福建省福州六中学2022年九年级数学第一学期期末预测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某同学用一根长为（12+4π）cm的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA＝6cm，则扇形的面积是（　　）

A．12πcm2 B．18πcm2 C．24πcm2 D．36πcm2
2．顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形
3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
5．已知点是一次函数的图像和反比例函数的图象的交点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
6．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则k的值为（　）
A．－2 B．12 C．6 D．－6
7．把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（ ）
A．9 B．12 C．-14 D．10
8．如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（　　）

A． B． C． D．21
9．如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）

A． B． C． D．
10．半径为R的圆内接正六边形的面积是（　　）
A．R2 B．R2 C．R2 D．R2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知：如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，则为__________度．

12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2020次得到正方形，那点的坐标是__________．

13．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为____．
14．已知抛物线，那么点P（-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是______．
15．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是_______．

16．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，且，则__________.

17．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC=_________cm．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线与直线交于A、B两点.点A的横坐标为－3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，；
（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20．（6分）文具店有三种品牌的6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，已知（一次拿到7元本）．
（1）求这6个本价格的众数．
（2）若琪琪已拿走一个7元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．
21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，其中点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求点坐标；
根据图象，直接写出不等式的解集．

22．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为（每个方格的边长均为个单位长度）.
（1）将以点为旋转中心，逆时针旋转度得到，请画出；
（2）请以点为位似中心，画出的位似三角形，使相似比为.

24．（8分）小刚将一黑一白两双相同号码的袜子放进洗衣机里，洗好后一只一只拿出晾晒，当他随意从洗衣机里拿出两只袜子时，请用树状图或列表法求恰好成双的概率．
25．（10分）某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？
26．（10分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】首先根据铁丝长和扇形的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的圆心角，然后代入扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵铁丝长为（12+4π）cm，半径OA＝6cm，
∴弧长为4πcm，
∴扇形的圆心角为：＝120°，
∴扇形的面积为：＝12πcm2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式及弧长公式，难度不大．
2、A
【解析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．
【详解】解：连接AC、BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，
∴EH＝AC，
同理FG＝AC，
∴EH＝FG，
同理EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故选：A．

【点睛】
本题考查了中位线的性质,平行四边形的判定,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.
3、B
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，建立关于k的等式，求出k．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝62−4×1×k＝36−4k＝0，
解得：k＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
4、B
【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°．
【详解】解：连接OC、OD，
∵AD＝CD，
∴，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴AOD＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝，即∠DAE＝65°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆中弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理和三角形内角和，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握圆心角，弧，弦之间的关系.
5、C
【分析】把代入一次函数和反比例函数分别求出k和m,再将这两个函数解析式联立组成方程组，解出方程组再结合图象进行判断即可.
【详解】解：依题意，得：
2k+1=3和
解得，k=1，m=6
∴
解得， 或 ，
函数图象如图所示：

∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或.
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用图象确定不等式的取值范围，准确画出图形，利用数形结合是解题的关键.
6、D
【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
【详解】∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-1．
故选：D．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
7、B
【解析】y=x2-2x+3=(x-1)2+2，将其向上平移2个单位得：y= (x-1)2+2+2= (x-1)2+4，再向左平移3个单位得：y= (x-1+3)2+4= (x-1+3 )2+4= (x+2)2+4=x2+4x+8，所以b=4，c=8，所以b+c=12，故选B.
8、C
【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴4x＝，
即菱形的最大周长为cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．
9、D
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可.
【详解】俯视图为从上往下看，
所以小正方形应在大正方形的右上角，
故选D.
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键.
10、C
【分析】连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积．
【详解】解：如图示，连接OE、OD，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=R，
∴△ODE是等边三角形，
作OH⊥ED，则
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆的知识，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】结合旋转前后的两个图形全等的性质以及平行线的性质，进行计算．
【详解】解：∵AA′∥BC，
∴∠A′AB=∠ABC=65°．
∵BA′=AB，
∴∠BA′A=∠BAA′=65°，
∴∠ABA′=1°，
又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'，
∴∠CBC′=∠ABA′=1°．
故答案为：1．

【点睛】
本题考查旋转的性质以及平行线的性质．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
12、（-1，-1）
【分析】连接OB，根据图形可知，点B在以点O为圆心、、OB为半径的圆上运用，将正方形OABC绕点O逆时针依次旋转45°，可得点B的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是8次一个循环，进而得出结论．
【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1,1），
连接OB，由勾股定理可得 ，由旋转的性质得：
将正方形OABC绕点O逆时针依次旋转45°，得：
，
∴，，，，…，可发现8次一循环，
∵，
∴点的坐标为,
故答案为．
【点睛】
本题考查了几何图形的规律探究，根据计算得出“8次一个循环”是解题的关键．
13、
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出P坐标落在双曲线上的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表得：

所有等可能的情况数有36种，其中P（x，y）落在双曲线y=上的情况有4种，
则P==．
故答案为
【点睛】
本题考查列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征，掌握概率的求法是解题关键．
14、（1，4）.
【解析】试题解析：抛物线的对称轴为：
点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是
故答案为
15、x＜－1或x＞1
【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞1，
故答案为：x＜－1或x＞1．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
16、6
【分析】根据三角形的面积等于即可求出k的值.
【详解】∵由题意得：=3，
解得，
∵反比例函数图象的一个分支在第一象限，
∴k=6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握三角形的特点与k的关系是解题的关键.
17、6
【分析】由切线长定理可知PA=PB，由垂径定理可知OP垂直平分AB，所以OP平分，可得,利用直角三角形30度角的性质可得OA、OP的长，即可.
【详解】解：PA，PB是⊙O的两条切线
，
由垂径定理可知OP垂直平分AB，
OP平分，

