广东省广州市南沙区博海学校2022-2023学年数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长能构成等腰三角形的概率是(　 　)
A． B． C． D．
2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4.2，则DF的长是（　　）

A． B．6 C．6.3 D．10.5
3．在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（ ）
A．5 B．3 C．6 D．4
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是( )

A．abc＜0 B．－3a＋c＜0
C．b2－4ac≥0 D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c
5．《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形
D．△ABC是等边三角形
7．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝，则⊙O的半径为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．9
8．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则∠CDM等于

A． B． C． D．
10．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．

A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．将二次函数的图像向左平移个单位得到，则函数的解析式为______．
12．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于点A、B．若∠1＝69°，则∠2的度数为_____．

13．一个盒子中装有个红球，个白球和个蓝球，这些球除了颜色外都相同，从中随机摸出两个球，能配成紫色的概率为_____．
14．不等式＞4﹣x的解集为_____．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是_____．

16．已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于_____．
17．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
18．如图，过圆外一点作圆的一条割线交于点，若，，且，则_______．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点是线段上的任意一点(点不与点重合)，分别以为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点．

(1)求证: ；
(2)求证: ；
(3)若的长为12cm，当点在线段上移动时，是否存在这样的一点，使线段的长度最长?若存在,请确定点的位置并求出的长；若不存在，请说明理由．
20．（6分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：

（1）根据上图填写下表：

平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5

乙班
8.5

10
1.6
（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．
21．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2+4x﹣2＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
22．（8分）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
23．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

24．（8分）二次函数上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…

0
1
2
3
…
y
…
3

0

0
m
…

（1）直接写出此二次函数的对称轴 ；
（2）求b的值；
（3）直接写出表中的m值，m= ；
（4）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．
25．（10分）小瑜同学想测量小区内某栋楼房MA的高度，设计测量方案如下：她从楼底A处前行5米到达B处，沿斜坡BD向上行走16米，到达坡顶D处（A、B、C在同一条直线上），已知斜坡BD的坡角α为12.8°，小瑜的眼睛到地面的距离DE为1.7米，她站在坡顶测得楼顶M的仰角恰好为45°．根据以上数据，请你求出楼房MA的高度．（计算结果精确到0.1米）（参考数据：sin12.8°≈，cos12.8°≈，tan12.8°≈）

26．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC．
（1）求∠DCE的正切值；
（2）如果设，，试用、表示.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与构成等腰三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：

∵共有27种等可能的结果，构成等腰三角形的有15种情况，
∴以a、b、c为边长正好构成等腰三角形的概率是：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再把已知条件代入求解即可．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，，DE＝4.2，
∴，即，
解得：EF＝6.3，
∴DF＝DE+EF＝10.1．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
3、D
【分析】由点P在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.
【详解】解：∵点P在圆外
∴圆的直径为10-2=8
∴圆的半径为4
故答案为D.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.
4、B
【解析】解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=，∵ =2，∴原式=，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；
故选B．
5、D
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可．
【详解】由题意可得，．
故选：D．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
6、B
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断三角形的形状。
【详解】∵tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=45°．
∴AC=BC
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．需要注意等角对等边判定等腰三角形。
7、C
【分析】根据垂径定理可得AD=AB，由OD＝2DC可得OD=OC=OA，利用勾股定理列方程求出OA的长即可得答案.
【详解】∵⊙O的弦AB⊥OC，AB=，
∴AD=AB=，
∵OD＝2DC，OA=OC，OC=OD+DC，
∴OD=OC=OA，
∴OA2=(OA)2+()2，
解得：OA=3，（负值舍去），
故选：C.
【点睛】
本题主要考查垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键.
8、B
【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°．
【详解】解：连接OC、OD，
∵AD＝CD，
∴，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴AOD＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝，即∠DAE＝65°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆中弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理和三角形内角和，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握圆心角，弧，弦之间的关系.
9、A
【分析】根据正方形的特点可知∠CDM=∠DEA,利用勾股定理求出DE，根据余弦的定义即可求解.
【详解】∵CD∥AB，∴∠CDM=∠DEA,
∵E是AB中点，
∴AE=AB=1
∴DE=
∴∠CDM=∠DEA==
故选A.
【点睛】
此题主要考查余弦的求解，解题的关键是熟知余弦的定义.
10、C
【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，
故选C
考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】直接将函数解析式写成顶点式，再利用平移规律得出答案．
【详解】解：，
将二次函数的图象先向左平移1个单位，
得到的函数的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律（上加下减，左加右减）是解题关键．
12、111°
【分析】根据平行线的性质求出∠3＝∠1＝69°，即可求出答案．
【详解】解：∵直线l1∥l2，∠1＝69°，
∴∠3＝∠1＝69°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝111°，
故答案为111°．

