牡丹江市重点中学2022年数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．从这九个自然数中任取一个，是的倍数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2=1 B．
C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
3．池塘中放养了鲤鱼2000条，鲢鱼若干条，在几次随机捕捞中，共捕到鲤鱼200条，鲢鱼300条，估计池塘中原来放养了鲢鱼（ ）
A．10000条 B．2000条 C．3000条 D．4000条
4．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A． B． C． D．
6．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（ ）
A．线段 B．与原三角形全等的三角形
C．变形的三角形 D．点
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315
C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝315
8．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（　　）
A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
9．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．据路透社报道，中国华为技术有限公司推出新的服务器芯片组，此举正值中国努力提高芯片制造能力，并减少对进口芯片的严重依赖.华为技术部门还表示，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积.其中0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是_________.
12．为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表：
等待时的频数间
乘车等待时间
地铁站
5≤t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
合计
A
50
50
152
148
100
500
B
45
215
167
43
30
500
据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上车．（填“A”或“B”）
13．若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm1．
14．若，则锐角α＝_____．
15．如果，那么锐角_________°．
16．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM= cm.
17．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第_________个图形有94个小圆.

18．当_________时，关于的一元二次方程有两个实数根.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级班的名男生名女生中和九年级班的名男生名女生中各随机选出名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求名主持人恰好男女的概率．
20．（6分）如图，在中，是边上的一点，若，求证：.

21．（6分）在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN．
感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM＝MN．（不用证明）
探究：如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）．请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．
应用：（1）直接写出△MNC的面积S的取值范围　 　；
（2）若DM：DB＝3：5，则AN与BN的数量关系是　 　．

22．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．
①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，
②求BC：AC：AB的值．
（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．
23．（8分）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、.

（1）求的长.
（2）若点是线段的中点，求的值.
（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得?
24．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

25．（10分）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；
（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？

26．（10分）（1）解方程：；
（2）图①②均为7×6的正方形网络，点A，B，C在格点上；
（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）；
（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：．
故选B．
2、C
【解析】分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是1；
（1）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
详解：A．是二元二次方程，故本选项错误；
B．是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
C．是一元二次方程，故本选项正确；
D．当a、b、c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
3、C
【分析】根据题意求出鲤鱼与鲢鱼的比值，进而利用池塘中放养了鲤鱼2000条除以鲤鱼与鲢鱼的比值即可估计池塘中原来放养了鲢鱼的条数．
【详解】解：由题意可知鲤鱼与鲢鱼的比值为：，
所以池塘中原来放养了鲢鱼：（条）.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是通过样本去估计总体，熟练掌握通过样本去估计总体的方法，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
4、B
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=-16＜0，方程没有实数根；
D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
5、B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
6、D
【分析】将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段；当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
【详解】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，
故选D.
【点睛】
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
7、B
【解析】试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为x，可列方程为560（1-x）²=315.
故选B
8、A
【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，
由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，
解得k≤，
由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，
所以k的取值范围为k≤且k≠0，
即k的非负整数值为1，
故选A．
9、C
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．
【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点，
把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，因此①正确；
对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②不正确；
由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；
由图可得，抛物线有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故④正确；
故选C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴，y轴的交点，以及增减性上寻找其性质．
10、B
【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.
【详解】0.00000065=,
故选：B.
【点睛】
此题考察科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数小于1时，n是负整数，整数等于原数左起第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x2﹣3x﹣1=1
【解析】2x2﹣1=x（x+3），
2x2﹣1=x2+3x，
则2x2﹣x2﹣3x﹣1=1，
故x2﹣3x﹣1=1，
故答案为x2﹣3x﹣1=1．
12、 B
【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；
先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案．
【详解】∵在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50＝100人，
∴在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为＝，
∵A线路不超过20分钟的有50+50+152＝252人，
B线路不超过20分钟的有45+215+167＝427人，
∴选择B线路，
故答案为：，B．
【点睛】
此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13、15
【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm
∴圆锥的母线长
∴圆锥的侧面展开图的面积
故填：.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
14、45°
【分析】首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．
【详解】解：∵，
∴cosα＝，
∴α＝45°．
故答案是：45°．
【点睛】
本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.
15、30
【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
【详解】∵
∴
故答案为30
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
16、3
【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M为中点的弦，所以此时
考点：弦心距与弦、半径的关系
点评：
17、9.
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第1个图形中小圆的个数为21；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+1．依此列出方程即可求得答案．
【详解】解：设第n个图形有91个小圆，依题意有n2+n+1=91 即n2+n=90
（n+10）（n﹣9）=0
解得n1=9，n2=﹣10（不合题意舍去）．
故第9个图形有91个小圆．
故答案为：9
【点睛】
本题考查(1)、一元二次方程的应用；(2)、规律型：图形的变化类．
18、
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.
【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根
∴
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，当时，有两个实数根；当时，没有实数根.

