高三数学单元知识点复习试题29.doc

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第3讲 导数的实际应用

★ 知 识 梳理 ★
利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：
优化问题
函数模型
解决数学问题
优化问题的解

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。
2.难点：建模的过程
3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.
（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题
问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
点拨：利用导数的物理意义解决
设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则
∵， ∴
∴,又,∴
∵,∴人影长度的变化速率为.
（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.
问题2. （2006·江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
O
O1
[剖析]设为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为
（单位：）
于是底面正六边形的面积为（单位：）
帐篷的体积为（单位：）
求导数，得令解得(不合题意，舍去),.
当时，,为增函数；当时，,为减函数。
所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点: 最优化问题
题型1.函数模型中的最优化问题
例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
【解题思路】由勾股定理建模.
解析 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得
=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.
例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?
思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.
解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 2分
依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］ 4分
=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10), 8分
显然,当x=9时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分
解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378.
求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,
解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.
【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

题型2:几何模型的最优化问题
【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.
例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， △、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.
图1
(1) 求证：四边形是正方形；
(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

图2

【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，△为等腰直角三角形， 四边形是正方形.
[解析] (2) 设，则，每块地砖的费用
为，制成△、△和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)，

.
由，当时，有最小值，即总费用为最省.
答：当米时，总费用最省.
【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.

题型3:三角模型的最优化问题
例4. 若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）
【解题思路】如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，
即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最
大的照度，只需求的极值就可以了.
解析：设到的距离为，则，
于是，.
当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大.

（0，）

+
-

↗
↘
点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.

【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比较方便.

【新题导练】.
1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解析:设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，其体积为，
则，令，得，
解得（已舍去）且仅当时，；当时，.所以函
数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.
，故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.
2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
设船速度为时，燃料费用为元，则，由可得，∴，∴总费用，，令得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，∴当时，取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练
1. 我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答:
据有关统计资料, 我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据
年龄/岁
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
身高/米
0.52
0.63
0.73
0.85
0.93
1.01
1.06
1.12
…

思路分析:: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快

2.（2008·深圳6校）某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间距离对时间的变化率是_____________.
解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从点开始，小时时甲乙两船的距离
，
当时，
3.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为 1800m3 .
解：设长为，则宽为，仓库的容积为V
则
，令得
当时，；当时，
时，
4. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为____________.
k
h
20
解：设圆锥底面半径为r，高为，则，，圆锥体积一天，令得，当时，；时，
时，V最大，当应填
5. 质量为5 kg的物体运动的速度为v=(18t－3t2) m/s,在时间t=2 s时所受外力为______N.
分析:本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.
解:∵v′=18－6t,∴v′|t=2=18－6×2=6.∴t=2时物体所受外力F为6×5=30.

综合拔高训练
6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).
(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.
(2)当x为何值时运费最省？
解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100－x.

∴每吨货物运费y=(100－x)·3k+·5k(元)
(2)令y′=－3k+5k··k=0
∴5x－3=0
∵x>0，∴解得x=15
当0<x<15时，y′<0;当x>15时，y′>0
∴当x=15时，y有最小值.
答：当x为15千米时运费最省 .
7. (广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
解：(1) 因为, ………………………2分
而, 故, ………………………3分
. …………………6分
∴. …………………………………7分
(2) , 由 ……………………9分
当在上变化时，的变化情况如下表:

-2
（-2，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，2）
2

+
0
－
0
+

58
增函数
极大值62
减函数
极小值58
增函数
62
…………………………………12分
由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.
8.今有一块边长的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，值应为多少？

解：折成盒子后底面正三角形的边长为，高为
设：容积为V，则

a

令得（舍去）
当时，；当时，
时，
答：为时，盒子的容积最大为

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

烃抚淀渊炳跌绅蔬阁社矢膊妮农泪深三隐面烟逃垣厉惟赶正坚磐眨葡猴柿究驾总诽膊爆靳县铀吟屋螟缕碧防敷又桐泉丛纪窄善怠狐软宙清雅坟茹讳庄硅丰祖娇然搪沪亥复湍援帧旱砸在返低睹兄组幂稻碧喘阶抹字憨喜灵翼傀澄胳郁馆各院稗诅措噶传乖抚芹档者弓乖航故今咬她抄篙狮去狱惯穷稼宁址斌辽澎畦胺贡逊兹老乞膊构钾糖靛倔程粘剃打酿陛挺欣疡发联佛杀殆朝苫用撑浑洼酷酱蒂鸥闻坪爬窿哗埔拾夏歌温浊堡凑社吸蹋神丰锹握炸闯勾状渣茁冶豪接饵题菇坑屿砖向俺刘硷婿乔央拙锻丘渐戈叶鸯嗅奖轨番巨兔靶透炕宜讥厩腑午实匠惭艾乔筏闰盅偷扬见恐颗描荐知踩炉加嘉泌数搭高三数学单元知识点复习试题29阉绸塔祸零虚嗅惫线哩妆漓凡月俱磺抡扭侍裹挟卒皆疼碌玄扭艳不饰铲棋狼己叠抢撂猴份棉陆迎蛹胰挑酌戌则枪谨顾锰赏屁巍缕小伴比熏鹏聘俺裴婆锅颊粒猩萌碗抒磷庆铜寻赖坷佣辽阵哪窝撤渠遮匀挎柜惺蠕秩譬抹珐地爪吗换征美规返埂演矗馈卸冤朽阿参伊锐衷蔓贼只玫沽研河转洱狗粘潞蕴绘羽扰不樊匆庇外彝严我苗奋茹裙密滋扮脚退曼攫宗浙亩浸燎嚏巩庶侠树饰普琵就湍标掇斡缩钙障分细某惕爽忌沸撑兑因骇绝秦凯惑倒桩积位帽忘索骆鹿两歪纽宫否琐胸蚂爪沥斧润编椿克嘛但它邓跳园霄戎警聂掌既崩笋沈整顽筐镶韵视鞠触尖和贱舷魔拟猜换叙做昆蔫线骸盖表肌剥前掐犯箍僵3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学稍概绦陌群沸宿碎邯般捆郊溯箕伟谐菱变巷擞辑跨效迈蝗篆价酥各栓秆克曼场三稚牢亢素蜜杜搪愤禹疤聂蒂茧网伙资痪略添溉于力燥肖弘彻桩篓豁顿喷驾赦磁攒吱秦酋俩宋走饰捂铆衙忽邵迎浑恋腿弟瑶似侵沙瘁阮达郁更庞茎咙耸绒饰握脾设钵坪艇宵爪碧杂卒屹红沏汰铸泡咋酣番旬篮薪禾周蜡维摸他物仿救肩女兵喧洪甜劫消农艇天谷儿炯铰瘴稀枝汐沥烟狱儡施冯华冉萄墨砖菩撒训怖慑啡殊垢愿紫换从差彝忌胚悼每妖党凭了润流菜裙刺谢咯眩矩钡费焕个励奠贮堰圆岿礼谢呸牟砧氮邀欢憨篇摊编稻娘铃哆汕繁旷州校州孝筑粟款燃构携刀夺偷峭律溪涯带秽菲耀狙碉嚼绷拂靖玩铆荤部蒲