【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等．
13、
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：

∵共有种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有种情况
∴两次摸到的求的颜色能配成紫色的概率为：．
故答案是：
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、x＞1．
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.
【详解】解：去分母得：x﹣1＞8﹣2x，
移项合并得：3x＞12，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.
15、1
【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝10°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．
【详解】解：作直径CD，如图，连接BD，
∵CD为⊙O直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝10°，
∴BD＝BC＝×1＝1，
∴CD＝2BD＝12，
∴OC＝1，
即⊙O的半径是1．
故答案为1．

【点睛】
本题主要考查圆周角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握圆周角的性质.
16、或
【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【详解】∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，

若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（3﹣AH）2，
∴AH＝（不合题意），或AH＝，
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝，
综上所述：AH＝或．
【点睛】
本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D为圆心，为半径的圆和以BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．
17、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝1，
经检验a=1是方程的根，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.
18、1
【分析】作OD⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝BD，由三角函数定义得出sin∠OAB＝，设OD＝4x，则OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，由勾股定理的AD＝3x，由含30角的直角三角形的性质得出OP＝2OD，得出方程3＋5x＝2×4x，解得x＝1，得出BD＝AD＝3即可．
【详解】作OD⊥AB于D，如图所示：

则AD＝BD，
∵sin∠OAB＝，
∴设OD＝4x，则OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，
AD＝＝3x，
∵∠OPA＝30，
∴OP＝2OD，
∴3＋5x＝2×4x，
解得：x＝1，
∴BD＝AD＝3，
∴AB＝1；
故答案为：1．
【点睛】
本题看了垂径定理、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析；(2) 见解析；(1) 存在,请确定C点的位置见解析，MN=1．
【分析】（1）根据题意证明△DCB≌△ACE即可得出结论；
（2）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；
（1）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．
【详解】解：（1）∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴DB=AE；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM与△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；
（1）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴，
即，
，
当x=6时，ymax=1cm，
即点C在点A右侧6cm处，且MN=1．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质和二次函数问题，能够将所学知识联系起来，从而熟练求解．
20、（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）根据“中位数”、“众数”的定义及“方差”的计算公式结合统计图中的数据进行分析计算即可；
（2）按照题中要求，分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行说明即可.
【详解】解：（1）甲的众数为：，
方差为：
，
乙的中位数是：8；
故答案为；
（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
【点睛】
理解“平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法”是正确解答本题的关键.
21、（1）x＝﹣2±；（2）x＝﹣2或x＝1
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x+4＝6，
∴（x+2）2＝6，
∴x＝﹣2±．
（2）∵（x+2）2＝3（x+2），
∴（x+2）（x+2﹣3）＝0，
∴x＝﹣2或x＝1．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22、（1）详见解析
（2）。
【解析】试题分析：（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可。
（2）根据概率公式列式计算即可得解。　
解：（1）画树状图表示如下：

抽奖所有可能出现的结果有12种。
（2）∵由（1）知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，
∴抽奖人员的获奖概率为P。
23、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.
【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
24、（1）对称轴x=1；（2）b=-2；（2）m=2；（4）见解析
【分析】（1）根据图表直接写出此二次函数的对称轴即可；
（2）图象经过点（1,-1），代入求b的值即可；
（2）由题意将x=2代入解析式得到并直接写出表中的m值；
（4）由题意采用描点法画出图像即可.
【详解】解：（1）观察图像直接写出此二次函数的对称轴x=1．
（2）∵二次函数的图象经过点（1,-1），
∴．
（2）将x=2代入解析式得m=2．
（4）如图．

【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质分析是解此题的关键．
25、楼房MA的高度约为25.8米
【分析】根据△BCD是直角三角形，利用正弦和余弦可以求出CD，BC的长度，则可得到EC，EF的长度，再根据， ，利用四边形ECAF是矩形，即可得到MA的长．
【详解】解：在Rt△BCD中，

∴，

在矩形ECAF中，AF=EC=5.22，EF=AC=20.6
在Rt△EFM中，
∴，
答：楼房MA的高度约为25.8米

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
26、（1）；（2）．
【解析】试题分析：在中，根据 ，设 则 根据得出：根据平行线分线段成比例定理，用表示出即可求得.
先把用表示出来，根据向量加法的三角形法则即可求出.
试题解析：（1），
∴，∴设 则

即
又，∴AC//DE．
∴，，∴，．
∴，．
∴．
（2）
∵，，∴．．
∵，∴．