人教版部编版八年级数学下册期末试卷(培优篇)(Word版含解析).doc

人教版部编版八年级数学下册期末试卷（培优篇）（Word版含解析）
一、选择题
1．下列式子中，一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边的是（ ）
A．3，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，16
3．下列命题中，为假命题是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是早行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
4．某射击运动员训练射击5发子弹，成绩（单位：环）分别为：8，7，9，10，9，则该运动员练习射击成绩的众数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）

A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
6．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．15
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3
8．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；······，按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ___．
10．在菱形中，对角线则菱形的面积为__________
11．在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为______．
12．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积是__________．

13．某一次函数的图象经过点(2，-3)，且函数y随x的增大而增大，请你写出一个符合条件的函数解析式_____________________．
14．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件_____，则四边形ABCD为菱形．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为___．

16．如图，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是________．

三、解答题
17．计算：
（1）（）×；
（2）﹣6．
18．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？

19．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．

（1）小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路；
（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角．
20．如图，∠A=∠B=40°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：APMBPN；
（2）当α等于多少度时，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形？
21．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a===2﹣
∴a﹣2=﹣
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a=，求4a2﹣8a+1的值．
22．为了做好开学准备，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买消毒液的费用为y元，写出y与x之间的关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）在现有资金不超过5300元的情况下，求可消杀的最大面积．
23．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．

24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上（），把线段绕点顺时针旋转得到线段，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为，．

（1）求四边形的面积；
（2）若，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接，作的平分线，交轴于点，若为等腰三角形，求点的坐标．
25．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接，且
①求证：与互相平分；
②求证：；
（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当，，时，求之长.

26．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：

（1）如图1，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的定义，被开方数大于等于0进行判断即可得到结果．
【详解】
解：A、被开方数不是非负数，没有意义，所以A不合题意；
B、x≥2时二次根式有意义，x＜2时没意义，所以B不合题意；
C、为三次根式，所以C不合题意；
D、满足二次根式的定义，所以D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义．
2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】
解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、∵，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】
解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定定理，解题关键是熟练运用平行四边形的判定定理．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据众数的定义分析即可，众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】
成绩（单位：环）分别为：8，7，9，10，9，
数字9出现了2次，出现次数最多，
这组数据的众数是9．
故选C．
【点睛】
本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．
【详解】
解：如图，过D作DE⊥AB于E，

在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD＋AB•DE，即×3×4＝×3CD＋×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出△ABD的高的长度．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
先利用平行四边形的性质得到，再由折叠的性质得到，，由此可得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由矩形的性质可得，由题意可得为等边三角形，再由勾股定理即可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，，
∵∠AOB＝60°
∴为等边三角形
∴
在中，
故选C
【点睛】
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
先根据所给一次函数判断出直线与轴夹角是30°，在含有30°角的直角三角形中依次得到线段长度，表示出A、A1、A2…及B、B1、B2…的坐标，找到规律后求出A2020的坐标，再根据A2020的坐标与B2020的纵坐标相同即可得出结论．
【详解】
解：∵直线l的解析式为：，
∴直线l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），B1（，4），
同理可得B2（，16），
…
∴A2020纵坐标为：，
∴A2020（0，），
∴B2020（，），
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题应用，从可求得的坐标中寻找规律，得出结论，解决本题的关键是判断出直线与轴的夹角．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可直接进行列式求解．
【详解】
解：∵二次根式有意义，
∴，解得：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．A
解析：14
【解析】
【分析】
根据菱形的面积=两条对角线长乘积的一半进行计算即可．
【详解】
如图所示：

∵菱形ABCD中，对角线AC=4cm，BD=7cm，
∴菱形ABCD的面积ACBD×4×7=14（cm2）；
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积=两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
11．4或5
【解析】
【分析】
分类讨论，①当4为直角边时，②当4为斜边时，依次求出答案即可．
【详解】
解：①当4为斜边时，此时最长边为4．
②当4是直角边时，斜边＝，此时最长边为5．
故答案是：4或5．
【点睛】
此题考查了勾股定理．解题时，注意分类讨论，以防漏解．
12．E
解析：
【分析】
首先翻折方法得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积．
【详解】
解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE，∠A，
设AE=xcm，则ED=BE=(9﹣x)cm，
在Rt△ABE中，
，
∴，
解得：x=4，
∴△ABE的面积为：3×4×=6()，
故答案为．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，长方形的性质，勾股定理的运用；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，找准折叠前后相等的角和边．
13．（答案不唯一）
【分析】
根据题意，写出一个且经过的解析式即可
【详解】
函数y随x的增大而增大