三、解答题(共66分)
19、（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）首先根据题意列表，由树形法可得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，根据概率公式即可求得解．
【详解】解：（1）用树状图表示如下：（A表示男生，B表示女生）

由树状图知共有6种等可能结果
（2）由树状图知：2名主持人1男1女有3种，
即(A1，B2)，(A1，B2)(A2，B1)，
所以P(恰好一男一女)=
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
20、见解析
【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论.
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即.
【点睛】
本题主要考察了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.
21、探究：见解析;应用：（1）9≤S＜1;（2）AN＝6BN．
【分析】探究：如图①中，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，证明△MFN≌△MEC（ASA）即可解决问题．
应用：（1）求出△MNC面积的最大值以及最小值即可解决问题．
（2）利用平行线分线段成比例定理求出AN，BN即可解决问题．
【详解】解：探究：如图①中，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
应用：（1）当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大值为1，
当DM＝BM时，△CNM的面积最小，最小值为9，
综上所述，9≤S＜1．
（2）如图②中，

由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，
∵AN＝BC＝6，
∴AF＝3.6，CE＝3.6，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝3.6，
∴AN＝7.2，BN＝7.2﹣6＝1.2，
∴AN＝6BN，
故答案为AN＝6BN．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
22、（1）① “匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②BC：AC：AB＝；（2）CD＝a，CM不是△ACD的“匀称中线”．理由见解析.
【分析】（1）①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；
②设AC＝2a，利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.
（2）由②知：AC：AD：CD＝，设AC＝，则AD＝2a，CD＝，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用的面积建立一个关于a的方程，解方程即可求出CD的长度；假设CM是△ACD的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.
【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，

∵∠ACB＝90°，
∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．
又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．
∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，
②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，
在Rt△BCE中∠BCE＝90°，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝，
∴BC：AC：AB＝
（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，
∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，
∵Rt△ACD是“匀称三角形”．
由②知：AC：AD：CD＝
设AC＝，则AD＝2a，CD＝，
如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，

∵∠BAC＝45°，
∴
∵
解得a＝2，a＝﹣2（舍去），
∴
判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．
理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．
则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，
∴
又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝ ，BH＝4-，
∴
即
这与∠AMC＝∠B相矛盾，
∴假设不成立，
∴CM不是△ACD的“匀称中线”．
【点睛】
本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.
23、（1） ；（2）；（3）当或时，满足条件的点只有一个.
【解析】（1）由角平分线定义得，在中，根据锐角三角函数正切定义即可求得长.
（2）由题意易求得，，由全等三角形判定得，根据全等三角形性质得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质得，将代入即可求得答案.
（3）由圆周角定理可得是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：
①当与相切时，结合题意画出图形，过点作，并延长与交于点，连结，，设半径为，由相似三角形的判定和性质即可求得长；
②当经过点时，结合题意画出图形，过点作，设半径为，在中，根据勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性质即可求得长；③当经过点时，结合题意画出图形，此时点与点重合，且恰好在点处，由此可得长.
【详解】（1）解：∵平分，，
∴．
在中，
（2）解：易得，，．
由，得，．
∵，
∴，
∴．
由，得，
∴
∴
（3）解：∵，过，，作外接圆，圆心为，
∴是顶角为120°的等腰三角形.
①当与相切时，如图1，

过点作，
并延长与交于点，连结，
设的半径则，，
解得．
∴，．
易知，可得，则
∴．
②当经过点时，如图2，

过点作，垂足为．
设的半径，则．
在中，，解得，
∴
易知，可得
③当经过点时，如图3，

此时点与点重合，
且恰好在点处，可得．
综上所述，当或时，满足条件的点只有一个.
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
24、10，1．
【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的 一边的长为m，由题意得 化简，得，解得：
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．
考点：一元二次方程的应用题．
25、（1）AB：；CD： ；（2）有效时间为2分钟 .
【解析】分析：(1)、利用待定系数法分别求出函数解析式；(2)、将y=40分别代入两个函数解析式分别求出x的值，然后进行做差得出答案．
详解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30， 把B（10，2）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+30（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（44，2）代入得，k2=2200， ∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥44）；
（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，
将y=40代入y2=得：x=1． 1﹣5=2．
所以完成一份数学家庭作业的高效时间是2分钟．
点睛：本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确．
26、（1）x＝4.5；（2）（a）见解析；（b）见解析
【分析】（1）化分式方程为整式方程，然后解方程，注意要验根；
（2）可画出一个等腰梯形，则是轴对称图形；
（3）画一个矩形，则是中心对称图形．
【详解】解：（1）由原方程，得5+x（x+1）＝（x+4）（x﹣1），
整理，得2x＝9，
解得x＝4.5；
经检验，x＝4.5是原方程的解；
（2）如图①所示：等腰梯形ABCD为轴对称图形；
；
（3）如图②所示：矩形ABDC为中心对称图形；
.
【点睛】
此题主要考查分式方程及方格的作图，解题的关键是熟知分式方程的解法及轴对称图形与中心对称图形的特点．