人教版八年级下册数学许昌数学期末试卷易错题(Word版含答案).doc

人教版八年级下册数学许昌数学期末试卷易错题（Word版含答案）
一、选择题
1．要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．三条线段首尾相连，不能围成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．在四边形中，对角线、交于点O．下列不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10名学生一周阅读用时数，结果如下表，则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法中正确的是（ ）
周阅读用时数（小时）
4
5
8
12
学生人数（人）
3
4
2
1

A．中位数是6.5 B．众数是12 C．平均数是3.9 D．方差是6
5．如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（ ）

A．246 B．296 C．592 D．以上都不对
6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，于点，若，则的大小为（ ）

A．20° B．35° C．55° D．70°
7．如图，已知AOBC的顶点O(0，0)，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．若G的坐标为(2，4)，则点A的坐标是（ ）

A．(﹣3，4) B．(﹣2，4) C． D．
8．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是(　　)

A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2
二、填空题
9．若y＝，则x+y的值为 ____．
10．菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的的面积为__________．
11．如图，每个小正方形的边长都为1，则的三边长，，的大小关系是________（用“>”连接）．

12．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形沿EF翻折，使点C与点A重合，点B落在B′处，折痕与DC，AB分别交于点E，F，则DE的长为______．

13．定义：对于一次函数，我们把点称为这个一次函数的伴随点.已知一次函数的伴随点在它的图象上，则__________．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________．

15．星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高20%的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离y（米）与小王出发的时间x（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为________米．

16．如图，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长等于_________，线段的长等于_________．

三、解答题
17．计算：
（1）2﹣6×；
（2）（﹣2）2﹣（﹣2）（+2）；
（3）（1+）•（2﹣）；
（4）．
18．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）

19．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，点均在格点上．

（1）直接写出的长为___________，的面积为_____；
（2）请在所给的网格中，仅用无刻度的直尺作出边上的高，并保留作图痕迹．
20．如图，在矩形中，垂直平分对角线，交于，交于，交于，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若为的中点，，求的度数．

21．阅读下列解题过程：
====
===
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果．
=　 　．
（2）利用上面提供的信息请化简：
的值．
22．甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，该玉米种子的价格为m元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象，如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，付款金额T（元）与购买数量x（千克）的函数关系式为T＝kx．
付款金额（元）
m
7.5
10
12
n
购买量（千克）
1
1.5
2
2.5
3
（1）根据题意，得m＝　 　，n＝　 　．
（2）当x＞2时，求出y关于x的函数解析式；
（3）如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算？

23．如图，为正方形的对角线上一点.过作的垂线交于，连，取中点．
（1）如图1，连，试证明；

（2）如图2，连接，并延长交对角线于点，试探究线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线至延长至,连若,且，则 ．（直接写出结果）
24．（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x．
在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　．

（2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|．
①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　．
②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　．
（3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值．
（4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上.若点P、Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P、Q的“涵矩形”。下图为点P、Q的“涵矩形”的示意图.

（1）点B的坐标为（3，0）；
①若点P的横坐标为，点Q与点B重合，则点P、Q的“涵矩形”的周长为 .
②若点P、Q的“涵矩形”的周长为6，点P的坐标为（1，4），则点E（2，1），F（1，2），G（4，0）中，能够成为点P、Q的“涵矩形”的顶点的是 .
（2）四边形PMQN是点P、Q的“涵矩形”，点M在△AOB的内部，且它是正方形；
①当正方形PMQN的周长为8，点P的横坐标为3时，求点Q的坐标.
②当正方形PMQN的对角线长度为/2时，连结OM.直接写出线段OM的取值范围 .
26．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，
(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；
(2)如图1，若DF=，求AE的长；
(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转（）,点C,F的对应点分别为、，连接、，点G是的中点,连接AG，试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.