图象经过点(2，-3)
例如：（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，一次函数的定义，理解一次函数的性质是解题的关键．
14．A
解析：OA＝OC
【分析】
添加条件OA＝OC，先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出平行四边形ABCD是菱形．
【详解】
.解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，
理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15．1≤k≤3
【分析】
把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】
解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解
解析：1≤k≤3
【分析】
把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】
解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解得k=1．
故k的取值范围为1≤k≤3．
故答案是：1≤k≤3．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的最值是解题的关键．
16．【分析】
由为矩形，得到为直角，且三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x
解析：
【分析】
由为矩形，得到为直角，且三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长．
【详解】
解：∵矩形，
∴，
由折叠可得，
∴，，，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，则．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）2．
【分析】
（1）利用分配率进行二次根式的乘法运算，再化简即可求值；
（2）先根据二次根式的除法和乘法公式进行化简，在进行二次根式加减即可求解．
【详解】
解：（1）（）×
；
解析：（1）；（2）2．
【分析】
（1）利用分配率进行二次根式的乘法运算，再化简即可求值；
（2）先根据二次根式的除法和乘法公式进行化简，在进行二次根式加减即可求解．
【详解】
解：（1）（）×

；
（2）﹣6

=2．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟知二次根式的加减乘除运算法则，并正确计算是解题关键．
18．不会
【分析】
根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于
解析：不会
【分析】
根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于25米作比较即可得出答案．
【详解】
解：如图，出发3秒钟时，米，米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴在中，米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．

【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出三角形三边的长，然后用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）过A点作于，过作于，然后证明≌，得到，在证明即可得到答案.
【详解
解析：（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出三角形三边的长，然后用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）过A点作于，过作于，然后证明≌，得到，在证明即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵，
，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
（2）过A点作于，过作于，

由图可知：，，，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（1）见解析；（2）90°
【分析】
（1）利用判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）能得出对角线互相平分，得出是平行四边形，即当∠BPN=90°时，AB⊥MN，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱
解析：（1）见解析；（2）90°
【分析】
（1）利用判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）能得出对角线互相平分，得出是平行四边形，即当∠BPN=90°时，AB⊥MN，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形．
【详解】
（1）证明：P为AB中点，
PA=PB，
在△APM和△BPN中，，
△APM△BPN；
(2)连接MB、NA，

由(1)知△APM△BPN，
PM=PN，
PA=PB，
四边形MBNA为平行四边形，
当∠BPN=90°时，AB⊥MN，
四边形AMBN为菱形．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质、菱形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理．
21．（1）9；（2）5．
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得与分母相乘后，为平方差公式结构，如.
(2)先对a值进行化简得
解析：（1）9；（2）5．
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得与分母相乘后，为平方差公式结构，如.
(2)先对a值进行化简得 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=

（2）∵，
解法一：∵ ，
∴ ，即
∴原式=
解法二∴ 原式=

点睛：（1）把分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式， 得，去掉根号，实现分母有理化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
22．（1）y＝100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；（2）33000米2．
【分析】
（1）根据题意，可以写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据现有资金不超过5300元，
解析：（1）y＝100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；（2）33000米2．
【分析】
（1）根据题意，可以写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据现有资金不超过5300元，可以求得x的取值范围，再根据题意，可以得到消杀面积与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到可消杀的最大面积．
【详解】
解：（1）由题意可得，
y＝300x+200（20﹣x）＝100x+4000，
即y与x之间的关系式为y＝100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；
（2）∵现有资金不超过5300元，
∴100x+4000≤5300，
解得，x≤13，
设可消杀的面积为S米2，
S＝2000x+1000（20﹣x）＝1000x+20000，
∴S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S取得最大值，此时S＝33000，
即可消杀的最大面积是33000米2．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
23．（1）3；（2）见解析；（2）73
【分析】
（1）由勾股定理得出AC==3；
（2）由勾股定理得出OD2+OA2=AD2，OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，则
解析：（1）3；（2）见解析；（2）73
【分析】
（1）由勾股定理得出AC==3；
（2）由勾股定理得出OD2+OA2=AD2，OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，则AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，即可得出结论；
（3）连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，由正方形的性质得出∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，证出∠ABG=∠EBC，由SAS证得△ABG≌△EBC得出∠BAG=∠BEC，则∠EBJ=∠AIJ=90°，得出AG⊥CE，由（2）可得AC2+GE2=CG2+AE2，由勾股定理得出CG2=BC2+BG2，即CG2=42+42=32，AE2=BE2+AB2，即AE2=52+52=50，AB2=AC2+BC2，即52=AC2+42，推出AC2=9，代入AC2+GE2=CG2+AE2 ，即可得出结果．
【详解】
解：（1）：∵在△ABC中，∠C=90°中，BC=4，AB=5，
∴AC==3，
故答案为：3；
（2）证明：在Rt△DOA中，∠DOA=90°，
∴OD2+OA2=AD2，
同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2 ；
（3）解：连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，如图3所示：
∵四边形BCFG和四边形ABED都是正方形，
∴∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，
∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△EBC中，
，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴∠BAG=∠BEC，
∵∠AJI=∠EJB，
∴∠EBJ=∠AIJ=90°，
∴AG⊥CE，
由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2，
在Rt△CBG中，CG2=BC2+BG2，
即CG2=42+42=32，
在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2，
即AE2=52+52=50，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
即52=AC2+42，
∴AC2=9，
∵AC2+GE2=CG2+AE2 ，
 即9+GE2=32+50，
∴GE2=73．

