人教版中学七年级下册数学期末复习试卷含解析.doc

人教版中学七年级下册数学期末复习试卷含解析
一、选择题
1．9的算术平方根是（）
A．81 B．3 C． D．4
2．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（ ）

A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中位于第二象限的点是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．两点的所有连线中，线段最短
5．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）

A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°
6．若，则x和y的关系是(　　)．
A．x＝y＝0 B．x和y互为相反数
C．x和y相等 D．不能确定
7．将45°的直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1=31°，则∠2的度数为（ ）

A．10° B．14° C．20° D．31°
8．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）
九、填空题
9．＝___．
十、填空题
10．点A关于x轴的对称点的坐标为____________．
十一、填空题
11．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.

十二、填空题
12．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A＝20°，∠C＝105°，则∠AED的度数是_____．

十三、填空题
13．将长方形纸带沿EF折叠（如图1）交BF于点G，再将四边形EDCF沿BF折叠，得到四边形，EF与交于点O（如图2），最后将四边形沿直线AE折叠（如图3），使得A、E、Q、H四点在同一条直线上，且恰好落在BF上若在折叠的过程中，，且，则________．

十四、填空题
14．规定一种关于、的新运算：，那么______．
十五、填空题
15．若点P在轴上，则点P的坐标为____．
十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点、、、…，那么点的坐标为_______．

十七、解答题
17．（1）－＋； （2）,求.
十八、解答题
18．求下列各式中的x值：
（1）
（2）
十九、解答题
19．如图，点，分别是、上的点，，．

（1）对说明理由，将下列解题过程补充完整．
解：（已知）
________（________________________）
（已知）
___________（________________________）
（______________________________）
（2）若比大，求的度数．
二十、解答题
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，点．
（1）写出点，的坐标；
（2）求的面积．

二十一、解答题
21．数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的小数部分是多少，请表示出来．
（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值．
（3）已知8+=x+y，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值．
二十二、解答题
22．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长方形纸片.
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能,请帮小丽设计一种裁剪方案,若不能，请简要说明理由.
二十三、解答题
23．如图1，点在直线、之间，且．
（1）求证：；
（2）若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
（3）如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）．

二十四、解答题
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

二十五、解答题
25．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度数；

（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度数；
（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为．
【详解】
解：=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
2．C
【分析】
根据平移的特点即可判断．
【详解】
将图进行平移，得到的图形是
故选C．
【点睛】
此题主要考查平移的特点，解题的关键是熟知平移的定义．
解析：C
【分析】
根据平移的特点即可判断．
【详解】
将图进行平移，得到的图形是

故选C．
【点睛】
此题主要考查平移的特点，解题的关键是熟知平移的定义．
3．B
【分析】
第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此解答即可．
【详解】
解：根据第二象限的点的坐标的特征：
横坐标符号为负，纵坐标符号为正，
各选项中只有B（-2，3）符合，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．C
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
选项A是真命题，故不符合题意；
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
选项B是真命题，故不符合题意；
C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，
选项C是假命题，故符合题意；
D. 两点的所有连线中，线段最短，
选项D是真命题，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，属于基础题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．
6．B
【解析】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可．
详解：
∵,
∴,
∴x=-y，
即x、y互为相反数，
故选B．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y．
7．B
【分析】
根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ADC=31°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，即可得到答案．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ADC=30°，
又∵直角三角形ADE中，∠ADE=45°，
∴∠1=45°-31°=14°，
故选：B．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．B
【分析】
根据点、、、的坐标可得出、的长度以及四边形为长方形，进而可求出长方形的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置．
【详解】
解：，，，，
，，且四边形为长方形
解析：B
【分析】
根据点、、、的坐标可得出、的长度以及四边形为长方形，进而可求出长方形的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置．
【详解】
解：，，，，
，，且四边形为长方形，
长方形的周长．
，，
细线的另一端落在点上，即．
故选：．
【点睛】
本题考查了规律型中点的坐标、长方形的判定以及长方形的周长，根据长方形的周长结合细线的长度找出细线终点所在的位置是解题的关键．
九、填空题
9．13
【分析】
根据求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：13．
【点睛】
题目主要考查算术平方根的计算，熟记常用数的平方及算数平方根的计算法则是解题关键．
解析：13
【分析】
根据求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：13．
【点睛】
题目主要考查算术平方根的计算，熟记常用数的平方及算数平方根的计算法则是解题关键．
十、填空题
10．（2，4）
【分析】
直接利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而得出答案．
【详解】
解：点A（2，-4）关于x轴
解析：（2，4）
【分析】
直接利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而得出答案．
【详解】
解：点A（2，-4）关于x轴对称点A1的坐标为：（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
十一、填空题
11．5°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠C
解析：5°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴∠CAE=∠BAC=×130°=65°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．
故答案为：5°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．
十二、填空题
12．95°．
【分析】
延长DE交AB于F，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等求出∠AFE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解
解析：95°．
【分析】
延长DE交AB于F，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等求出∠AFE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长DE交AB于F，