【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x＋1≥0，
解得：x≥−1，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可求解．
【详解】
解：A、因为 ，所以，，能围成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为 ，所以，，能围成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为 ，所以，，能围成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为 ，所以，，不能围成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AB与BC相交于点B，
∴这个条件不成立，故不能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形；
D、∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平均数，中位数，众数和方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【详解】
解：A、这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，则这10名学生周阅读所用时间的中位数是：=5；
B、这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，所以众数是5；
C、这组数据的平均数是：（4×3+5×4+8×2+12）÷10=6；
D、这组数据的方差是：×[（4-6）2+（4-6）2+（4-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（8-6）2+（8-6）2+（12-6）2]=6；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
5．A
解析：A
【详解】
解：连接BD．
∵∠C=90°，BC=12，CD=16，
∴BD==20，
在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，
152+202=252，
即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB•BD+BC•CD
=×15×20+×12×16
=150+96
=246．
故选A．

6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由菱形的性质得AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，∠ABO＝∠ABC＝55°，再由直角三角形的性质求出∠BOE＝35°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，
∴∠ABO＝∠ABC＝55°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE＝90°−55°＝35°，
∴∠AOE＝90°−35°＝55°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出∠ABO＝55°是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先证明，设，则，在中，，求出，可得结论．
【详解】
解：如图，设交轴于．

，
．，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明，学会利用参数解决问题．
8．D
解析：D
【分析】
如图，可知当直线在过点和点两点之间的时候满足条件，把、两点分别代入可求得的最小值和最大值，可求得答案．
【详解】
解：
直线与正方形有公共点，
直线在过点和点两直线之间之间，
如图，可知，，

当直线过点时，代入可得，解得，
当直线过点时，代入可得，解得，
的取值范围为：，
故选．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过和两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可．
【详解】
解：由题意得：2x-1≥0，1-2x≥0，
解得：x=，
∴y=3，
∴x+y=+3=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．20
【解析】
【分析】
菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为5和8，
∴菱形的面积：．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了菱形的面积，菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半，解题关键是对面积公式的熟练运用．
11．；
【解析】
【分析】
观察图形根据勾股定理分别计算出a、b、c，根据二次根式的性质即可比较a、b、c的大小．
【详解】
解：在图中，每个小正方形的边长都为1，由勾股定理可得：
，
，
，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理和比较二次根式的大小，本题中正确求出a、b、c的值是解题的关键．
12．D
解析：
【分析】
设DE=x，则CE=8-x，根据折叠的性质知：CE=8-x．在直角△AED中，利用勾股定理列出关于x的方程并解答即可．
【详解】
解：如图，在矩形ABCD中，AB=DC=8，AD=6．

设DE=x，则CE=8-x，
根据折叠的性质知：AE=CE=8-x．
在直角△AED中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即62+x2=（8-x）2．
解得x=．
即DE的长为．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题时，借用了方程思想，求得了相关线段的长度．
13．
【分析】
先写出的伴随点，再根据伴随点在它的图象上代入一次函数解析式，计算即可求得m．
【详解】
解：的伴随点为，
因为伴随点在它的图象上，则有
解得．
故答案为:．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征． 一次函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
14．C
解析：3
【分析】
连接CE，设DE=x，则AE=8-x，判断出OE是AC的垂直平分线，即可推得CE=AE=8-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出DE的长是多少即可．
【详解】
详解：如图，连接CE，
，
设DE=x，则AE=8-x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE=8-x，
在Rt△CDE中，
x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴DE的长是3．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的对角线互相平分和中垂线的性质是解题的关键．
15．840
【分析】
结合题意根据最后一段图象可求得根据小王后来的速度，进而可求得小王原来的速度，再根据第一段图象可求得小张的速度，最后根据两人行完全程的时间相差4分钟可得方程，解方程即可求得答案．
【
解析：840
【分析】
结合题意根据最后一段图象可求得根据小王后来的速度，进而可求得小王原来的速度，再根据第一段图象可求得小张的速度，最后根据两人行完全程的时间相差4分钟可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】
解：由题意可知：最后一段图象是小张到达书店后等待小王前往书店的图象，
则小王后来的速度为：336÷4＝84（米/分钟），
∴小王原来的速度为：84÷（1＋20%）＝70（米/分钟），
根据第一段图象可知：v王－v张＝40÷4＝10（米/分钟），
∴小张的速度为：70－10＝60（米/分钟），
设学校到书店的距离为x米，
由题意得：，
解得：x＝840，
答：学校到书店的距离为840米，
故答案为：840．
【点睛】
本题考查了函数图象的实际应用，行程问题的基本关系，一元一次方程的应用，有一定的难度，求出两人的速度是解题的关键．
16．【分析】
先依据勾股定理求得AB的长，然后在△ABC中，利用面积法可求得CE的长，然后依据勾股定理定理可求得AE的长，证明△ECF为等腰直角三角形可求得EF的长，依据FB=AB-A
解析：
【分析】
先依据勾股定理求得AB的长，然后在△ABC中，利用面积法可求得CE的长，然后依据勾股定理定理可求得AE的长，证明△ECF为等腰直角三角形可求得EF的长，依据FB=AB-AF求得FB的长即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB==10，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴CE=，
在△AEC中，依据勾股定理得：AE=，
由翻折的性质可知∠ECD=∠ACD，∠DCF=∠DCB，CE⊥AD，
∴∠ECF=45°．
∵CE⊥AD，
∴CE=EF=，
∴FB=AB-AE-EF=10--=，
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CE的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AE和EF的长是解答问题的关键．
三、解答题
17．（1）3﹣3；（2）﹣4；（3）﹣1+；（4）﹣
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并得出答案；
（3）直接利用
解析：（1）3﹣3；（2）﹣4；（3）﹣1+；（4）﹣
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，进而合并同类二次根式得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】
解：（1）2﹣6×
=6
=6
=；
（2）（﹣2）2﹣（﹣2）（+2）
=5+4-4-(13-4)
=9-4-9
=-4；
（3）（1+）•（2﹣）
=2-
=-1+；
（4）
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算以及立方根的性质，正确化简二次根式是解题关键．
18．55尺
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：
解析：55尺
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19．（1），；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据无刻度直尺作图中作垂直的技巧画出线段BD即可；
【详解】
解：（1），
：
（2）如图所示，
解析：（1），；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据无刻度直尺作图中作垂直的技巧画出线段BD即可；
【详解】
解：（1），
：
（2）如图所示，即为所求．

