2022年山东省临沂市临沂经济开发区数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．某商品先涨价后降价，销售单价由原来元最后调整到元，涨价和降价的百分率都为．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．图所示，已知二次函数的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线.给出以下四个结论:①；②；③；④.正确的有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
4．若. 则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
6．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（ ）

A．3 B． C． D．4
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
9．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）．
A． B． C． D．
10．当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=在同一坐标系中的图象（　）
A． B． C． D．
11．二次根式中x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣2
12．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在正方形中，以为边作等边，延长，分别交于点，连接、、与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__________．

14．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1 000
2 000
5 000
发芽种子粒数
85
318
652
793
1 604
4 005
发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．
15．如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.

16．数据1、2、3、2、4的众数是______．
17．如果线段a、b、c、d满足，则 =_________.
18．一元二次方程的解是_________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）为了改善生活环境，近年来，无为县政府不断加大对城市绿化的资金投入，使全县绿地面积不断增加．从2016年底到2018年底，我县绿地面积变化如图所示，求我县绿地面积的年平均增长率．

20．（8分）解方程：3x2﹣4x+1＝1．（用配方法解）
21．（8分）如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P,此时PA· PB=PC·PD

（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P, 上面的结论是否成立？请说明理由．
（2）如图（3）,将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C, 直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．
（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当 PC= ,PA=1时,阴影部分的面积．
22．（10分）小明和小亮两同学做游戏，游戏规则是：有一个不透明的盒子，里面装有两张红卡片，两张绿卡片，卡片除颜色外其他均相同，两人先后从盒子中取出一张卡片（不放回），若两人所取卡片的颜色相同，则小明获胜，否则小亮获胜．
（1）请用画树状图或列表法列出游戏所有可能的结果；
（2）请根据你的计算结果说明游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
23．（10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程；
（1）；
（2）．
24．（10分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点C的坐标为（﹣4，﹣1），则点C2的坐标为　 　．

25．（12分）如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距．
(1)求的值；
(2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．

26．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】涨价和降价的百分率都为，根据增长率的定义即可列出方程．
【详解】涨价和降价的百分率都为．根据题意可列方程
故选A．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程．
2、D
【解析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
3、C
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0以及函数经过原点即可判断①；根据x=-1时的函数值可以判断②；由抛物线的对称轴方程得到为b=3a，用求差法即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数得到△=b2-4ac＞0，则可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
则abc=0，所以①正确；
当x=-1时，函数值是a-b+c＞0，则②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=- ＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0，
∴a-b=-2a＞0
∴a＞b，则③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，所以④正确．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4、A
【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y．
A．，则2x=7y，故此选项正确；
B．，则xy=14，故此选项错误；
C．，则2y=7x，故此选项错误；
D．，则7x=2y，故此选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
5、A
【解析】先确定抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】解：抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），
因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），
所以把抛物线y=x1向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6、C
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．
【详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
7、C
【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，两点间的距离公式，掌握矩形的对角线的性质是解题的关键．
8、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9、D
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】解：
，
，
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
10、B
【分析】由系数即可确定与经过的象限.
【详解】解：
经过第一、三象限，经过第一、三象限，B选项符合.
故选：B
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的图像，灵活根据的正负判断函数经过的象限是解题的关键.
11、A
【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】由题意可知：x+2≥0，
∴x≥﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
12、D
【分析】由题意可知旋转角∠BCB′=60°，则根据∠ACB′=∠BCB′+∠ACB即可得出答案．
【详解】解：根据旋转的定义可知旋转角∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠BCB′+∠ACB =60°+25°=85°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查旋转的定义，解题的关键是找到旋转角，以及旋转后的不变量．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、①②③④
【分析】①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；②正确，通过计算证明∠BPD=135°，即可判断； ③正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断；④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ABC =∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在中，∠A=90°，∠ABE=30°，
∴，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=∠DPC=75°，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC =60°+75°=135°，故②正确；
∵∠ADC =90°，∠PDC=75°，
∴∠EDP=∠ADC -∠PDC =90°-75°=15°，
∵∠DBA=45°，∠ABE=30°，
∴∠EBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°，
∴∠EDP=∠EBD=15°，
∵∠DEP=∠BED，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵△PDE∽△DBE，
∴，
∴，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14、1．2
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．
【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，
∴该玉米种子发芽的概率为1.2，
故答案为1.2．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
15、
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=3；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的长易知，DF=3+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的长；
【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
即DG=AB=3；
∵∠ACB=60°，BD=DC=BC，AG=GC=AC，且BC=AC，
∴△CGD是等边三角形，
∵CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，
由垂径定理得：EM=MF，
故DE=GF，
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD×DC=DE×DF，
即DE×(DE+3)=3×3；
解得DE=或（舍去）；
∴EF=3+2×=；
【点睛】
本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.
16、1
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【详解】解：数据1、1、3、1、4中，
∵数字1出现了两次，出现次数最多，
∴1是众数，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
17、
【分析】设，，则，，代入计算即可求得答案.
【详解】∵线段满足，
∴设，，则，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例线段以及比例的性质，设出适当的未知数可使解题简便．
18、x1=0，x2=4
【分析】用因式分解法求解即可.
【详解】∵，
∴x(x-4)=0,
∴x1=0，x2=4.
故答案为x1=0，x2=4.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.