∵AB∥CD，
∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣105°＝75°，
∵BC∥DE，
∴∠AFE＝∠B＝75°，
在△AEF中，∠AED＝∠A+∠AFE＝20°+75°＝95°，
故答案为：95°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
十三、填空题
13．32°
【分析】
连接EQ，根据A、E、Q、H在同一直线上得到，，根据得到，从而求得，再根据题意求解即可得到答案.
【详解】
解：如图所示，连接EQ，
∵A、E、Q、H在同一直线上
∴∥
∴
∵∥
解析：32°
【分析】
连接EQ，根据A、E、Q、H在同一直线上得到，，根据得到，从而求得，再根据题意求解即可得到答案.
【详解】
解：如图所示，连接EQ，
∵A、E、Q、H在同一直线上
∴∥
∴
∵∥

∴
∵，=90°
∴=180°-90°-26°=64°
由折叠的性质可知：
∴=32°
故答案为：32°.

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
十四、填空题
14．【分析】
根据新定义,将3与-2代入原式求解即可.
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了新定义运算,把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键.
解析：
【分析】
根据新定义,将3与-2代入原式求解即可.
【详解】

．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了新定义运算,把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键.
十五、填空题
15．（4，0）．
【分析】
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】
∵点P（m+3，m-1）在x轴上，
∴m-1=0，
解得m=1，
所以，m+3=1+3=4，
所以，点P的坐
解析：（4，0）．
【分析】
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】
∵点P（m+3，m-1）在x轴上，
∴m-1=0，
解得m=1，
所以，m+3=1+3=4，
所以，点P的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
十六、填空题
16．【分析】
结合图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而25=4×6+1，故的纵坐标与的纵坐标相同，根据题中每一个周期第一点的坐标可推出，即可求解．
【详解】
结合图像可知，纵坐标每四个点一个循环，
…
解析：
【分析】
结合图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而25=4×6+1，故的纵坐标与的纵坐标相同，根据题中每一个周期第一点的坐标可推出，即可求解．
【详解】
结合图像可知，纵坐标每四个点一个循环，
……1，
是第七个周期的第一个点，
每一个周期第一点的坐标为：
，，
，
，
(12，1)．
故答案为：(12，1)．
【点睛】
本题属于循环类规律探究题，考查了学生归纳猜想的能力，结合图象找准循周期是解决本题的关键．
十七、解答题
17．（1） － （2）±3
【详解】
试题分析：(1)先化简根式，再加减；（2）称项后，直接开平方即可；
试题解析：
（1）原式＝ ；
（2）x2-4=5
x2=9
x=3或x=-3
解析：（1） － （2）±3
【详解】
试题分析：(1)先化简根式，再加减；（2）称项后，直接开平方即可；
试题解析：
（1）原式＝ ；
（2）x2-4=5
x2=9
x=3或x=-3
十八、解答题
18．（1）x=-15；（2）x=8或x=-4
【分析】
（1）利用直接开立方法求得x的值；
（3）利用直接开平方法求得x的值．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
解得：x=-15；
（2），
∴，
∴
解析：（1）x=-15；（2）x=8或x=-4
【分析】
（1）利用直接开立方法求得x的值；
（3）利用直接开平方法求得x的值．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
解得：x=-15；
（2），
∴，
∴，
解得：x=8或x=-4．
【点睛】
本题考查了立方根和平方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
十九、解答题
19．（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可
解析：（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED＝180°，∠A＝∠BFD，再求出∠AED﹣∠A＝40°，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵DFAC（已知），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠FDE（已知），
∴∠FDE＝∠BFD（等量代换），
∴DEAB（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；
（2）解：∵DFAC，
∴∠A＝∠BFD，
∵∠AED比∠BFD大40°，
∴∠AED﹣∠BFD＝40°，
∴∠AED﹣∠A＝40°，
∴∠AED＝40°+∠A，
∵DEAB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠A+40°+∠A＝180°，
∴∠A＝70°，
∴∠BFD＝70°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
二十、解答题
20．（1），；（2）9
【分析】
(1)根据坐标的特性以及C点坐标，直接可以得出A、B的坐标
（2）利用面积的和差求解：三角形ABC的面积等于一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
【详解】
解：（
解析：（1），；（2）9
【分析】
(1)根据坐标的特性以及C点坐标，直接可以得出A、B的坐标
（2）利用面积的和差求解：三角形ABC的面积等于一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
【详解】
解：（1），
（2）

【点睛】
本题考查了坐标上的点以及求坐标上图形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）－1；（2）1；（3）19
【分析】
（1）先求出的整数部分，即可求出结论；
（2）先求出和的整数部分，即可求出a和b的值，从而求出结论；
（3）求出的小数部分即可求出y，从而求出x的值，代入
解析：（1）－1；（2）1；（3）19
【分析】
（1）先求出的整数部分，即可求出结论；
（2）先求出和的整数部分，即可求出a和b的值，从而求出结论；
（3）求出的小数部分即可求出y，从而求出x的值，代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵1＜＜2
∴的整数部分是1
∴的小数部分是－1；
（2）∵1＜＜2，2＜＜3
∴的整数部分是1，的整数部分是2
∴的小数部分是－1；
∴a=－1，b=2
∴
=
=1
（3）∵的小数部分是－1
∴y=－1
∴x=8+－（－1）=9
∴
=
=
=19
【点睛】
本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得无理数的整数部分和小数部分是解答本题的关键．
二十二、解答题
22．（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴
解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴a2=400
又∵a＞0
∴a=20
又∵要裁出的长方形面积为300cm2
∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：300÷20=15（cm）
∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形
（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2
∴设长方形纸片的长为3xcm，则宽为2xcm
∴6x 2=300
∴x 2=50
又∵x＞0
∴x =
∴长方形纸片的长为
又∵＞202
即：＞20
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片
二十三、解答题
23．（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】
（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD
解析：（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】
（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出再由平分，得出则，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即的度数；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据和，得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因为，代入的式子即可求出．
【详解】
（1）过点E作EF∥CD，如图，

∵EF∥CD,
∴
∴
∵,
∴
∴EF∥AB，
∴CD∥AB；
（2）过点E作HE∥CD，如图，
设
由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，
∴
∴
又∵平分，
∴
∴
即
解得：即；

（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，
由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，

∵NP∥CD，CD∥QM，
∴,
又∵，
∴
∵,
∴
∴
又∵PN∥AB，
∴
∵,
∴
又∵AB∥QM，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
二十四、解答题
24．（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠A
解析：（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为110°；
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α，
理由是：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β，
理由是：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE -∠CPE =∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键．
二十五、解答题
25．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，则可得∠E= （∠D+∠B），继而求得答案；
（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC= ×（50°+40°）=45°；

（2）延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－∠BCD
=∠B+∠BAE－（∠B+∠BAD+∠D）
= （∠B－∠D），
∠ADC=α°，∠ABC=β°，
即∠AEC=

（3）的值不发生变化，
理由如下：
如图，记与交于，与交于，

①，
②，
①－②得：

AD平分∠BAC，

【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．