【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质，可以得到，，，由矩形的性质，得到， 根据平行线的性质，利用证明从而得到，结合上步所求，由四边相等的四边形是菱形即可得出结论
（2）由
解析：（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质，可以得到，，，由矩形的性质，得到， 根据平行线的性质，利用证明从而得到，结合上步所求，由四边相等的四边形是菱形即可得出结论
（2）由题意，可以得到垂直平分 从而得出 结合题意可得 的度数，进而求得的度数
【详解】
（1）证明：垂直平分，
，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）为中点，，
垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质及判定定理是解题关键．
21．（1）（3）
【解析】
【分析】
（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可．
【详解】
解：（1）
（2）利用上面提供的信息请化简：
﹣1．
【点
解析：（1）（3）
【解析】
【分析】
（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可．
【详解】
解：（1）
（2）利用上面提供的信息请化简：

﹣1．
【点睛】
考核知识点：实数运算.
22．（1）5，14；（2）y=4x+2；（3）当k＜2.5时，到乙种子店花合算；当k=2.5时，个种子店花费的钱相同；k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【分析】
（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为
解析：（1）5，14；（2）y=4x+2；（3）当k＜2.5时，到乙种子店花合算；当k=2.5时，个种子店花费的钱相同；k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【分析】
（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出m值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出n值；
（2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）当x=4时，分别求出两家店花费的钱即可．
【详解】
解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x，
∵10÷2=5，
∴m=5，n=12+2=14．
故答案为：5；14；
（2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，
将点（2.5，12）、（2，10）代入y=ax+b中，
得：，
解得，
∴当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2．
（3）∵x＞2，
∴当甲、乙两个种子店花费的钱相同时，4×4+2=4k，解得k=2.5，
∴当k＜2.5时，到乙种子店花合算；
当k=2.5时，两个种子店花费的钱相同；
k＞2.5时，到甲种子店花合算．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察函数图象找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2
解析：（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF=AN，连接DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN=MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得FM2=DM2+FD2，进而得出结论；
（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，得CE=CP=PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=，PE=6，即可得出PC的长．
【详解】
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
是的中点，
，
，，
；
（2），理由如下：
在上方作，使，连接、，如图2所示：
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
在中，，
即；

（3）作关于直线的对称点，连接、、、，如图3所示：
则，，，
，
，是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：．

【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）见解析；0；（2）①x，﹣x，﹣x＋2，②见解析；；（3）；（4）分段去绝对值．
【解析】
【分析】
（1）画出函数图象，直接得出结论；
（2）先去绝对值，得出函数关系式，再画出函数图象，即可
解析：（1）见解析；0；（2）①x，﹣x，﹣x＋2，②见解析；；（3）；（4）分段去绝对值．
【解析】
【分析】
（1）画出函数图象，直接得出结论；
（2）先去绝对值，得出函数关系式，再画出函数图象，即可得出结论；
（3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论；
（4）直接得出结论．
【详解】
解：（1）[探究]图象如图1所示，函数y＝|x|的最小值是0，
故答案为0；

