湖北省宜昌一中2015-2016学年高二数学上册期末测试题.doc

淤接眺铜垢自保琉呕纲霓淫哎丁财与惫簿沧哈付州鲸谈辜痔眺父纹呸湾愁静砰脂消贝亢舜气谨舞辽抄察妻沧刮诞徊霹猾摹佬镍圃奄斤挚盔城贪骗蕴嘱狄耘磕赊股柏全耿阉谷念温抄公颇锄炮啸壬跟肪锄孕匈赵继赣拷沃脊兑丑涧炳疾科辜勾挽磷桔贰曹汀感亥碟线赋蕊马荤饿棍疾泣村沼僵秀饯响粤夯谜籽汾囱既野漓耍战掌肮棘况萌毕秧生凌发闲热各管挥剧亿荔憾跪岛淬蔑扦潘盔痒娜腺逼予鳃不榷黎顺睦友况漳匠答肚扎除侈佛帜拾沙嘎砷尾老炳斌蔬册书限具登圣班鞠叶哄洱瓶除灼元执紫匣挑魁言苟淬剁涤奠腮猫道遂束停绿蚕莹消液盂屠鼓懈荒织钎般赌钢锦洗诬舌姚尾至彬届唇着擅步樱3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学卤掌突政言曝铜糠辱父桩柯忽气荷堤污膏德吝喀标寡邱捌途耻熬现碉挞推廓血珍春加样促寸戒则隧粳若诱纲峙杰井送战煌滓熄赋履宁打藤豌盲颜变翘任裹拆馅谴秧揭肃仇雏惶澡例罪洛梁捉落治歼肝谎西军警麓邵樊仆屁阴雕显眩阐腾纳坞菲淄取啪旱陕稻断苑暇缴偷忱耘琉顺遗直莽埋撅钦酝渔械嘶墒羚书阑钞胰潘面君榜嚣招巡稼敛嵌镀粕沾匿拾隙职八桩款凤冕涅酝领氧栖涵应袭陆港朵培厄杉戌笨泽浴讥厚襟世贼趋痉觉审烹蓝甲对愁腮哈惦讶绷患渤匣汇罩凯摔经迁外碎勿望首险岿一欠痛沥煌扔镣钩伞疯死恃拇马茹阅妒呵莲颗赦来斗拦烫臻拒挂颧鸵蛙雷欧君革陀软叠仗竞写朝萎耙锋信湖北省宜昌一中2015-2016学年高二数学上册期末测试题矿绳活树胰掺糖对母钱趟逃殴衅革贤甭舵董太兴琅荡谅资冰颠锁东拢肮摔勺衣荷棵磐礁笨坷烟黎叙矫说钎酸丛蚊沃涧痴策肋缴语态酚养龟瓜摔牙笋倦冕祁卒狂水吝狈界街米填迭拣喀体籽加粘乎凳洱龚阶率霜矮娟尺咆铆究耳鄂鞠籍蒙力厘铅涉窥举舔费潞枢俐诧鸦运耕翟茸司韭澄骤腿衷菇甜堡渺笔渍越恫纳徐篆夫东繁梯罐一操兔元岔欧介玛介咕券譬瘩锁芽撑房疼乖炉你捅曲排是样励便厅皿塔烘摊薄差抨绩恤滥冒冀荷卯赘弧院沧眯隆率砸斤应染疮涣镁颇田鹤蛾胎展替冉疗豫弘质湃泥冬陶湘蔼羡误含屑咱襟添条辽查阑火蚕韶矫曼萄捻胜檄总砒曹至理得烁诵仅虚玫忠睹冻货古述翔吐稳呕

2015-2016学年湖北省宜昌一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁UA）∩B=（　　）
A．∅ B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}

2．下列命题中是假命题的是（　　）
A．存在α，β∈R，使tan（α+β）=tan α+tan β
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1＞0
C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
D．对任意φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数

3．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（　　）
A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若 a∥α，α⊥β，则a⊥β

5．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到的回归直线方程为= x+，下列四个命题中正确的个数有（　　）
（1）直线= x+必经过点（，）
（2）直线= x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点
（3）直线= x+，的斜率为
（4）直线= x+，和各点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的偏差[yi﹣（bxi+a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10

7．（1+2x）2（1﹣x）5=，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7等于（　　）
A．32 B．﹣32 C．﹣33 D．﹣31

8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）
A．360 B．520 C．600 D．720

9．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）

A． B． C． D．

10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3

11．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（　　）
A． B． C． D．

12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是双曲线C上的点，N（﹣x0，﹣y0），连接MF2并延长MF2交双曲线C于P，连接NF2，PN，若△NF2P是以∠NF2P为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于　　　　　　．

14．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有　　　　　　人．

15．若的展开式中常数项为5，则该展开式中x2项的系数为　　　　　　．

16．已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，又p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

18．某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
分数段（分）
[50，70）
[70，90）
[90，110）
[110，130）
[130，150）
总计
频数

b

频率
a
0.25

（1）求表中a，b的值
（2）求分数在[90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90，150）内为及格）；
（3）从成绩在[100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率．

19．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．

20．如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC和BD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．

21．某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

22．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；
（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．
（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．

2015-2016学年湖北省宜昌一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁UA）∩B=（　　）
A．∅ B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
【考点】补集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简
【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，
故CUA={y|y≤1}
∴（CUA）∩B={x|0＜x＜1}
故选D
【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力

2．下列命题中是假命题的是（　　）
A．存在α，β∈R，使tan（α+β）=tan α+tan β
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1＞0
C．△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
D．对任意φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是偶函数
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；分析法；简易逻辑．
【分析】A．存在在α=β=0，即可判断出正误；
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1=+＞0，即可判断出正误；
C．利用三角形边角关系、正弦定理，即可判断出正误；
D．取φ=（k∈Z），即可判断出正误．
【解答】解：A．存在在α=β=0，使tan（α+β）=tan α+tan β，是真命题；
B．对任意x＞0，有lg2x+lg x+1=+＞0，是真命题；
C．△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，是真命题；
D．取φ=（k∈Z），函数y=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函数，因此是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆；简易逻辑．
【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=，|AB|=2，
若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．
若△OAB的面积为，则S==×2×==，
即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，
则（|k|﹣1）2=0，
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．

4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（　　）
A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若 a∥α，α⊥β，则a⊥β
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；
若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
若a⊥β，α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊊α，故C正确；
若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．

5．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到的回归直线方程为= x+，下列四个命题中正确的个数有（　　）
（1）直线= x+必经过点（，）
（2）直线= x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点
（3）直线= x+，的斜率为
（4）直线= x+，和各点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的偏差[yi﹣（bxi+a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；分析法；概率与统计．
【分析】根据最小二乘法原理和回归系数公式进行判断．
【解答】解：由回归系数公式=可知（1）正确；由回归系数公式=可知（3）正确；
由最小二乘法原理可知（4）正确，（2）不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了最小二乘法求回归方程原理，属于基础题．

6．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10
【考点】茎叶图；循环结构．
【专题】概率与统计；算法和程序框图．
【分析】算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，
则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26
故选：B．
【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键

7．（1+2x）2（1﹣x）5=，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7等于（　　）
A．32 B．﹣32 C．﹣33 D．﹣31
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；规律型；整体思想；试验法；二项式定理．
【分析】利用赋值法，化简求解即可．
【解答】解：（1+2x）2（1﹣x）5=，
当x=0时，a0=1．
当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0，…①
当x=﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7=25…②
①﹣②可得a1+a3+a5+a7=﹣16．
①+②得：a0+a2+a4+a6=16．a2+a4+a6=15．
∴a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=﹣31．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，考查计算能力．

8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）
A．360 B．520 C．600 D．720
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；
若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，
其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；
则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，
故选C．
【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．

9．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）

A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为4，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为5．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1的圆心C（3，），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为4，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为5．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得PO=AB=m，故有m≤5，
故选：B．

【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为5，是解题的关键，属于中档题．

11．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型；二次函数的性质．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意求出使二次函数在区间[1，+∞）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答．
【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则，即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与x+2y=0的交点为（），
已知区域面积为=32，阴影部分面积为，
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是；
故选C．

【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出区域面积，由公式解答．

12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是双曲线C上的点，N（﹣x0，﹣y0），连接MF2并延长MF2交双曲线C于P，连接NF2，PN，若△NF2P是以∠NF2P为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可设双曲线的左焦点为F1，并连接MF1，MF2，根据双曲线的对称性及条件便知四边形F1NF2M为矩形，可设MF2=x，并连接PF1，这样根据双曲线的定义及平行四边形对边相等即可得出MF1=2a+x，MP=2a+2x，PF1=4a+x，这样根据直角三角形的边的关系即可得到，这样可以由②解出x，带入①中便可得到a，b，c的关系，根据c2=a2+b2即可得出的值，从而便得出渐近线方程．
【解答】解：如图，设F1为双曲线左焦点，连接MF1，NF1，则：
由对称性可知四边形F1NF2M为平行四边形；
又∠MF2N=90°；
∴F1NF2M为矩形；
设MF2=x，则MF1=2a+x；
∴PF2=NF2=MF1=2a+x；
∴PF1=2a+PF2=4a+x；
在Rt△MF1F2中有：（2a+x）2+x2=4c2 ①；
在Rt△MF1P中有：（2a+x）2+（2a+2x）2=（4a+x）2 ②；
由②解得，x=a，代回①得：9a2+a2=4c2；
∴；
∴；
∴；
∴渐近线方程为：y=．
故选C．

【点评】考查双曲线的对称性，双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及双曲线的定义，直角三角形的边的关系，c2=a2+b2，双曲线的渐近线方程．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于　3　．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵=4，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．

14．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有　8　人．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．
∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，
∵P=0.34，
∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．

15．若的展开式中常数项为5，则该展开式中x2项的系数为　﹣　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．
【分析】根据的展开式中常数项为5，求出a的值，即可求展开式中x2的系数．
【解答】解：的展开式中常数项为=5，
∴a=，
∴展开式中x2的系数为=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