三、解答题（共78分）
19、年平均增长率为10%．
【分析】根据图表可知2016年底城市绿地面积300公顷，2018年底城市绿地面积363公顷，设年平均增长率是，则2017年的绿地面积是，2018年的绿地面积是，即可列出方程解答．
【详解】解：设这两年年平均增长率为x，则
300（x+1）2＝363，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合实际意义，舍去）
∴x＝0.1＝10%，
答：年平均增长率为10%．
【点睛】
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“”，下降用“”．
20、x1＝1，x2＝
【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．
【详解】3x2﹣4x+1＝1
3（x2﹣x）+1＝1
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
21、（1）成立，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）连接AD、BC，得到∠D=∠B，可证△PAD∽△PCB，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解；
（3）连接OC，根据 ,PC= ,PA=1求出PB=3 , AO=CO=1，PO=2 利用,得到AOC为等边三角形，再分别求出，即可求解.
【详解】解：（1）成立
理由如下：如图，连接AD、BC

则∠D=∠B
∵∠P=∠P
∴△PAD∽△PCB
∴=
∴PA· PB=PC·PD
(2)当PD与⊙O相切于点C时，
PC=PD，
由（1）得PA· PB=PC·PD
∴
(3)如图，连接OC

,PC= ,PA=1
PB=3 , AO=CO=1，PO=2
PC与 ⊙O相切于点C
PCO为直角三角形
,

AOC为等边三角形
=
==
=
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、切线的性质及扇形面积的求解公式.
22、（1）见解析；（2）不公平，对小亮有利，见解析.
【解析】（1）采用树状图法或者列表法解答均可；
（2）列举出所有情况，看两人所取卡片的颜色相同和不同的情况占总情况的多少即可判断．
【详解】解：（1）画树状图如下：

（2）不公平，理由如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中两种颜色相同的有4种结果，两种颜色不同的有8种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
因为 ＞，
所以小亮获胜的可能性大，
故此游戏不公平．
【点睛】
本题考查游戏的公平性，解题的关键是正确的列出表格或树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）；（2）x=1
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）根据题目中的方程，两边同时平方转化为有理方程，然后解方程即可，注意，最后要检验，所得的根是否使得原无理方程有意义．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得：x1=-1，x2=1，
经检验，x=1是原无理方程的根，x=-1不是原无理方程的根，
即方程，的解是x=1．
【点睛】
本题考查解无理方程、因式分解法，解答本题的关键是明确解方程的方法，注意无理方程最后要检验．
24、 (1)见解析,（2）图见解析；（4，1）
【解析】（1）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；
（2）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得到结论．
【详解】解：（1）所画图形如下所示，△A1B1C1即为所求；
（2）所画图形如下所示，△AB2C2即为所求．
点C2的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．

【点睛】
本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题和平移的性质，考查了利用直角坐标系解决问题的能力，关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数．
25、 (1)；(2)小岛、相距.
【解析】(1)如图，过点作，垂足为，在中，先求出DE长，然后在在中，根据正弦的定义由即可求得答案；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，在中，利用勾股定理求出BE长，再由矩形的性质可得，，继而得CF长，在中，利用勾股定理求出CD长即可.
【详解】(1)如图，过点作，垂足为，
在中，，，
∴
在中，，
∴；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
因此小岛、相距.

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相应三角形函数是解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
考点：相似三角形的判定