2022-2023学年安徽省重点中学九年级数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知二次函数，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且满足，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是二次函数y＝ax1+bx+c图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①b1＞4ac；②1a+b＝0；③a+b+c＞0；④若B(﹣5，y1)、C(﹣1，y1)为函数图象上的两点，则y1＜y1．其中正确结论是（ ）

A．②④ B．①③④ C．①④ D．②③
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA的值为
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（ ）

A． B． C． D．
6．若函数y＝(m2－3m＋2)x|m|－3是反比例函数，则m的值是( )
A．1 B．－2 C．±2 D．2
7．反比例函数y＝﹣的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
9．某商品原价格为100元，连续两次上涨，每次涨幅10%，则该商品两次上涨后的价格为( )
A．121元 B．110元 C．120元 D．81元
10．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）

A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
11．由3x=2y(x≠0)，可得比例式为（ ）
A． B． C． D．
12．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点为等边三角形的外心，连接.

①___________.
②弧以为圆心，为半径，则图中阴影部分的面积等于__________．
14．若，则的值是______.
15．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．
16．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则_______．

17．二次函数的图象如图所示，给出下列说法：
①；②方程的根为，；③；④当时，随值的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．

18．如图，点，分别在线段，上，若，，，，则的长为________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.
20．（8分）（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+；
（2）解一元二次方程：3x2＝5x﹣2
21．（8分）计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°
22．（10分）已知：AB为⊙O的直径．
（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；
（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为 三角形．

23．（10分）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的F、C（3，m）两点，与x、y轴分别交于B、A（0，4）两点，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，且△OCD的面积为3，作点B关于y轴对称点E．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接FE、EC，求△EFC的面积．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．

25．（12分）有这样一个问题，如图1，在等边中，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，若，试求的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整．

（1）注意到为等边三角形，且，可得，于是可证，进而可得，注意到为中点，，因此和满足的等量关系为______．
（2）设，，则的取值范围是______．结合（1）中的关系求与的函数关系．
（3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图．

（4）回到原问题，要使，即为，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为______（精确到0.1）
26．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝1．
（1）当m＝1时，求方程的实数根．
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据，求得m＝3或−1，根据当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，从而判断m＝-1符合题意，然后把x＝0代入解析式求得y的值．
【详解】解：∵，
∴m＝3或−1，
∵二次函数的对称轴为x＝m，且二次函数图象开口向下，
又∵当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴−1≤m≤0
∴m＝-1符合题意，
∴二次函数为，
当x＝0时，y＝1．
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据题意确定m＝-1是解题的关键．
2、C
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可得△＝b1﹣4ac>0，可对①进行判断；由抛物线的对称轴可得﹣＝﹣1，可对②进行判断；根据对称轴方程及点A坐标可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，可对③进行判断；根据对称轴及二次函数的增减性可对④进行判断；综上即可得答案．
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b1﹣4ac＞0，即：b1＞4ac，故①正确，
∵二次函数y＝ax1+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴1a＝b，即：1a﹣b＝0，故②错误．
∵二次函数y＝ax1+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为（1，0），
∴当x＝1时，有a+b+c＝0，故结论③错误；
④∵抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而增大，
∵﹣5＜﹣1则y1＜y1，则结论④正确
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax1+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△=b1-4ac决定：△＞0时，抛物线与x轴有1个交点；△= 0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3、C
【详解】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③选项正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
4、D
【分析】利用勾股定理即可求得BC的长，然后根据正切的定义即可求解．
【详解】根据勾股定理可得：BC＝
∴tanA＝．
故选：D．

【点睛】
本题考查了勾股定理和三角函数的定义，正确理解三角函数的定义是关键．
5、C
【分析】先证明AG=GD，得到GE为△ADC的中位线，由三角形的中位线可得GEDCBD；由EG∥BC，可证△GEF∽△BDF，由相似三角形的性质，可得；设GF=x，用含x的式子分别表示出AG和AF，则可求得答案．
【详解】∵E为AC中点，EG∥BC，
∴AG=GD，
∴GE为△ADC的中位线，
∴GEDCBD．
∵EG∥BC，
∴△GEF∽△BDF，
∴，
∴FD=2GF．
设GF=x，则FD=2x，AG=GD=GF+FD=x+2x=3x，AF=AG+GF=3x+x=4x，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解答本题的关键．
6、B
【解析】根据反比例函数的定义,列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，|m|-3=-1，
解得m=±1，
当m=1时，m1-3m+1=11-3×1+1=2，
当m=-1时，m1-3m+1=（-1）1-3×（-1）+1=4+6+1=11，
∴m的值是-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=（k≠2）是解题的关键，要注意比例系数不等于2．
7、C
【分析】根据反比例函数中k0,图像必过二、四象限即可解题.
【详解】解：∵-10,
根据反比例函数性质可知,
反比例函数y=﹣ 的图象在第二、四象限,
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像和性质,属于简单题,熟悉反比例函数的性质是解题关键.
8、C
【详解】解：连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C．