【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）或或．
【解析】
【分析】
（1）连接，作，交的延长线于点，可知，，再根据，可得，又因为，得到，即可证明，所以可得，再计算的长度即可求解；
（2）设，即可表示出、的长度，根据求
解析：（1）；（2）；（3）或或．
【解析】
【分析】
（1）连接，作，交的延长线于点，可知，，再根据，可得，又因为，得到，即可证明，所以可得，再计算的长度即可求解；
（2）设，即可表示出、的长度，根据求出的值，即可得到点的坐标，再设直线的解析式为，将、两点的坐标代入即可；
（3）设点坐标为，因为平分，所以，最后分三种情况进行讨论即可．
【详解】
（1）∵，
∴，
连接，作，交的延长线于点，如图，

∴，
∴，
∵，
即，
在中，，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴；
（2） 设，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵与都是直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
又∵，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为；
（3）设点坐标为，
∵平分，
∴，
①当时，则，
∴，
∴与重合，
∴；

②当时，
过点作，垂足为，
则，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可求得，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴；

③当时，延长交轴于点，
∵，且
∴，
∴，
过点作，垂足为，
则，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可求得，
∴，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
当时，解得，
∴．

综上所述，当为等腰三角形时，点坐标为或或．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理、待定系数法求函数解析式等知识点，解题要注意分类讨论的思想．
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形
解析：（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.
【详解】
（1）证明：①连接ED、BF，

∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．
在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，

理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP＝BE，
∵BP+2PD＝4 ，
∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，
∵AB＝4，
∴（2）2+PE2＝2×42，
解得，PE＝2，
∴BE＝2，
∴PD＝2﹣2．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.
26．（1）CE=BD，见解析；（2）6；（3）20
【分析】
（1）证△EAC≌△BAD即可；
（2）证△EAC≌△BAD，得BD=CE，易得∠EBC=90゜，从而在Rt△EBC中运用勾股定理即可求得结
解析：（1）CE=BD，见解析；（2）6；（3）20
【分析】
（1）证△EAC≌△BAD即可；
（2）证△EAC≌△BAD，得BD=CE，易得∠EBC=90゜，从而在Rt△EBC中运用勾股定理即可求得结果；
（3）连接BD，把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，连接AE，则可得BE=AC，△ADE是等边三角形，从而易得AB⊥AE，在Rt△BAE中由勾股定理可求得AE，也即AD的长．
【详解】
（1）∵∠EAB=∠CAD
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
（2）∵∠EAB=∠CAD=90゜
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
∵△EAB、△CAD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠CAD=90゜
∴AE=AB=4，∠EBA=45゜，AC=AD
∴由勾股定理得：
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=45゜+45゜=90゜
∴在Rt△EBC中，由勾股定理得：
∴BD=6
（3）如图，连接BD
∵CD=BC，∠BCD=60゜
∴△BCD是等边三角形
把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，点E与点A对应，连接AE
则BE=AC=25，△ADE是等边三角形
∴∠DAE=60゜，AD=AE
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30゜+60゜=90゜
即AB⊥AE
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
∴AD=20

【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换，第三问作旋转变换是关键，也是难点．本质上来说，前两问也可看成把△EAC绕A点逆时针旋转的角度一定角度而得到△BAD．