在中，
在中，

故答案为：6
【点睛】
本题主要考查了圆的性质与三角形的性质，涉及的知识点主要有切线长定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质，灵活的将圆与三角形相结合是解题的关键.
18、1
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC＝×2＝1，再相加即可．
【详解】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC＝×2＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）y=x1+4x-1；（1）∴m=,-1，或-3时S四边形OBDC=1SS△BPD
【解析】试题分析：（1）由x=0时带入y=x-1求出y的值求出B的坐标，当x=-3时，代入y=x-1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（1）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和1S△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如图1，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有,可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．
试题解析：
∵y=x-1，∴x=0时，y=-1，∴B（0，-1）．
当x=-3时，y=-4，∴A（-3，-4）．
∵y=x1+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，∴
∴∴抛物线的解析式为：y=x1+4x-1；
（1）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m1+4m-1），D（m，m-1）
如图1①，作BE⊥PC于E， ∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m1，
∴PD=1-4m-m1-1+m=-3m-m1，
∴
解得：m1=0（舍去），m1=-1，m3=
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=1-4m-m1+1-m=1-4m-m1，

解得：m=0（舍去）或m=-3，
∴m=,-1，或-3时S四边形OBDC=1S△BPD；
）如图1，当∠APD=90°时，设P（a，a1+4a-1），则D（a，a-1），
∴AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m1，
∴DP=1-4m-m1-1+m=-3m-m1．
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴（1，0），
∴OF=1，∴CF=1-m．AF=4
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴
解得：m=1舍去或m=-1，∴P（-1，-5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=-3-m，EF=4，AF=4
PD=1-m-（1-4m-m1）=3m+m1．
∵PC⊥x轴，∵PC⊥x轴，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．

∴AD=(-3-m)
∵△PAD∽△FEA，
∴

∴m=-1或m=-3
∴P（-1，-5）或（-3，-4）与点A重合，舍去，
∴P（-1，-5）．
考点：二次函数综合题.
20、（1）众数是7；（2）①相同；见详解；②
【分析】(1)由概率公式求出7元本的个数，由众数的定义即可得出答案； 
(2)①由中位数的定义即可得出答案； 
②用列表法得出所有结果，嘉嘉两次都拿到7元本的结果有6个，由概率公式即可得出答案．
【详解】解:
（1）∵（一次拿到7元本），
∴7元本的个数为6×=4(个)，按照从小到大的顺序排列为4，5， 7，7，7,7,
∴这6个本价格的众数是7.
（2）①相同；
∵原来4、5、7、7、7、7，∴中位数为，
5本价格为4、5、7、7、7，中位数为7，
∴，∴相同.
②见图
第一个
第二个
4
5
7
7
7
4

5

7

7

7

∴（两次都为7）.
【点睛】
本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．
21、（1）y＝－x－2，y＝－，（2）C(1,-3)，（3）－3＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的表达式，进而求出A点坐标，然后再将A点坐标代入反比例函数中即可求出反比例函数的表达式；
（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出C点坐标；
（3）根据两交点坐标及图象即可得出答案．
【详解】解：（1）由点B（－2，0）在一次函数y＝－x＋b上，得b＝－2，
∴一次函数的表达式为y＝－x－2，
由点A(－3，m)在y＝－x－2上，得m＝1，∴A(－3，1)，
把A(－3，1)代入数y＝（x＜0）得k＝－3，
∴反比例函数的表达式为：y＝－，
（2） 解得 或
∴C（1， －3）
（3）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，根据图象可知此时
－3＜x＜0或x＞1．
∴不等式的解集为－3＜x＜0或x＞1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
22、（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析
【分析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直线解析式为y＝x+1，即可求M点；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后分别尺规作图即可．
【详解】解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，
可得a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6），
∴C'（5，6），
设直线BC'的解析式为y=kx＋b
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

解得：
∴直线BC'的解析式为y＝x+1，
将x＝代入，解得y=
∴M（，）；
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；
故存在5个满足条件的P点．

【点睛】
此题考查的是求二次函数的解析式、求两线段之和的最小值和尺规作图，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间线段最短和用尺规作图作等腰三角形是解决此题的关键．
23、（1）见详解；（2）见详解.
【分析】（1）根据旋转的规律，将点A、B围绕O逆时针旋转90°，得到A1、B1，连接O、A1、B1即可；
（2）连接OA并延长到A2，使OA2=2OA，连接OB并延长到B2，使OB2=2OB，然后顺次连接O、A2、B2即可；
【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求作三角形；
（2）如图，△OA2B2即为所求作三角形；

【点睛】
本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
24、．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好成双的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好成双的有4种情况，
∴恰好成双的概率为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、 (1)每件玩具的售价为80元；(2)每件玩具的售价为85元时，每天盈利最多，最多盈利1250元.
【分析】（1）根据题意，可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：(1)设每件玩具的售价为元，
，解得：，，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴，
答：每件玩具的售价为80元；
(2)设每件玩具的售价为元时，利润为元，
，
即当时，有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店每天盈利最多，最多盈利1250元.
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26、（1）证明见解析；（1）BC=1.
【解析】试题分析：（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（1）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
试题解析：（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（1）解：∵⊙O的半径为1，
∴OB=1，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=1．

考点：切线的判定