【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
9、A
【分析】依次列出每次涨价后的价格即可得到答案.
【详解】第一次涨价后的价格为： ，
第二次涨价后的价格为： 121（元），
故选：A.
【点睛】
此题考查代数式的列式计算，正确理解题意是解题的关键.
10、A
【分析】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质．图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半
【详解】解：．
故选A．
11、C
【分析】由3x=2y(x≠0)，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
C、由得，3x=2y，故本选项符合题意；
D、由得，xy=6，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查比例的性质相关，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟练掌握其性质是解题的关键．
12、C
【分析】由2a＝5b，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】∵2a＝5b，∴或．故选：C．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知等式与分式的性质.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、120
【分析】①连接OC利用等边三角形的性质可得出，可得出的度数
②阴影部分的面积即求扇形AOC的面积，利用面积公式求解即可.
【详解】解：① 连接OC，

∵O为三角形的外心，
∴OA=OB=OC
∴
∴
∴.
②∵
∴
∴阴影部分的面积即求扇形AOC的面积
∵
∴阴影部分的面积为：.
【点睛】
本题考查的知识点有等边三角形外心的性质，全等三角形的判定及其性质以及扇形的面积公式，利用三角形外心的性质得出OA=OB=OC是解题的关键.
14、
【分析】根据合比性质：，可得答案．
【详解】由合比性质，得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．
15、240m
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．
【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：
1：2000＝12：x，
解得x＝24000，
24000cm＝240m．
故答案为240m．
【点睛】
本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离．
16、
【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA的定义求解即可．
【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D

设网格中每一小格的长度为1
则CD=1，AD=3
∴在Rt△ACD中，AC=
∴sinA=
故答案为：．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD．
17、①②④
【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，②正确；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，③错误；
由图象可知，当x＞1时，y随x值的增大而增大，④正确；
当y＞0时，x＜-1或x＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
18、7.1
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：，
，即，
解得，，
，
故答案为：7.1．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1），
∵，
∴方程总有实数根；
（2）∵，
∴，，
∵方程有一个根为负数，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
20、（1）﹣3+2；（2）＝1，＝．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）原式＝1﹣1﹣3﹣3×+3
＝﹣3﹣+3
＝﹣3+ ；
（2）∵3x2﹣5x+2＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得＝1，＝．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握实数的混合运算顺序和法则，因式分解法是解题的关键．
21、-
【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．
【详解】解：原式=2×﹣+﹣×1
=-
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．
22、（1）见解析；（2）等边．
【分析】（1）利用基本作图，作CD垂直平分OB；
（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB，DO=DB，则可证明△OCB、△OBD都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，利用圆周角定理得到∠ADC=∠ACD=60°，则可判断△ACD为等边三角形．
【详解】解：（1）如图，CD为所作；

（2）如图，连接OC、OD、BC、BD，
∵CD垂直平分OB，
∴OC＝CB，DO＝DB，
∴OC＝BC＝OB＝BD，
∴△OCB、△OBD都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
故答案是：等边．
【点睛】
本题考查了基本作图及圆周角定理：证明△OCB、△OBD是等边三角形是解本题的关键．
23、（1）y＝；y＝﹣2x+1，y=-；（2）2
【分析】（1）点C在反比例函数y=图象上，和△OCD的面积为3，并且图象在二、四象限，可求出k的值，确定反比例函数的解析式，再确定点C的坐标，用A、C的坐标用待定系数法可确定一次函数y=ax+b的函数解析式．
（2）利用一次函数y=ax+b的函数解析式可求出于坐标轴的交点坐标，与反比例函数函数解析式联立可求出F点坐标，利用对称可求出点E坐标，最后由三角形的面积公式求出结果．
【详解】解：（1）∵点C在反比例函数y＝图象上，且△OCD的面积为3，
∴，
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
把C（3，m）代入为：y＝得，m＝﹣2，
∴C（3，﹣2），
把A（0，1）C（3，﹣2）代入一次函数y＝ax+b得： ，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+1．
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为：y＝，y＝﹣2x+1．
（2）一次函数y＝﹣2x+1与x轴的交点B（2，0）．
∵点B关于y轴对称点E，
∴点E（﹣2，0），
∴BE＝2+2＝1，
∵一次函数和反比例函数的解析式联立得：，
解得：
∴点F（﹣1，6），
∴．
答：△EFC的面积为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质以及方程组、三角形的面积等知识，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标的特征是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）S阴＝．
【分析】（1）只要证明∠E=∠D，即可推出CD=CE；
（2）根据S阴=S扇形OBC-S△OBC计算即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．

【点睛】
考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25、（1）；（2），；（3）答案见解析；（4）1.1．
【分析】（1）利用相似三角形的性质即可解决问题．
（2）求出当点F与点A重合时BE的值即可判断x的取值范围．
（3）利用描点法画出函数图象即可．
（4）画出两个函数图象，量出点P的横坐标即可解决问题．
【详解】解：（1）由，可得，
∵，
∴.
故答案为：
（2）由题意：．
∵由，可得，
∵，，．
∴，
∴．
故答案为：；.
（3）函数图象如图所示：

（4）观察图象可知两个函数的交点P的横坐标约为1.1，故BE=1.1

故答案为1.1．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，函数图象等知识，学会利用图象法解决问题是解题的关键．
26、（1）x1＝，x2＝（2）m＜
【分析】（1）令m=1，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．
【详解】（1）当m=1时，方程为x2+x﹣1=1．
△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞1，∴x，∴x1，x2．
（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞1，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞1，∴m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac．