2015-2016学年七年级数学上册期中检测试题2.doc

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山东省莱芜实验中学2014～2015学年度七年级上学期期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下面是实验中学初二的同学为自己班设计的几个班徽，是轴对称的有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

2．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪去一个角，则所得图形展开后是（　　）

　 A． B． C． D．

3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若AB=m，CD=n，则△ABD的面积等于（　　）

　 A． mn B． C． 2mn D．

5．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

　 A． 6cm B． 12cm C． 13cm D． 16cm

6．如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（　　）

　 A． 60° B． 65° C． 75° D． 80°

7．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（　　）
　 A． 12 B． 16 C． 20 D． 16或20

8．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（　　）

　 A． △ABD≌△ACD B． AF垂直平分EG
　 C． 直线BG，CE的交点在AF上 D． △DEG是等边三角形

9．如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（　　）

　 A． 5 B． 6 C． 3 D． 4

10．E为正方形ABCD内部一点，且AE=3，BE=4，∠E=90°，则阴影部分的面积为（　　）

　 A． 25 B． 12 C． 13 D． 19

11．若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，则（　　）
　 A． △ABC是直角三角形且∠C=90° B． △ABC是锐角三角形
　 C． △ABC是直角三角形且∠B=90° D． △ABC是直角三角形且∠A=90°

12．如图，△ABC≌△ADE，则下列结论成立的是（　　）
①AB=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=80°，④BC=DE．

　 A． ① B． ①② C． ①②③ D． ①②③④

二、填空题（每小题4分，共20分）
13．若三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是16cm，则最小边的长是　　　　　　．

14．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是　　　　　　cm．

15．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB=　　　　　　．

16．△ABC中，DE分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则阴影部分的面积是　　　　　　．

17．△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值为　　　　　　．

三、解答题
18．先化简，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5．

19．如图是一个四边形的边角料，木工师傅通过测量，获得了如下数据：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工师傅由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为木工师傅的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？请求出木料的面积．

20．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．
请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；
AE∥CF．

21．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

22．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？

23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　　　　　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　　　　　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

2014015学年山东省莱芜实验中学2014～2015学年度七年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下面是实验中学初二的同学为自己班设计的几个班徽，是轴对称的有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念求解．
解答： 解：第二个、第三个图形是轴对称图形．
故选B．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪去一个角，则所得图形展开后是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 剪纸问题．
分析： 把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．
解答： 解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，
故选C．
点评： 此题主要考查剪纸问题，此类问题根据图示进行折叠，然后剪纸，可直接得到答案．

3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．
解答： 解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，
∴C′D=CD，
∴C′D=AB，
∵AB=2，
∴C′D=2．
故选B．
点评： 本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若AB=m，CD=n，则△ABD的面积等于（　　）

　 A． mn B． C． 2mn D．

考点： 角平分线的性质．
分析： 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，然后由三角形的面积公式进行解答即可．
解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，CD=n，
∴DE=CD=n，
∵AB=m，
∴△ABD的面积是：AB•DE=mn．
故选：B．

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

5．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

　 A． 6cm B． 12cm C． 13cm D． 16cm

考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．
解答： 解：将圆柱体展开，连接DC，

圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，
根据两点之间线段最短，
CD==13（cm）．
而走B﹣D﹣C的距离更短，
∵BD=5，BC=，
∴BD+BC≈12．
故选：B．
点评： 本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

6．如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（　　）

　 A． 60° B． 65° C． 75° D． 80°

考点： 平行线的性质．
分析： 根据三角形外角性质求出∠EOB，根据平行线性质得出∠C=∠EOB，代入即可得出答案．
解答： 解：∵∠A+∠E=75°，
∴∠EOB=∠A+∠E=75°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EOB=75°，
故选C．

点评： 本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，关键是得出∠C=∠EOB和求出∠EOB的度数．

7．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（　　）
　 A． 12 B． 16 C． 20 D． 16或20

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解答： 解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

8．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（　　）

　 A． △ABD≌△ACD B． AF垂直平分EG
　 C． 直线BG，CE的交点在AF上 D． △DEG是等边三角形

考点： 轴对称的性质．
分析： 认真观察图形，根据轴对称图形的性质得选项A、B、C都是正确的，没有理由能够证明△DEG是等边三角形．
解答： 解：A、因为此图形是轴对称图形，正确；
B、对称轴垂直平分对应点连线，正确；
C、由三角形全等可知，BG=CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确；
D、题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误．
故选D．
点评： 本题考查了轴对称的性质；解决此题要注意，不要受图形误导，要找准各选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．

9．如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（　　）

　 A． 5 B． 6 C． 3 D． 4

考点： 勾股定理；平行线的性质．
分析： 由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长．
解答： 解：∵EF∥AB，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠A+∠B=50°+40°=90°，
∴∠C=90°，
设CF=x，则EF=x+1，
根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
即32+x2=（x+1）2，
解得：x=4，
∴EF=4+1=5，
故选：A．
点评： 本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

10．E为正方形ABCD内部一点，且AE=3，BE=4，∠E=90°，则阴影部分的面积为（　　）

　 A． 25 B． 12 C． 13 D． 19

考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
解答： 解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，
∴正方形的面积是5×5=25，
∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，
∴阴影部分的面积是25﹣6=19，
故选D．
点评： 本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．