（2）[应用]①当x≥1时，y＝x﹣1＋（x＋2）＝x；
当x≤﹣2时，y＝﹣x＋1﹣（x＋2）＝﹣x；
当﹣2＜x＜1时，y＝﹣x＋1＋（x＋2）＝﹣x＋2；
②函数图象如图2所示，

由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是，
故填：①x，﹣x，﹣x＋2，②；
（3）[迁移]
当x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1﹣8x＋1＝﹣36x＋8，
∴y≥，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1＋8x﹣1＝﹣20x＋6，
∴≤y＜，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1＋7x﹣1＋8x﹣1＝﹣6x＋4，
∴3≤y＜，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝6x＋2，
∴3＜y≤，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝16x，
∴＜y≤4，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝24x﹣2，
∴4＜y≤6，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝30x﹣4，
∴6＜y≤11，
当＜x≤1时，y＝﹣x＋1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝34x﹣6，
∴11＜y≤28，
当x＞1时，y＝x﹣1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝36x﹣8，
∴y＞28，
∴当x＝时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值；
（4）[反思]
用到的数学思想有：数形结合的数学思想，分段去绝对值，
故答案为：分段去绝对值．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用，去绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
25．（1）①9，②（1，2）；（2）①（1，5）或（5，1），②522≤OM≤5
【解析】
【分析】
（1）①根据题意求出PE，EQ即可解决问题．
②求出点P、Q的“涵矩形”的长与宽即可判断．
（2）①
解析：（1）①9，②（1，2）；（2）①（1，5）或（5，1），②
【解析】
【分析】
（1）①根据题意求出PE，EQ即可解决问题．
②求出点P、Q的“涵矩形”的长与宽即可判断．
（2）①求出正方形的边长，分两种情形分别求解即可解决问题．
②点M在直线y=-x+5上运动，设直线y=-x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D．求出OM的最大值，最小值即可判断．
【详解】
解：（1）①如图1中，

由题意：矩形PEQF中，EQ=PF=3- ，
∴OE=EQ，
∵EP∥OA，
∴AP=PQ，
∴PE=QF=OA=3，
∴点P、Q的“涵矩形”的周长=（3+）×2=9．
②如图2中，

∵点P、Q的“涵矩形”的周长为6，
∴邻边之和为3，
∵矩形的长是宽的两倍，
∴点P、Q的“涵矩形”的长为2，宽为1，
∵P（1，4），F（1，2），
∴PF=2，满足条件，
∴F（1，2）是矩形的顶点．
（2）①如图3中，

∵点P、Q的“涵矩形”是正方形，
∴∠ABO=45°，
∴点A的坐标为（0，6），
∴点B的坐标为（6，0），
∴直线AB的函数表达式为y=-x+6，
∵点P的横坐标为3，
∴点P的坐标为（3，3），
∵正方形PMQN的周长为8，
∴点Q的横坐标为3-2=1或3+2=5，
∴点Q的坐标为（1，5）或（5，1）．
②如图4中，

∵正方形PMQN的对角线为，
∴PM=MQ=1，
易知M在直线y=-x+5上运动，设直线y=-x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D，
∵OE=OF=5，
∴EF= ，
∵OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴OD=EF= ，
∴OM的最大值为5，最小值为，
∴．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（1）见解析；（2）AE＝；（3）（3），理由见解析.
【分析】
（1）运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△，进一步说明△ABC是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.
（
解析：（1）见解析；（2）AE＝；（3）（3），理由见解析.
【分析】
（1）运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△，进一步说明△ABC是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.
（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，设AG＝，则AE= GE=，得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt△AMC≌Rt△AND，最后通过计算求得AE的长；
（3）延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得，可得≌，从而得到 ，可知∥, 再根据题意证明≌，进一步说明是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形AMFN是正方形，
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND是Rt△
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∵旋转后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，

设AG＝
则AE= GE=
易得△GBE是等腰直角三角形
∴BG=EG＝
∴AB=BC=
易得∠DHF=30°
∴HD=2DF= ，HF=
∴BF=BH+HF=
∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
∴易得CF=DF=
∴BC=BF-CF=
∴
∴
∴AE＝
（3）；
理由：如图2中,延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得,则≌,

∴ ,
∴∥,
∴
∵
∴
∴,
∵
∴≌（SAS）
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.