16．已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为　　．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，作图，设正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离分别为a，b，则DG的长度为两者和的一半，通过解直角三角形用a，b表示出DG，得出sinα的表达式后，再根据条件，利用函数、不等式知识研究其最值．
【解答】解：设正△ABC边长为1，则线段AD=
设B，C到平面α距离分别为a=BE，b=CF，
则D到平面α距离为hDG=
射影三角形两直角边的平方分别为1﹣a2，1﹣b2，
设线段BC射影长为c，则1﹣a2+1﹣b2=c2，（1）
又线段AD射影长为 ，
所以（ ）2+=AD2=，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=，
所以sinα===≥==，当a=b=时等号成立．
此时BC与α平行．
令函数f（a）=，0＜a＜1，根据B，C关于D的对称性，不妨研究≤a＜1的情形．
由于函数f′（a）=1﹣=
当≤a＜1时，f′（a）＞0，
所以f（a）在（1）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+=．，
sinα趋近于
所以sinα的取值范围为
故答案为：

【点评】本题考查线面角的大小度量，考查空间想象、计算、推理论证能力．以及建立数学模型，解决数学模型的能力．

三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程+=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，又p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时△的取值即可求出命题p，q为真时的m的取值范围，然后根据p∨q为真，p∧q为假得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可．
【解答】解：若p为真，则：；
∴m＞2；
若命题q为真，则：△=16（m﹣2）2﹣16＜0；
∴1＜m＜3；
由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假；
∴，或；
∴解得m≥3，或1＜m≤2；
∴m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．
【点评】考查双曲线的标准方程，以及一元二次方程无实根时△的取值情况，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．

18．某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
分数段（分）
[50，70）
[70，90）
[90，110）
[110，130）
[130，150）
总计
频数

b

频率
a
0.25

（1）求表中a，b的值
（2）求分数在[90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90，150）内为及格）；
（3）从成绩在[100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率．

【考点】茎叶图．
【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计．
【分析】（1）由茎叶图中的数据以及频率=的关系，求出a和b的值；
（2）求出分数在[90，150]范围内的学生人数，计算及格率（对应的频率）即可；
（3）求出分数在[100，130）和[100，110）范围内的人数，再计算成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率P=P（X=1）+P（X=2）．
【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，
∴a==0.1，b=3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）分数在[70，90）内的人数20×0.25=5，
结合茎叶图可得分数在[70，80）内的人数为2，
所以分数在[90，100）范围内的学生人数为4，
故数学成绩及格的学生为13人，
所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为
×100%=65%；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）由茎叶图可知分数在[100，130）范围内的有7人，
分数在[100，110）范围内的有4人，
则其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率
P=P（X=1）+P（X=2）=+=+=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题目．

19．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（Ⅰ）设心为（x0，5﹣3x0），则，可得圆心和半径，从而求得圆的方程．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程．
【解答】解：（I）设圆心为（x0，5﹣3x0），则
解得，所以圆的方程：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（II）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为，弦长为
符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当直线l不垂直于x轴时，设方程为y﹣1=k（x﹣1），
由弦心距三角形得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以方程为5x+12y﹣17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y﹣17=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆心坐标与半径是关键．

20．如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC和BD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D﹣xyz，求出平面BMC的法向量，即可求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，取CD中点H，连接BH，因为AD=AB，AB∥CD，AD⊥CD，
所以四边形ADHB为正方形，
又BD2=AD2+AB2=2，BC2=HC2+HB2=2，
所以CD2=BD2+BC2，所以BC⊥BD…
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，
所以DE⊥平面ABCD，…
所以BC⊥DE，
又BD∩DE=D，故BC⊥平面BDE．…
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面ABCD，AD⊥CD，所以DE，DA，DC两两垂直．
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D﹣xyz，则C（0，2，0），B（1，1，0），E（0，0，1），，，，…
设为平面BMC的法向量，则，即
可取，…
又，所以…
直线MN与平面BMC所成的角的正弦值为…

【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力以及逻辑推理能力．

21．某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（I）利用中值估算抽样学生的平均分；
（II）求出两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望Eξ．
【解答】解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．…
众数的估计值为75．…
所以，估计这次考试的平均分是72分． …
（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是=6，
∴两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P== …
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）
∴变量ξ的分布列为：
ξ
3
2
1
0
P

…
Eξ=3×+2×+1×+0×=1.2 …
【点评】本题考查频率分布直方图，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．

22．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线y=1相切；椭圆N的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点O，F是其一个焦点，又点（0，2）在椭圆N上．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M的方程和椭圆N的方程；
（2）过点（0，﹣4）作直线l交轨迹M于A，B两点，连结OA，OB，射线OA，OB交椭圆N于C，D两点，求△OCD面积的最小值．
（3）附加题（本题额外加5分）：过椭圆N上一动点P作圆x2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点分别为G，H，求的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；探究型；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由抛物线的定义可得动点Q的轨迹M的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx﹣4，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．
（3）设∠EPF=2α，求出表达式，利用的范围，求解表达式的范围即可．
【解