11．若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，则（　　）
　 A． △ABC是直角三角形且∠C=90° B． △ABC是锐角三角形
　 C． △ABC是直角三角形且∠B=90° D． △ABC是直角三角形且∠A=90°

考点： 勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
分析： 先将式子变形为（a﹣4）2+（b﹣5）2+|c﹣3|=12，找到满足式子的一组值，根据勾股定理的逆定理即可求解．
解答： 解：a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，
a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|c﹣3|=12，
（a﹣4）2+（b﹣5）2+|c﹣3|=12，
当a=6，b=7，c=7时，满足上面的式子，
∵62+72＞72，
∴△ABC是锐角三角形．
故选：B．
点评： 考查了勾股定理的逆定理，配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是将式子变形为（a﹣4）2+（b﹣5）2+|c﹣3|=12．

12．如图，△ABC≌△ADE，则下列结论成立的是（　　）
①AB=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=80°，④BC=DE．

　 A． ① B． ①② C． ①②③ D． ①②③④

考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据△ABC≌△ADE，可得其对应边对应角相等，即可得AB=AD，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE；由∠DAC是公共角易证得∠BAD=∠CAE，已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，即可求得∠BAC的度数．
解答： 解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，BC=DE，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE；
∵∠DAC是公共角
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，
∴∠CAE=40°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=120°﹣40°=80°．
故选D．
点评： 本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边．

二、填空题（每小题4分，共20分）
13．若三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是16cm，则最小边的长是　8cm　．

考点： 含30度角的直角三角形．
分析： 根据三角形的内角和等于180°求出最大角和最小角，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解答： 解：∵三角形三内角的度数之比为1：2：3，
∴三角形的最大的内角度数是：180°×=90°，
最小的内角度数是：180°×=30°，
∴此三角形是有一个锐角是30°的直角三角形，
∵最大边的长是16cm，
∴则最小边的长是16×=8cm．
故答案为：8cm．
点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并求出此三角形是有一个锐角是30°的直角三角形是解题的关键．

14．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是　3　cm．

考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 由已知条件，根据垂直平分线的性质得出AB=BC，可得到∠ABD=∠DBC，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到答案．
解答： 解：过点P作PM⊥AB与点M，
∵BD垂直平分线段AC，
∴AB=CB，
∴∠ABD=∠DBC，即BD为角平分线，
又PM⊥AB，PE⊥CB，
∴PM=PE=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．得到三角形全等是正确解答本题的关键，也可直接应用角平分线的性质求解．

15．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，∠MDN=135°，则∠AMB=　70°　．

考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．
分析： 根据平行线的性质求出∠BAM，再由三角形的内角和定理可得出∠AMB．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠MDN=180°，
∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．
故答案为：70°．
点评： 本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同胖内角互补，及三角形的内角和定理．

16．△ABC中，DE分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则阴影部分的面积是　1　．

考点： 三角形的面积．
分析： 根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．
解答： 解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC=，S△ACD=S△ABC，
∴S△AEC=S△ABC==1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．

17．△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值为　9.8　．

考点： 等腰三角形的性质；垂线段最短；勾股定理．
分析： 若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．
解答： 解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，
设AP=x，则CP=5﹣x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，
∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，
∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP===4.8，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
故答案为：9.8．

点评： 考查了等腰三角形的性质及勾股定理等知识，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从B向AC作垂线段BP，交AB于P，再利用勾股定理解题即可．

三、解答题
18．先化简，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5．

考点： 整式的混合运算—化简求值．
分析： 先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答： 解：﹣2+2ab2÷a
=4a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2+2b2
=4ab，
当a=3，b=5时，原式=4×3×5=60．
点评： 本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19．如图是一个四边形的边角料，木工师傅通过测量，获得了如下数据：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工师傅由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为木工师傅的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？请求出木料的面积．

考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理．
分析： 根据AB=3cm，BD=5cm，AD=4cm利用勾股定理逆定理可得AB2+AD2=BD2，因此∠A=90°；再利用勾股定理逆定理可判定∠DBC=90°，然后再计算出面积即可．
解答： 解：正确，
∵32+42=52，
∴AB2+AD2=BD2，
∴∠A=90°，
∵122+52=132，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠DBC=90°，
∴木料的面积为：×4×3+×12×5=6+30=36（cm2）．
答：木工师傅的判断正确，木料的面积为36cm2．
点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

20．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．
请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；
AE∥CF．

考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据SSS推出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可．
根据全等三角形的性质推出∠AED=∠CFB，求出∠AEO=∠CFO，根据平行线的判定推出即可．
解答： 解：（1）∵在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF（SSS），
∴∠D=∠B．

∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE∥CF．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等．

21．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

考点： 轴对称-最短路线问题．
专题： 应用题．
分析： 先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
解答： 解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则A′B就是最短路线，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B=DA==17km，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．

点评： 本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

22．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？

考点： 勾股定理的应用；方向角．
分析： 根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
解答： 解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．

点评： 此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形．

23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．
分析： （1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
解答： 解：（1）答案为：=．

答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．

（3）解：分为四种情况：
如图1：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．

如图2，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴=，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴=，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣=，
∴CD=2CM=1；
如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；

如图4
∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．

点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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