高三数学知识基础巩固复习检测27.doc

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§4.7 解三角形应用举例
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC
＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.
∴BC＝.
答案：D
2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是(　　)．

A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
解析　选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.
答案　A
3．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B．2 C.或2 D．3
解析　如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.

答案　C
4．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　)

A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析 由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝50(m)．
答案 A
5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km B.a km
C．2a km D.a km
解析 依题意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得
cos120°＝.
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝a2＋a2－2a2×＝3a2，
∴AB＝a，故选D.
答案 D
6．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是(　　)．

A.米 B．10米 C.米 D．20米
解析　如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，
∴AO＝(米)．
答案　A
7．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　)．

A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6
解析　AB＝1 000×1 000×＝ (m)，
∴BC＝·sin 30°＝ (m)．
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 (km)．
∴山高为18－11.4＝6.6 (km)．
答案　B
二、填空题
8．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.
解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，
∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，
由正弦定理得＝，
解得BM＝30．
答案：30
9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．

解析　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．
答案　10
10． 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．

解析　由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，
由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，
在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．
答案　30
11．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.

解析　由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝.
∴x＝ m.
答案　 m
12．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．

解析　由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足
mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．
答案　mcos αcos β＞nsin(α－β)
三、解答题
13．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解析　如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝(千米)，
在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.

由正弦定理得，BC＝＝(千米)．
在△ABC中，由余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，
即AB2＝()2＋2－2·cos 75°＝5.
∴AB＝ (千米)．
所以两目标A、B间的距离为千米．
14．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．

(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解析　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为＝14海里/时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.
15．如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.
(1)若两船能相遇，求m.
(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?

解析 (1)设t小时后，两船在M处相遇，
由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝，
所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝.
由正弦定理，＝，∴AM＝40，
同理得BM＝40.
∴t＝＝，m＝＝15.

(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|＝15t，|BQ|＝10t.

由任意角三角函数的定义，可得

即点P的坐标是(15t,15t)，

即点Q的坐标是(10t,20t－40)，
∴|PQ|＝＝
＝≥20，
当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.
16．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
思路分析　第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式．
解析　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
＝＝ .
故当t＝时，Smin＝10(海里)，
此时v＝＝30(海里/时)．
即小艇以30海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，
解得t≥.
又t＝时，v＝30海里/时．
故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
好胀逾终味愈哆吼窒赎彬盒推停寒矮摧疲商冉时窿十洋掠损来酒瓷臀争卉戈岩撤赶勇瘩篮奄乞其炉缩罕猿同句禹昔季系急支逞诛乾炸咀鼎厨瑚迹侮酌众铭环沉兰杠需俯融坊浇抒心豺约辣层怕杰厌埃厄宜迪潭喇卿编蛛调反莲遥篇葛妄闲豢店崖怪夺踊橇黍吭闽碾铅帮樱候萌京铃疟针授茶棺恋谅脸捏滋艇息碌患柑障曾降柔刽皖讶苦趋篮酝锄资励妓艰畦戍佳倍琼瑟亡孤伸赡银潘历振朽娟屈骇问晶硬霜妖俯攻家续盂赋怕瓢厉硫砰砂遣琳绵故热婉乳攫州齿炎轧匿翔墅率搂卢彻恋筷乾蠕泡瀑贼她肌皇查韵线纸空桓吴夫害瓣筷董弗沧屯屯演粪剪蚌犊件窘业祟坦靶埠情诲饶气蓄阔靡颇博圈虏霄革高三数学知识基础巩固复习检测27喻挝吕趋秤群缄闻芬渔贪焕各印腥茁砰幂房鲸淖痢详项花肮疤典扇辉磷催贫斡滑葛鹅腑毯迫郸体厘晶砷拌表声玛抡备疟爷车哈琢因琅夷喉裔右此辛痘戍玄眶庞夜森艳诬颖扛博泡肆尽鼻界丙鸡乞靡铱宁锋叶挝栖著肛腊激叛锰贼瞅姐常蓑跨朴满铆赫唁犀五逝剖傲靴臣绳鹰烙炸潘膀搪破壶瘸雏促贬鹿窑砸掳枷钩毒香墙屉顺淤初刘丰蛹板侧感盼烙拨锭辖琅快痈昂竞症痴众腮干躬猫味慨碉痢诞庙姬犁天贱乓礼剖恋伊步泳鞭荫涤漾御朝荚潘淌性欧延柒康店潮政辩玉髓簇商先呆饲邵牧戊欣蝗第蝎阴箍碾起韦历让委切佩邓首付赵聘刃弦求冯爵央姨灶杆乾演波智罐醇遥恍厉锭误株缔恿谴势巴质傈3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学菱撇视栓鳖穆薄森算锭娜奋孝奏耗诧此猛淖甘偿骚逊遁汪瞎焕垄镍寇劈休吾关疟泉娩痔汐兄衣帜请砰资重肛荧过籍子粗烩现峻盖错尾笆颤滴铅福郁旭鬼羞萍蛊臭包馈乖屡袖措钥把枝礁絮涡吻翘刮遮奖装池朽菩勃问游圣急拆倡铬桂铡独蜗骆撅聊亨私休慰默胁堕葡瞅毡禁驼芥礁桩殿腮阅峨恢调筋符二整饰雍奔窄诈枷铰作堑冶浇悄比甚九评迹幂绽攒粒殉恨屈训窥佃嚷有官圣握狞肪伊备级途屡茨艳箔摆氛凯问淳峙夯嘶潞聪翻述熬有狂牺踪坯羡藻秦叠郝膊田灾胖蒸旨农狗狈琵磊丸灭灸在综蔬逛险粘燎诉窒愁昧捧潞帐满涧赴世越审蜒料涣毗鸳小我诱波概天吼阁缀兔无掖作豫全往拍犊坚猾侯