等式的角度来分析问题尧解决问题.野还有其他证明方法吗钥冶这是一个开放性问题袁为学生思考提供了充裕的空间.在此环节中袁通过言简意赅的问题的驱动与提炼袁让学生自主探索出几种常用于证明基本不等式的方法渊作差法尧分析法尧综合法冤.每一种方法都由学生自主领略而来袁让学生从真正意义上实现了基本不等式的意义建构袁也充分揭示了知识的本质.其中袁生11的逆向思维令笔者惊叹袁该生能自主转化思维方式袁出其不意地从结论出发袁为证明带来新的突破.由此可见袁只要给予学生充足的时间与空间袁学生就能给我们带来惊喜.野执果索因冶的方法袁不仅给所有学生都带来了启示袁还从一定意义上突破了学生原有的认知.同时袁笔者规范了书写要求袁为培养学生严谨的学习习惯奠定了基础.实际应用，提升思维数学结论为实际应用服务袁数学学习重在辨别尧模仿与创新.基本不等式的几种证明方法袁不仅开阔了学生的视野袁还为接下来的实际应用夯实了知识基础.例题院若a袁b均为正数袁求证渊1冤ba+ab逸2曰渊2冤a+1a逸2.生18院渊1冤ba+ab=a2+b2ab袁因为渊a原b冤2逸0袁所以a2+b2逸2ab.又a0袁b0袁所以a2+b2ab逸2袁也就是ba+ab逸2.渊2冤a+1a=a2+1a袁因为渊a原1冤2逸0袁所以a2+1逸2a.又a0袁所以a2+1a逸2袁也就是a+1a逸2.师渊未置可否冤院有没有其他解题方法钥生19院渊1冤a2+b2逸2ab袁因为a0袁b0袁所以a2+b2ab逸2袁也就是ba+ab逸2.渊2冤a+1a原2=渊a-1冤2a袁因为a0袁所以渊a-1冤2a逸0袁也就是a+1a原2逸0袁所以a+1a逸2.师院还有其他意见吗钥生20院若直接用基本不等式证明更简单.渊1冤因为a0袁b0袁所以ba+ab逸2ba窑ab=2袁当且仅当ba=ab袁也就是a=b时取等号.渊2冤由于a0袁故a+1a逸2a窑1a=2袁当且仅当a=1a袁也就是a=1时取等号.三位学生分别从综合法尧重要不等式与基本不等式三个角度来分析并解决问题.虽然用基本不等式解决此题更简洁袁但由于是新知袁因此学生应用时并不十分流畅.为了增加学生的熟练度袁笔者应用变式题诱导学生思考袁增强学生的应用意识.变式题院求函数f渊x冤=1x+x的值域.生21院f渊x冤=1x+x逸2x窑1x=2袁当且仅当x=1x袁也就是x=1时取等号袁因此函数f渊x冤=1x+x的值域是咱2袁+肄冤.生22院不对袁题设条件并没有明确指出x0袁我们应该将x0的情况考虑进去.师院非常好浴考虑得很周全袁也就是说要对x进行分类讨论袁 谁来说说x0时该怎么处理呢钥生23院当x0袁原f渊x冤=1原x原x逸2渊原x冤 窑1原x=2袁因此f渊x冤臆原2袁当且仅当原x=原1x袁也就是x=原1时取等号.综上分析袁函数f渊x冤=1x+x的值域为渊原肄袁原2暂胰咱2袁+肄冤.生24院函数f渊x冤=1x+x属于对勾函数袁通过作图袁结合函数的单调性袁也可获得该函数的值域.变式题的应用不仅深化了学生对基本不等式的理解袁还强化了学生对野一正二定三相等冶的认识袁将基本不等式和函数最值问题联系起来袁从真正意义上实现了知识建构.苏霍姆林斯基认为袁每个人都希望自己是一个发现者尧研究者尧探索者.学生对知识的探索欲与生俱来袁关键是教师如何利用好学生的这种心理.涂荣豹先生认为袁在教学中袁教师要注重启发式的提问袁尽可能多采用一些元认知问题袁 少采用一些认知性问题袁让学生在开放性的状态下应用所学知识解决实际问题袁以强化学生对知识的应用能力.总之袁情境创设尧问题驱动与实际应用是引导学生充分暴露思维过程袁促进知识意义建构的重要途径.作为教师袁应想尽一切办法了解学生的思维袁提炼学生的思维袁尤其将数学思想方法巧妙地融入教学的各个环节袁让学生自主感悟尧体会知识的意义建构袁从真正意义上发展学生的数学学科核心素养.教学实践24